Vật liệu: Tấm bìa, kéo, compa, thước có chia khoảng, sợi chỉ.

a) Vẽ trên bìa năm đường tròn tâm O₁, O₂, O₃, O₄, O₅ có bán kính khác nhau.

b) Cắt ra thành năm hình tròn.

c) Đo chu vi năm hình tròn đó bằng sợi chỉ (càng chính xác càng tốt).

d) Điền vào bảng sau ( đơn vị độ dài : cm)

e) Nêu nhận xét.

Phương pháp giải:

Đo và điền vào bảng rồi nhận xét

Đường tròn bán kính R (ứng với cung 360^o) có độ dài là …

Vậy cung 1^o, bán kính R có độ dài là ${\displaystyle \frac{2\pi R}{360}=...}$

Suy ra cung n^o, bán kính R có độ dài là …

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C=2\pi R$

Lời giải:

Đường tròn bán kính $R$ (ứng với cung 360^o) có độ dài là $2\pi R$

Vậy cung 1^o, bán kính R có độ dài là ${\displaystyle \frac{2\pi R}{360}=\frac{\pi R}{180}}$

Suy ra cung n^o, bán kính R có độ dài là ${\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}$

Phương pháp giải:

Cho đường tròn bán kính $R.$ Khi đó đường kính của đường tròn là: $d=2R$ và độ dài đường tròn là: $C=2\pi R=\pi d.$

Lời giải:

Từ $C=2\pi R\Rightarrow R={\displaystyle \frac{C}{2\pi }}$; $C=\pi d\Rightarrow d={\displaystyle \frac{C}{\pi }}$.

Vậy dùng các công thức trên để tìm các giá trị chưa biết trong ô trống. Ta điền vào bảng sau: 

Bài 66 trang 95 sgk Toán lớp 9 tập 2: a) Tính độ dài cung ${60}^0$ của một đường tròn có bán kính $2dm.$

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính $650mm.$

Phương pháp giải:

+) Độ dài cung tròn $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$

+) Chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C=2\pi R=\pi d.$

Phương pháp giải:

Cho đường tròn bán kính $R$. Khi đó:

Độ dài cung có số đo $n^0$ của đường tròn là: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$

Suy ra $n={\displaystyle \frac{180l}{\pi R}};R={\displaystyle \frac{180l}{\pi n}}$

Lời giải:

Vận dụng công thức: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}$ để tìm $R$ hoặc $n^0$ hoặc $l$.

Ta có: $R={\displaystyle \frac{180l}{\pi n}};n={\displaystyle \frac{180l}{\pi R}}.$ 

+  Với $R=10cm;n^{\circ }={90}^{\circ }$ thì  độ dài cung tròn là $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}={\displaystyle \frac{\pi .10.90}{180}}=15,7cm$

+ Với $l=35,6cm;n^{\circ }={50}^{\circ }$ thì  bán kính đường tròn là $R={\displaystyle \frac{180l}{\pi n}}={\displaystyle \frac{180.35,6}{\pi .50}}\approx 40,8cm$

+ Với $R=21cm;l=20,8cm$ thì số đo $n^{\circ }$ của cung tròn là $n={\displaystyle \frac{180l}{\pi R}}={\displaystyle \frac{180.20,8}{\pi .21}}\approx {57}^{\circ }$

+ Với $R=6,2;n^{\circ }={41}^{\circ }$ thì độ dài cung là $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}={\displaystyle \frac{\pi .6,2.41}{180}}\approx 4,4cm$

+ Với $n^{\circ }={25}^{\circ };l=9,2cm$ thì bán kính của đường tròn là $R={\displaystyle \frac{180l}{\pi n}}={\displaystyle \frac{180.9,2}{\pi .25}}\approx 21,1cm$ 

Thay số vào, tính toán ta tìm được các giá trị chưa biết trong ô trống và điền vào bảng sau: 

Phương pháp giải:

+) Độ dài đường tròn đường kính $d$ là $C=\pi d.$ Suy ra độ dài nửa đường tròn.

Lời giải:

Gọi $C_1,C_2,C_3$ lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính $AC,AB,BC$, ta có:

$C_1$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi .AC$              (1)

 $C_2$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi .AB$               (2)

$C_3$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi .BC$              (3)

Từ (1), (2), (3) ta thấy: 

 $C_2+C_3={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi (AB+BC)={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi AC=C_1$ 

Vậy $C_1=C_2+C_3$.

Phương pháp giải:

+) Chu vi của bánh xe có đường kính $d$ là độ dài đường tròn đường kính $d$: $C=\pi d.$

+) Quãng đường bánh xe đi được khi bánh xe quay $n$ vòng là: $s=n.C.$

Lời giải:

Đổi 88 cm = 0,88 m

Chu vi bánh xe sau: $1,672\pi (m).$ 

Chu vi bánh xe trước: $0,88\pi (m).$ 

Quãng đường đi được của 2 bánh xe là như nhau.

Khi bánh xe sau lăn được $10$ vòng thì quãng đường đi được là: $\pi .1,672.10=16,72\pi (m).$ 

Khi đó số vòng lăn của bánh xe trước là: ${\displaystyle \frac{\pi .16,72}{\pi .0,88}}=19$ vòng.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng thước và compa để vẽ hình.

+) Chu vi hình tròn đường kính $d$ là: $C=\pi d.$

Lời giải:

Cách vẽ:

- Hình 52: Vẽ hình vuông $ABCD$ cạnh $4cm$. Vẽ hai đường trung trực của các cạnh hình vuông, chúng cắt nhau tại $O$.

Lấy $O$ làm tâm vẽ đường tròn bán kính $2cm$ ta được hình a.

- Hình 53: Vẽ hình vuông như hình a. Lấy $O$ làm tâm vẽ nửa đường tròn bán kính $2cm$ tiếp xúc với các cạnh $AB,AD,BC$. Lấy $C,D$ làm tâm vẽ cung phần tư đường tròn về phía trong hình vuông các cung tròn đã vẽ tạo nên hình b.

- Hình 54: Vẽ hình vuông như hình a. Lấy $A,B,C,D$ làm tâm vẽ về phía trong hình vuông bốn cung tròn, mỗi cung là phần tư đường tròn. Bốn cung này tạo nên hình c.

Tính chu vi mỗi hình:

- Hình 52: Đường kính đường tròn này là $4cm$.

Vậy hình tròn có chu vi là: $3,14.4=12,56$ $(cm)$.

- Hình 53: Hình tròn gồm hai cung: một cung là nửa đường tròn, hai cung có mỗi cung là một phần tư đường tròn nên chu vi hình bằng chu vi của hình tròn ở hình 52, tức là $12,56$ $cm$.

- Hình 54: Hình gồm bốn cung tròn với mỗi cung tròn là một phần tư đường tròn nên chu vi hình bằng chu vi hình tròn ở hình 52 tức là $12,56cm$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng thước và compa để vẽ hình.

+) Độ dài của đường tròn bán kính $R$ là: $C=2\pi d$

Lời giải:

Cách vẽ: Vẽ hình vuông $ABCD$ có cạnh dài $1cm$.

Vẽ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ đường tròn tâm $B$, bán kính $1$ cm, ta có cung $\stackrel{⏜}{AE}$

Vẽ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ đường tròn tâm C, bán kính 2 cm, ta có cung $\stackrel{⏜}{EF}$

Vẽ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ đường tròn tâm D, bán kính 3 cm, ta có cung $\stackrel{⏜}{FG}$

Vẽ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ đường tròn tâm A, bán kính 4 cm, ta có cung $\stackrel{⏜}{GH}$

Độ dài đường xoắn:

               $l_{\stackrel{⏜}{AE}}$= ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ . $2\pi .1$

               $l_{\stackrel{⏜}{EF}}$= ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ . $2\pi .2$

               $l_{\stackrel{⏜}{FG}}$= ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ . $2\pi .3$

               $l_{\stackrel{⏜}{GH}}$= ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ . $2\pi .4$

Vậy: Độ dài đường xoắn là:

$l_{\stackrel{⏜}{AE}}$+$l_{\stackrel{⏜}{EF}}$+$l_{\stackrel{⏜}{FG}}$+$l_{\stackrel{⏜}{GH}}$ 

$={\displaystyle \frac{1}{4}}$ .$2\pi (1+2+3+4)=5\pi$

Phương pháp giải:

+)  Sử dụng công thức tính  chu vi đường tròn có bán kính $R$ là $C=2\pi R\Rightarrow R={\displaystyle \frac{C}{2\pi }}$

 +) Sử dụng công thức tính độ dài cung $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}$  với $n^{\circ }$ là số đo cung và $R$ là bán kính đường tròn.

Từ đó suy ra số đo cung $AB$ và góc $AOB$.

Lời giải:

Chu vi bánh xe là $C=540mm$ nên bán kính bánh xe $R={\displaystyle \frac{C}{2\pi }}={\displaystyle \frac{540}{2\pi }}$$={\displaystyle \frac{270}{\pi }}\left(mm\right)$

Cách 1: Cung $AB$ có độ dài $200mm$ và có số đo $n^{\circ }$  nên độ dài  $l_{\stackrel{⏜}{AB}}={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}\Rightarrow n={\displaystyle \frac{180.l_{\stackrel{⏜}{AB}}}{\pi R}}$$={\displaystyle \frac{180.200}{\pi .{\displaystyle \frac{270}{\pi }}}}={\displaystyle \frac{400}{3}}\approx 133$

Vậy $\widehat{AOB}\approx {133}^{\circ }$ (góc ở tâm chắn cung $AB$). 

Cách 2: Vì góc ở tâm chắn cung và độ dài cung là 2 đại lượng tỉ lệ thuận nên 

$\frac{\widehat{AOB}}{{360}^0}=\frac{l_{\stackrel{⏜}{AB}}}{C}$ nên $\frac{\widehat{AOB}}{{360}^0}=\frac{200}{540}$$\Rightarrow$ $\widehat{AOB}\approx {133}^{\circ }$

Phương pháp giải:

+) Áp dụng công thức độ dài đường tròn bán kính $R$ là: $C=2\pi R.$ Từ đó tính được bán kính Trái Đất.

Lời giải:

Gọi bán kính Trái Đất là $R$ thì độ dài đường tròn lớn là: $C=2\pi R=40000km.$

 $\Rightarrow R={\displaystyle \frac{40000}{2\pi }}\approx 6369(km).$ 

Phương pháp giải:

+)  Sử dụng công thức tính  chu vi đường tròn có bán kính $R$ là $C=2\pi R\Rightarrow R={\displaystyle \frac{C}{2\pi }}$

 +) Sử dụng công thức tính độ dài cung $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}$  với $n^{\circ }$ là số đo cung và $R$ là bán kính đường tròn. 

Lời giải:

Đổi ${20}^{\circ }{01}^{\prime }=20+{\displaystyle \frac{1}{60}}={\left({\displaystyle \frac{1201}{60}}\right)}^o$

Cách 1:

Vĩ độ của Hà Nội là ${20}^0{01}^{\prime }$ có nghĩa là cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo có số đo là   ${\left({\displaystyle \frac{1201}{60}}\right)}^o$.

Vậy độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo là:

$l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}={\displaystyle \frac{C}{360}}={\displaystyle \frac{20000.{\displaystyle \frac{1201}{60}}}{180}}\approx 2224,07km$ 

Cách 2: 

Vì độ dài cung và số đo cung là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ${\displaystyle \frac{l}{C}}={\displaystyle \frac{\frac{1201}{60}}{360}}$.

Do đó, ${\displaystyle \frac{l}{40000}}={\displaystyle \frac{\frac{1201}{60}}{360}}$ nên $l=$${\displaystyle \frac{\frac{1201}{60}}{360}}.40000$ $\approx 2224,07$ (km)

Chứng minh cung $MA$ và  cung $MB$ có độ dài bằng nhau.

Phương pháp giải:

+) Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

+) Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn.

+) Độ dài cung $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$

Lời giải:

Đặt $\widehat{MOB}=\alpha$

$\Rightarrow \widehat{M{O}^{\prime }B}=sđ\stackrel{⏜}{MB}=2\alpha$ (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn $(O^{\prime })$ cùng chắn cung $BM$).

$\Rightarrow$ Độ dài cung $MB$ là:

${\displaystyle l_{\stackrel{⏜}{MB}}=\frac{\pi .O^{\prime }M.2\alpha }{{180}^0}=\frac{\pi .O^{\prime }M.\alpha }{{90}^0}(1)}$

Xét đường tròn $(O)$, ta có:

$\widehat{AOM}$ là góc ở tâm chắn cung $AM\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AM}=\alpha .$

$\Rightarrow$ Độ dài cung $MA$ là:

${\displaystyle l_{\stackrel{⏜}{MA}}=\frac{\pi .OM.\alpha }{{180}^0}=\frac{\pi .2.O^{\prime }M.\alpha }{{180}^0}=\frac{\pi O^{\prime }M.\alpha }{{90}^0}(2)}$

(Vì $OM=2O^{\prime }M$)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow l_{\stackrel{⏜}{MB}}=l_{\stackrel{⏜}{MA}}$.

Phương pháp giải:

Độ dài cung có số đo $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}$

Lời giải:

Ta có góc AOB là góc ở tâm chắn cung AmB nên $sđ\stackrel{⏜}{AmB}=\widehat{AOB}={120}^0$

Ta có độ dài cung $AmB$ là: $l_{\stackrel{⏜}{AmB}}={\displaystyle \frac{\pi R.120}{180}}={\displaystyle \frac{2\pi R}{3}}=2R.{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\approx 2,09.R$ 

Độ dài đường gấp khúc $AOB$ là $d.$ 

$\Rightarrow d=AO+OB=R+R=2R.$

Vậy $l_{\stackrel{⏜}{AmB}}>d.$