Hình tròn bán kính R (ứng với cung 360^o) có diện tích là … .

Vậy hình quạt tròn bán kính R, cung 1^o có diện tích là … .

Hình quạt tròn bán kính R, cung n^o có diện tích S = … .

Phương pháp giải:

Sử dụng: Diện tích hình tròn bán kính $R$ là $S=\pi R^2$

Lời giải:

Hình tròn bán kính R (ứng với cung 360^o) có diện tích là $\pi R^2$

Vậy hình quạt tròn bán kính R, cung 1^o có diện tích là ${\displaystyle \frac{\pi R^2}{360}}$

Hình quạt tròn bán kính R, cung n^o có diện tích ${\displaystyle S=\frac{\pi R^{2}n}{360}}$

Phương pháp giải:

+) Công thức tính diện tích hình tròn bán kính $R$ là: $S=\pi R^2.$

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $ABCD$. Kẻ $OH\mathrm{\perp }AD$ tại $H$.

Khi đó $OH$ là đường trung bình của tam giác $DAB$, suy ra $OH={\displaystyle \frac{AB}{2}}=2cm$

Hình tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ và bán kính $r=OH=2cm.$

Vậy diện tích hình tròn là $\pi (2^2)$ = $4\pi$ (cm²)

Phương pháp giải:

+) Dựa vào chu vi hình tròn tìm bán kính hình tròn đó: $R={\displaystyle \frac{C}{2\pi }}.$

+) Diện tích hình tròn bán kính $R$ là: $S=\pi R^2.$

Lời giải:

Theo giả thiết thì chu vi đường tròn chân đống cát là $C=2\pi R=12m\Rightarrow R={\displaystyle \frac{12}{2\pi }}={\displaystyle \frac{6}{\pi }}$

Diện tích phần mặt đất mà đống cát chiếm chỗ là:

            $S=\pi .R^2$ =$\pi$ ${\left({\displaystyle \frac{6}{\pi }}\right)}^2$ $={\displaystyle \frac{36}{\pi }}$ $\approx 11,5$ ($m^2$)

Phương pháp giải:

+) Công thức tính diện tích cung tròn $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}.$

Lời giải:

Diện tích hình quạt là:

$S={\displaystyle \frac{\pi 6^2.36}{360}}$ $=3,6\pi$ ($c{m}^2$)

Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn $A,B$. Có hai cách buộc:

- Mỗi dây thừng dài $20m$.

- Một dây thừng dài $30m$ và dây thừng kia dài $10m$.

Hỏi cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (h.60)

Phương pháp giải:

+) Diện tích mỗi con dê ăn được là ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ đường tròn có bán kính là độ dài đoạn dây thừng dùng để buộc con dê đó.

Lời giải:

Theo cách buộc thứ nhất thì diện tích cỏ dành cho mỗi con dê là bằng nhau.

Mỗi diện tích là ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ hình tròn bán kính $20m$. Nên diện tích cỏ mỗi con dê ăn được là

${\displaystyle \frac{1}{4}}.\pi {.20}^2=100\pi (m^2)$

Cả hai con dê ăn được phần cỏ có diện tích là $200\pi (m^2)$                  (1)

Theo cách buộc thứ hai, thì diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở A là 

${\displaystyle \frac{1}{4}}.\pi {.30}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}.900\pi =225\pi (m^2)$

Diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở B là: ${\displaystyle \frac{1}{4}}.\pi {.10}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}.100\pi =25\pi (m^2)$

Diện tích cỏ dành cho cả hai con dê là: $225\pi +25\pi =250\pi (m^2)$ (2) 

So sánh (1) và (2) ta thấy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn.

a) Bán kính tăng gấp đôi?

b) Bán kính tăng gấp ba?

c) Bán kính tăng $k$ lần $(k>1)$?

Phương pháp giải:

+) Diện tích hình tròn bán kính $R$ là: $S=\pi R^2.$

Lời giải:

Diện tích hình tròn bán kính $R$ là: $S=\pi R^2.$

a) Khi bán kính tăng lên hai lần ta có bán kính mới là $2R$ nên diện tích hình tròn lúc này là: $S_1=\pi {(2R)}^2=4\pi R^2=4S$.

Vậy nếu ta gấp đôi bán kính thì diện tích hình tròn sẽ gấp bốn lần.

b) Khi bán kính tăng lên ba lần ta có ta có bán kính mới là $3R$ nên diện tích hình tròn lúc này là: $S_2=\pi {(3R)}^2=9\pi R^2=9S$

Vậy nếu ta gấp đôi bán kính thì diện tích hình tròn sẽ gấp $9$ lần.

c) Khi bán kính tăng lên $k$ lần ta có ta có bán kính mới là $kR$ nên diện tích hình tròn lúc này là:: $S_k=\pi (kR{)}^2=k^2\pi R^2=k^2.S$

 Vậy nếu nhân bán kính với $k>0$ thì diện tích hình tròn sẽ gấp $k^2$ lần.

+) Độ dài cung tròn $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$

+) Diện tích hình tròn bán kính $R$ là: $S=\pi R^2.$

+) Diện tích cung tròn $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}.$

Lời giải:

- Dòng thứ nhất:

 $R$ = ${\displaystyle \frac{C}{2\pi }}$ = ${\displaystyle \frac{13,2}{2.3,14}}$ $\approx 2,1$ ($cm$)

$S=\pi .R^2=3,14.{(2,1)}^2\approx 13,8$($c{m}^2$)

$S_{quạt}$$={\displaystyle \frac{\pi R^2{n}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}$ $={\displaystyle \frac{3,14.2,1^2.47,5}{360}}$ $\approx 1,83$  ($c{m}^2$)

- Dòng thứ hai:

$C=2\pi R=2.3,14.2,5=15,7$ (cm)

$S=\pi .R^2=3,14.{(2,5)}^2\approx 19,6$ ($c{m}^2$)

$n^0$$={\displaystyle \frac{S_{quat}{.360}^{\circ }}{\pi R^2}}$$={\displaystyle \frac{12,{5.360}^{\circ }}{3,14.2,5^2}}$$\approx 229,3^0$  

- Dòng thứ ba:

$R$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{s}{\pi }}}$  $=\sqrt{{\displaystyle \frac{37,8}{3,14}}}$ $\approx 3,5$ ($cm$)

$C=2\pi R=22$ ($cm$)

$n^0$$={\displaystyle \frac{S_{quạt}{.360}^{\circ }}{\pi R^2}}$ $={\displaystyle \frac{10,{6.360}^{\circ }}{3,14.3,5^2}}$ $\approx 99,2^0$  

Điền vào các ô trống ta được các bảng sau:

b) Tính diện tích hình $HOABINH$ (miền gạch sọc)

c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính $NA$ có cùng diện tích với hình $HOABINH$ đó.

Phương pháp giải:

a) Vẽ các nửa đường tròn để tạo thành hình đã cho. Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ hình.

b) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính $R$ là $S=\pi R^2$ để suy ra diện tích miền gạch chéo. 

Diện tích miền gạch sọc = Diện tích nửa đường tròn đường kính HI + Diện tích nửa đường tròn đường kính OB - Diện tích nửa đường tròn đường kính HO - Diện tích nửa đường tròn đường kính BI.

c) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính $R$ là $S=\pi R^2$

Lời giải:

a) + Vẽ đoạn thẳng $HI=10cm$, trên đoạn $HI$ lấy hai điểm $O$ và $B$ sao cho $HO=BI=2cm$. Lấy $D$ là trung điểm đoạn thẳng $HI.$

+ Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $HI$, vẽ các nửa đường tròn đường kính $HI;HO;BI$

+ Trên nửa mặt phẳng còn lại ta vẽ nửa đường tròn đường kính $OB.$

+ Vẽ đường trung trực của đoạn $HI$, đường thẳng này cắt nửa đường tròn đường kính $HI$ tại $N$ và cắt nửa đường tròn đường kính $OB$ tại $A.$

+ Bỏ đi hai nửa hình tròn đường kính $HO$ và $BI$, gạch chéo phần hình còn lại vừa vẽ ta được hình theo yêu cầu.

b) Theo cách dựng ta có: 

Nửa hình tròn đường kính $HO$ và $BI$ đều có bán kính $r=2:2=1cm$. Hai nửa hình tròn này có diện tích bằng nhau và bằng $S_3={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi .r^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi \left(c{m}^2\right)$  

Nửa hình tròn đường kính $HI$ có bán kính $R=10:2=5cm$ và có tâm $D.$ Nửa hình tròn này có diện tích $S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi R^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi {.5}^2=12,5\pi \left(c{m}^2\right)$

Nửa hình tròn đường kính $OB$ có tâm $D$ và có bán kính $r_2=OB:2=\left(HI-HO-BI\right):2=\left(10-2-2\right):2=3cm$

Nửa hình tròn này có diện tích bằng $S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi r_2^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi {.3}^2=4,5\pi \left(c{m}^2\right)$

Phần hình bị gạch chéo tạo bởi các nửa đường tròn bán kính $5cm;3cm$ và $1cm$.

Diện tích phần bị gạch chéo là $S=S_1-2S_3+S_2=12,5\pi -2.{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi +4,5\pi =16\pi \left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích hình $HOABINH$ là $16\pi \left(c{m}^2\right)$

c) Ta có $DN=R=5cm;DA=r_2=3cm\Rightarrow NA=5+3=8cm$

Đường tròn đường kính $NA$ có bán kính là $R^{\prime }=8:2=4cm$

Diện tích hình tròn đường kính $NA$ là $S^{\prime }=\pi R^{\prime 2}=\pi {.4}^2=16\pi \left(c{m}^2\right)$

Do đó  $S=S^{\prime }$

Vậy hình tròn đường kính $NA$ có cùng diện tích với hình $HOABINH$ đó.

b) Tính diện tích miền gạch sọc.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng compa và thước thẳng để vẽ hình.

+) Áp dụng công thức tính diện tích cung tròn $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}.$

+) Áp dụng diện tích hình tròn bán kính $R$ là $S=\pi R^2$ 

Lời giải:

a) Vẽ tam giác đều $ABC$ cạnh $1cm$

Vẽ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ đường tròn tâm $A$, bán kính $1cm$, ta được cung $\stackrel{⏜}{CD}$

Vẽ cung $\stackrel{⏜}{DE}$ của đường tròn tâm $B$, bán kính $2cm$ sao cho $\widehat{DBE}={120}^0$

Vẽ cung $\stackrel{⏜}{EF}$ của đường tròn tâm $C$, bán kính $3cm$ sao cho $\widehat{ECF}={120}^0$

b) Diện tích hình quạt $CAD$ là ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ $\pi {.1}^2$

Diện tích hình quạt $DBE$ là ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ $\pi {.2}^2$ 

Diện tích hình quạt $ECF$ là ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ $\pi {.3}^2$

Diện tích phần gạch sọc là  ${\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi {.1}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi {.2}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi {.3}^2$

$={\displaystyle \frac{1}{3}}$ $\pi (1^2+2^2+3^2)={\displaystyle \frac{14}{3}}\pi$ ($c{m}^2$)

Phương pháp giải:

+) Diện tích hình viên phân = Diện tích cung tròn $AmB$ - Diện tích tam giác $OAB.$

+) Diện tích quạt tròn bán kính $R$ và có số đo cung $n^0$ là $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}$

Lời giải:

$∆OAB$ là tam giác đều có cạnh bằng $R=5,1cm$.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh $a$ là ${\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$ ta có 

 ${\displaystyle S_{\mathrm{\Delta }OBA}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}}$           (1)

Diện tích hình quạt tròn $AOB$ là:

 ${\displaystyle \frac{\pi .R^2{.60}^0}{{360}^0}=\frac{\pi R^2}{6}}$      (2)

Từ (1) và (2) suy ra diện tích hình viên phân là:

${\displaystyle \frac{\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}=R^2\left(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}$

Thay $R=5,1$ ta có $S$_{viên phân} ≈$2,4$ $(c{m}^2)$

a) Tính diện tích $S$ của hình vành khăn theo $R_1$ và $R_2$ (giả sử $R_1>R_2$).

b) Tính diện tích hình vành khăn khi $R_1=10,5cm$, $R_2=7,8cm$.

Phương pháp giải:

+) Diện tích hình vành khăn = Diện tích hình tròn có bán kính $R_1$ - Diện tích hình tròn có bán kính $R_2.$ 

Lời giải:

a) Diện tích hình tròn $(O;R_1)$ là $S_1=\pi {R_1}^2$.

Diện tích hình tròn $(O;R_2)$ là $S_2=\pi {R_2}^2$.

Diện tích hình vành khăn là:

     $S=S_1-S_2=\pi R_1^2-\pi R_2^2=\pi \left(R_1^2-R_2^2\right).$

b) Thay số: $S=3,14.(10,5^2–7,8^2)=155,1(c{m}^2).$

+) Công thức tính diện tích tam giác $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$ với $a$ là độ dài cạnh đáy, $h$ là chiều cao ứng với cạnh đáy.

+) Diện tích hình viên phân = Diện tích cung tròn $MqB$ - Diện tích tam giác $OMB.$

Lời giải:

Gọi $D,E$ lần lượt là giao của hai cạnh $AB,AC$ với nửa đường tròn đường kính $BC$ có tâm $O$ là trung điểm $BC.$

Bán kính nửa đường tròn này là $R={\displaystyle \frac{BC}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}$

Nối $OE;OD.$ Xét tam giác $OBE$ có $OE=OB=R={\displaystyle \frac{BC}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}$ và $\hat{B}={60}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{\Delta }OBE$ là tam giác đều cạnh ${\displaystyle \frac{a}{2}}$

Tương tự ta có $\mathrm{\Delta }OCD$ đều cạnh ${\displaystyle \frac{a}{2}}.$  

+ Diện tích hình viên phân thứ nhất là $S_1=S_{qBOE}-S_{\mathrm{\Delta }BOE}$

Diện tích hình quạt $BOE$ có bán kính $R=OB={\displaystyle \frac{a}{2}}$ và số đo cung $BE=\widehat{BOE}={60}^{\circ }$  là $S_{qBOE}={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}={\displaystyle \frac{\pi {\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2.60}{360}}={\displaystyle \frac{\pi a^2}{24}}$

Kẻ $EH\mathrm{\perp }OB$ tại $H$ suy ra $H$ là trung điểm của $OB$ (vì tam giác $OEB$ đều nên $EH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến). Suy ra $OH={\displaystyle \frac{OB}{2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{a}{4}}.$

Xét tam giác $EHO$ vuông tại $H,$ theo định lý Pytago ta có$$EH=\sqrt{E{O}^2-O{H}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{4}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}a$$

Diện tích tam giác $EOB$ là $S_{\mathrm{\Delta }BOE}={\displaystyle \frac{1}{2}}EH.OB={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}.{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{16}}$ 

Từ đó diện tích hình viên phân thứ nhất là $S_1=S_{qBOE}-S_{\mathrm{\Delta }BOE}={\displaystyle \frac{\pi a^2}{24}}-{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{16}}={\displaystyle \frac{a^2\left(2\pi -3\sqrt{3}\right)}{48}}$

Tương tự ta có diện tích hình viên phân thứ hai là $S_2=S_{qDOC}-S_{\mathrm{\Delta }OCD}={\displaystyle \frac{a^2\left(2\pi -3\sqrt{3}\right)}{48}}.$ 

Vậy diện tích hai hình viên phhân bên ngoài tam giác là:

$S=S_1+S_2={\displaystyle \frac{a^2}{24}}\left(2\pi -3\sqrt{3}\right).$