Diện tích hình tròn $\left(O;R\right)$ là $S_1=\pi R^2\left(c{m}^2\right)$ , diện tích hình tròn $\left(O;r\right)$ là $S_2=\pi r^2\left(c{m}^2\right)$

Suy ra diện tích hình vành khăn là $S=S_1-S_2=\pi R^2-\pi r^2\left(c{m}^2\right)$

Từ bài cho ta có $S=12,5\pi \left(c{m}^2\right)\Rightarrow \pi R^2-\pi r^2$$=12,5\pi \iff R^2-r^2=12,5$

Xét đường tròn $\left(O;r\right)$ có $AB$ là tiếp tuyến tại $M\Rightarrow OM\mathrm{\perp }AB$

Xét $\left(O;R\right)$ có $OM\mathrm{\perp }AB$ nên $M$ là trung điểm $AB$ (quan hệ giữa dây và đường kính), suy ra $AB=2MB.$

Xét tam giác $OMB$ vuông tại $M$, theo định lý Pytago ta có $MB=\sqrt{O{B}^2-O{M}^2}=\sqrt{R^2-r^2}$  mà $R^2-r^2=12,5$(cmt) và $AB=2MB$ (cmt) nên $AB=2\sqrt{R^2-r^2}=2\sqrt{12,5}$$=5\sqrt{2}cm.$

Chọn C.

Câu 24

Một hình vuông cạnh a và một đường tròn bán kính r có chu vi bằng nhau. Tỉ số giữa diện tích hình tròn và diện tích hình vuông là:

(A) $4:\pi$                       (B) $\sqrt{2}:\pi$

(C) $\pi :\sqrt{2}$                    (D) $\pi :4$

Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả đúng.

Phương pháp giải:

+ Hình vuông cạnh $a$ có chu vi là $4.a$ và diện tích là $a^2$

+ Đường tròn bán kính $r$ có chu vi $C=2\pi r$ và diện tích hình tròn là $S=\pi r^2$

Trả lời:

Ta có:

Hình vuông cạnh $a$ có chu vi là $4.a$ và diện tích là $a^2$ và đường tròn bán kính $r$ có chu vi $C=2\pi r$ và diện tích hình tròn là $S=\pi r^2$ .

Vì theo giả thiết thì hình vuông và đường tròn có chu vi bằng nhau nên $4a=2\pi r\Rightarrow {\displaystyle \frac{r}{a}}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$

Tỉ số giữa diện tích hình tròn và diện tích hình vuông là ${\displaystyle \frac{\pi r^2}{a^2}}=\pi {\left({\displaystyle \frac{r}{a}}\right)}^2=\pi .{\displaystyle \frac{4}{{\pi }^2}}={\displaystyle \frac{4}{\pi }}=4:\pi$ (vì ${\displaystyle \frac{r}{a}}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ (cmt))

Chọn A. 

Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi là $12m$. Hỏi chân đống cát đó chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuông ? 

Phương pháp giải:

+ Tính bán kính đường tròn từ công thức chu vi $C=2\pi R$

+ Tính diện tích hình tròn bán kính $R$ theo công thức $S=\pi R^2$

Trả lời

Từ công thức $C=2\pi R$ $\Rightarrow R={\displaystyle \frac{C}{2\pi }}={\displaystyle \frac{6}{\pi }}\left(m\right)$

Khi đó, diện tích chân đống cát là $S=\pi {\left({\displaystyle \frac{6}{\pi }}\right)}^2={\displaystyle \frac{36}{\pi }}{m}^2.$

Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính $6cm$, số đo cung là $36$^o

Phương pháp giải:

Hình quạt tròn bán kính $R$, cung $n^o$ có diện tích $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$

Trả lời:

Theo công thức $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$, ta có diện tích hình quạt tròn là :

 $S={\displaystyle \frac{\pi {.6}^2.36}{360}}=3,6\pi \left(c{m}^2\right).$

Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu:

a) Bán kính tăng gấp đôi ?

b) Bán kính tăng gấp ba ?

c) Bán kính tăng k lần $(k>1)$ ?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn có bán kính $R$ là $S=\pi R^2$

Trả lời:

Giả sử hình tròn có bán kính $R$ thì $S=\pi R^2$

a) Bán kính là$2R$ thì $S_1=\pi {\left(2R\right)}^2=4\pi R^2.$

Vậy nếu bán kính tăng gấp đôi thì diện tích tăng gấp 4 lần.

b) Bán kính là $3R$ thì $S_2=\pi {\left(3R\right)}^2=9\pi R^2$

Vậy nếu bán kính tăng gấp ba thì diện tích tăng gấp 9 lần.

c) Bán kính là $kR$ thì $S_3=\pi {\left(kR\right)}^2=k^2\pi R^2$

Vậy nếu bán kính tăng gấp k lần thì diện tích tăng gấp $k^2$  lần.

a) Vẽ hình 58 (tạo bởi các cung tròn) với $HI=10cm$ và $HO=HI=2cm$. Nêu cách vẽ:

b) Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch chéo).

c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó.

Phương pháp giải:

a) Vẽ các nửa đường tròn để tạo thành hình đã cho

b) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính $R$ là $S=\pi R^2$ để suy ra diện tích miền gạch chéo

c) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính $R$ là $S=\pi R^2$$S=\pi R^2$

Trả lời:

a) Cách vẽ : 

- Vẽ đoạn thẳng $HI=10cm$. 

- Vẽ đường trung trực $d$ của $HI$. Gọi $D$ là giao điểm của $d$ với $HI.$

- Lấy $D$ làm tâm vẽ cung tròn với bán kính ${\displaystyle \frac{HI}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5cm,$ cắt $d$ tại $N$ và $A.$

- Lấy $D$ làm tâm vẽ cung tròn với bán kính $DB=3cm$ về phía đối diện cung $HNI,$ cắt $HI$ tại $O$ và $B.$

- Lấy điểm chính giữa của $HO$ làm tâm, vẽ cung tròn với bán kính bằng $1cm.$

- Lấy điểm chính giữa của $BI$ làm tâm, vẽ cung tròn với bán kính bằng $1cm.$

b) Tính diện tích của hình gạch chéo :

Vì hình gạch chéo được tạo bởi các nửa đường tròn bán kính $5cm;3cm$ và $1cm.$

Ta có : $S_{HOABINH}=S_{HNIBO}+S_{BAO};$   (1)

             $S_{HNIBO}=S_{HNI}-2S_{OH}.$

($S_{OH}=S_{BI}$ là diện tích nửa hình tròn đường kính $OH=IB=2cm).$

$S_{HNI}={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi .D{H}^2$ và $2S_{OH}=\pi {\left({\displaystyle \frac{HO}{2}}\right)}^2$ $\Rightarrow S_{HNIBO}={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi O{H}^2-\pi {\left({\displaystyle \frac{HO}{2}}\right)}^2$$={\displaystyle \frac{23\pi }{2}}$       (2)  

$S_{BAO}={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi D{O}^2={\displaystyle \frac{9\pi }{2}}\left(c{m}^2\right)$                                                                                      (3) 

Thay kết quả từ (2) và (3) vào (1), ta được $S_{HOABINH}={\displaystyle \frac{9\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{23\pi }{2}}=16\pi \left(c{m}^2\right)$

c) Gọi $S$ là diện tích hình tròn đường kính $NA;R$ là bán kính.

Ta có : $NA=ND+DA=5+3=8\left(cm\right).$ Bán kính $R={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8=4cm.$  

$S=\pi R^2=\pi {.4}^2=16\pi \left(c{m}^2\right).$

Vậy $S_{HOABINH}=S$_{đường tròn đường kính NA}   (đpcm).

Bài 52 trang 122 Vở bài tập toán 9 tập 2

Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (h.59).

a) Tính diện tích của hình vành khăn theo R₁ và R₂ (giả sử R₁ > R₂)

b) Tính diện tích của hình vành khăn khi R₁ = 10,5 cm, R₂ = 7,8 cm.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính $R$ là $S=\pi R^2$  để  suy ra diện tích hình vành khăn

Trả lời:

Gọi $S$ là diện tích hình vành khăn;

        $S_1$ là diện tích hình tròn $\left(O;R_1\right)$;

       $S_2$ là diện tích hình tròn $\left(O;R_2\right)$;

Mà $S_1=\pi R_1^2$ và $S_2=\pi R_2^2;$

$S=S_1-S_2.$

Vậy diện tích hình vành khăn là

$S=\pi .10,5^2-\pi .7,8^2$$=\pi \left(10,5^2-7,8^2\right)=49,41\pi (c{m}^2)$

Lấy cạnh $BC$ của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng $BC$. Cho biết cạnh $BC=a$. Hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng công thức tính diện tích quạt tròn bán kính $R$, số đo $n^{\circ }$ là $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$

+ Công thức tính diện tích tam giác $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$ với $a$ là độ dài cạnh đáy, $h$ là chiều cao ứng với cạnh đáy.

Trả lời:

Gọi $D,E$ lần lượt là giao của hai cạnh $AB,AC$ với nửa đường tròn đường kính $BC$.

Nối tâm $O$ với $D$ và $E$ (h.60)

Xét $\mathrm{\Delta }BOE,$ ta có $OB=OE={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ là bán kính của đường tròn đường kính $BC$ và $\hat{B}={60}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{\Delta }BOE$ là tam giác đều. 

Vậy $\widehat{BOE}={60}^{\circ }.$

Ta có : $S_1=S_{quạtBOE}-S_{\mathrm{\Delta }BOE}$

Theo công thức tính diện tích hình quạt ta có :

$S_{quạtBOE}={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$, trong đó $n^{\circ }=\widehat{BOE}={60}^{\circ };R=OE={\displaystyle \frac{a}{2}}.$

Vậy $S_{quạtBOE}={\displaystyle \frac{\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2.60}{360}}={\displaystyle \frac{\pi a^2}{24}}.$

$S_{\mathrm{\Delta }BOE}={\displaystyle \frac{1}{2}}OB\cdot h;$  trong đó $h={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}$ vì $\mathrm{\Delta }BOE$ đều.

$\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }BOE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{16}}.$

Mà $S_1=S_{quạtBOE}-S_{\mathrm{\Delta }BOE}={\displaystyle \frac{\pi a^2}{24}}-{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{16}}$$={\displaystyle \frac{a^2}{48}}\left(2\pi -3\sqrt{3}\right).$

Vậy diện tích hình viên phân $S_1={\displaystyle \frac{a^2}{48}}\left(2\pi -3\sqrt{3}\right)$ 

Tương tự, ta có $S_2={\displaystyle \frac{a^2}{48}}\left(2\pi -3\sqrt{3}\right)$ vì $OD=OE=DC=BE$ nên $\mathrm{\Delta }BOE=\mathrm{\Delta }COD$ và $\stackrel{⏜}{BE}=\stackrel{⏜}{CD}$. 

Suy ra $S=S_1+S_2$$={\displaystyle \frac{a^2}{24}}\left(2\pi -3\sqrt{3}\right).$