(Ví dụ. góc trên hình 66b) là góc nội tiếp).

Phương pháp giải:

Định nghĩa:

- Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn.

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung.

- Góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn (xem lại SGK toán 9 tập 2 trang 80)

Lời giải:

a) Góc ở tâm.

b) Góc nội tiếp.

c) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

d) Góc có đỉnh bên trong đường tròn.

e) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.

Bài 89 trang 104 SGK Toán 9 tập 2: Trong hình 67, cung$AmB$có số đo là${60}^0$. Hãy:  

a) Vẽ góc ở tâm chắn cung $AmB$. Tính góc $AOB$.

b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh $C$ chắn cung $AmB$. Tính góc $ACB$.

c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Bt$ và dây cung $BA$. Tính góc $ABt$.

d) Vẽ góc $ADB$ có đỉnh $D$ ở bên trong đường tròn. So sánh $\widehat{A\mathrm{D}B}$  với $\widehat{ACB}$ .$AB$

e) Vẽ góc $AEB$ có đỉnh $E$ ở bên ngoài đường tròn ($E$ và $C$ cùng phía đối với $AB$). So sánh $\widehat{A\mathrm{E}B}$ với $\widehat{ACB}$ 

Phương pháp giải:- Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung. Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.

Lời giải:

  a) Từ $O$ nối với hai đầu mút của cung 

Ta có $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung $AB$

Vì $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung $AB$ nên

$\widehat{AOB}$ =$sđ\stackrel{⏜}{AmB}={60}^0$

b) Lấy một điểm $C$ bất kì trên $(O)$. Nối $C$ với hai đầu mút của cung $AmB$. Ta được góc nội tiếp $\widehat{ACB}$Khi đó: ${\displaystyle \widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AmB}=\frac{1}{2}{60}^0={30}^0}$  

c) Vẽ bán kính $OB$. Qua $B$ vẽ $Bt\mathrm{\perp }OB$. Ta được góc $ABt$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Bt$ với dây cung $BA$.

Ta có: ${\displaystyle \widehat{ABt}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AmB}={30}^0}$   

d) Lấy điểm $D$ bất kì ở bên trong đường tròn $(O)$. Nối $D$ với $A$ và $D$ với $B$, ta được góc $ADB$ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn $(O)$

Đường thẳng AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K, DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C.

Ta có:  

$\begin{array}{rl}& \widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AmB}\\ & \widehat{A\mathrm{D}B}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AmB}+sđ\stackrel{⏜}{CK}\right)\end{array}$Mà $sđ\stackrel{⏜}{AmB}+sđ\stackrel{⏜}{CK}>sđ\stackrel{⏜}{AmB}$(do $sđ\stackrel{⏜}{CK}>0$) nên $\widehat{A\mathrm{D}B}>\widehat{ACB}$  

e) Lấy điểm $E$ bất kì ở bên ngoài đường tròn, nối $E$ với $A$ và $E$ với $B$, chúng cắt đường tròn lần lượt tại $J$ và $I$.

Ta có góc $AEB$ là góc ở bên ngoài đường tròn $(O)$

Có:

$\begin{array}{rl}& \widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AmB}\\ & \widehat{A\mathrm{E}B}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AmB}-sđ\stackrel{⏜}{IJ}\right)\end{array}$Mà $sđ\stackrel{⏜}{AmB}$– $sđ\stackrel{⏜}{IJ}<sđ\stackrel{⏜}{AmB}$ (do $sđ\stackrel{⏜}{IJ}>0$)

Nên $\widehat{A\mathrm{E}B}<\widehat{ACB}$. 

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính $R$ của đường tròn này.

c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính $r$ của đường tròn này.

Phương pháp giải:+) Đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của hình vuông.

+) Đường tròn nội tiếp hình vuông là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình vuông.

+) Sử dụng định lý Pytago để tính toán.

Lời giải:

a) Dùng êke ta vẽ hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4cm$ như sau:

- Vẽ $AB=4cm$.

- Vẽ $BC\mathrm{\perp }AB$ và $BC=4cm$

- Vẽ $DC\mathrm{\perp }BC$ và $DC=4cm$

- Nối $D$ với $A$, ta có $AD\mathrm{\perp }DC$ và $AD=4cm$

b) Ta có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD khi đó ta có: $OA=OB=OC=OD.$ Nên $O$ chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông.

Tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân nên $AB=BC$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$, ta có: 

$\begin{array}{rl}& A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=2\mathrm{A}{B}^2\iff A{C}^2={2.4}^2=32\\ & \Rightarrow AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\end{array}$Vậy ${\displaystyle AO=R=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}}$ 

Vậy $R=2\sqrt{2}$ $cm$

c) Vẽ $OH\mathrm{\perp }DC$.Tương tự ta kẻ từ O các đường vuông góc đến các cạnh AD, AB, BC. Khi đó ta có

Đường tròn tâm $O$, bán kính $OH$. Đó là đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$

Ta có: ${\displaystyle OH=\frac{A\mathrm{D}}{2}=2(cm)}$  Vậy $r=OH=2cm$

a) Tính số đo cung $ApB$.

b) Tính độ dài hai cung $AqB$ và $ApB$.

c) Tính diện tích hình quạt tròn $OAqB$ 

Lời giải:

a) Ta có $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung $AqB$ nên:

$\widehat{AOB}$ = $sđ\stackrel{⏜}{AqB}$ hay $sđ\stackrel{⏜}{AqB}={75}^0$

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{ApB}$ $=360°-\stackrel{⏜}{AqB}$ $={360}^0-{75}^0={285}^0$

b) $l_{\stackrel{⏜}{AqB}}$ là độ dài cung $AqB$, ta có:

${\displaystyle l_{\stackrel{⏜}{AqB}}}$ $={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .2.75}{180}=\frac{5}{6}\pi (cm)}$ 

Gọi $l_{\stackrel{⏜}{ApB}}$ là độ dài cung $ApB$ ta có:

${\displaystyle l_{\stackrel{⏜}{ApB}}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .2.285}{180}=\frac{19\pi }{6}(cm)}$

c) Diện tích hình quạt tròn $OAqB$ là:  ${\displaystyle S_{OAqB}=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi 2^2.75}{360}=\frac{5\pi }{6}(c{m}^2)}$

Phương pháp giải:

+) Công thức tính diện tích hình tròn bán kính R là: $S=\pi R^2$

+) Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung $n^0$ được tính theo công thức: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}\left(hayS={\displaystyle \frac{lR}{2}}\right)$

Lời giải:

a) Hình 69

Diện tích hình tròn bán kính $R=1,5$ là: $S_1=\pi R^2=\pi .1,5^2=2,25\pi$

Diện tích hình tròn bán kính $r=1$ là: $S_2=\pi r^2=\pi .1^2=\pi$

Vậy diện tích miền gạch sọc là: 

$S=S_1–S_2=2,25\pi –\pi =1,25\pi$ (đvdt)

b) Hình 70

Diện tích hình quạt có bán kính $R=1,5$; $n^0={80}^0$

${\displaystyle S_1=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi 1,5^2.80}{360}=\frac{\pi }{2}}$ 

Diện tích hình quạt có bán kính $r=1$; $n^0={80}^0$

${\displaystyle S_2=\frac{\pi r^{2}n}{360}=\frac{\pi {.1}^2.80}{360}=\frac{2\pi }{9}}$

Vậy diện tích miền gạch sọc là: ${\displaystyle S=S_1-S_2=\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{9}=\frac{9\pi -4\pi }{18}=\frac{5\pi }{18}}$

c) Hình 71

Diện tích hình vuông cạnh $a=3$ là:

$S_1=a^2=3^2=9$

Diện tích phần không gạch sọc bằng diện tích 4 quạt tròn bán kính $R=1,5cm$ và có số đo cung là ${90}^0$.

Hay tổng diện tích 4 quạt này bằng diện tích hình tròn bán kính $R=1,5cm.$

Diện tích hình tròn có $R=1,5$ là:

$S_2=\pi R^2=\pi .1,5^2=2,25\pi =7,06$

Vậy diện tích miền gạch sọc là:

$S=S_1–S_2=9–7,06=1,94$ $(c{m}^2).$

a) Khi bánh xe $C$ quay $60$ vòng thì bánh xe $B$ quay mấy vòng?

b) Khi bánh xe $A$ quay $80$ vòng thì bánh xe $B$ quay mấy vòng?

c) Bán kính của các bánh xe $A$ và $B$ là bao nhiêu? 

Phương pháp giải:

Công thức tính chu vi của đường tròn bán kính R là: $C=2\pi R$

Lời giải:

Ta có bánh xe $A$ có $60$ răng, bánh xe $B$ có $40$ răng, bánh xe $C$ có $20$ răng nên suy ra chu vi của bánh xe $B$ gấp đôi chu vi bánh xe $C$, chu vi bánh xe $A$ gấp ba chu vi bánh xe $C$.

Chu vi bánh xe $C$ là: $C_1=2\pi R=2.3,14.1=6,28(cm)$

Chu vi bánh xe $B$ là: $C_2=2C_1=6,28.2=12,56(cm)$

Chu vi bánh xe $A$ là: $C_3=3C_1=6,28.3=18,84(cm)$

a) Khi bánh xe $C$ quay được $60$ vòng thì quãng đường đi được là:

$60.6,28=376,8(cm)$

Khi đó số vòng quay của bánh xe $B$ là:

$376,8:12,56=30$ (vòng)

b) Khi bánh xe $A$ quay được $80$ vòng thì quãng đường đi được là:

$80.18,84=1507,2$ (cm)

Khi đó số vòng quay của bánh xe $B$ là:

$1507,2:12,56=120$ (vòng)

c) Bán kính bánh xe $B$ là: $12,56:(2\pi )=12,56:6,28=2(cm)$ 

Bán kính bánh xe $A$ là: $18,84:(2\pi )=18,84:6,28=3(cm)$

a) Có phải ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ số học sinh là học sinh ngoại trú không?

b) Có phải ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ số học sinh là học sinh bán trú không?

c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?

d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là $1800$ em. 

Lời giải:

Ta có: $\widehat{O_1}={30}^0;\widehat{O_2}={90}^0;\widehat{O_3}={60}^0;\widehat{AOB}={180}^0$

a) Đúng vì:

$\widehat{O_2}={90}^0={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{AOB}$

b) Đúng vì:

$\widehat{O_3}={60}^0={\displaystyle \frac{1}{3}}\widehat{AOB}$

c) Số học sinh nội trú chiếm : ${\displaystyle \frac{30}{180}}$ .100% = 16,7% 

d) Vì ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ số học sinh là học sinh ngoại trú nên số học sinh ngoại trú là $z={\displaystyle \frac{1}{2}}.1800=900$ em

Vì ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ số học sinh là học sinh bán trú nên số học sinh bán trú là $y={\displaystyle \frac{1}{3}}.1800=600$ em

Số học sinh nội trú là $1800-900-600=300$ em

a) $CD=CE$ ;     b) $\Delta BHD$ cân ;     c) $CD=CH$.

Phương pháp giải:

a)  Sử dụng: “Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau” và hai góc phụ nhau từ đó suy ra hai cung bằng nhau và hai dây bằng nhau.

b)  Chứng minh tam giác BHD có BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên nó là tam giác cân

c)  Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng  

Lời giải:

a) Gọi K là giao điểm của BC và AD

Gọi I là giao điểm của BE và AC 

Cách 1:

Ta có: $\widehat{A\mathrm{D}B}=\widehat{A\mathrm{E}B}$ (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$)

$\widehat{DBC}+\widehat{ADB}={90}^0$ (2) (do tam giác BDK vuông tại K)

$\widehat{AEB}+\widehat{CAE}={90}^0$ (3) (do tam giác AIE vuông tại I)

 Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \widehat{CB\mathrm{D}}=\widehat{CA\mathrm{E}}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Có $\widehat{CBD}$ là góc nội tiếp chắn cung CD

$\widehat{EAC}$ là góc nội tiếp chắn cung CE 

⇒ $sđ\stackrel{⏜}{CD}$= $sđ\stackrel{⏜}{CE}$

Suy ra $CD=CE$

Cách 2:

Vì $BC\mathrm{\perp }AD$ nên $\widehat{AKB}={90}^0$

Lại có $\widehat{AKB}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên

$\widehat{AKC}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{DC}+sđ\stackrel{⏜}{BA}}{2}}={90}^0$

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{CD}={180}^0$ (1) 

Vì $BE\mathrm{\perp }AC$ nên $\widehat{AIB}={90}^0$

Lại có $\widehat{AIB}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên

$\widehat{AIB}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{CE}+sđ\stackrel{⏜}{AB}}{2}}={90}^0$

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{CE}={180}^0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $sđ\stackrel{⏜}{CE}=sđ\stackrel{⏜}{CD}$

Suy ra $\stackrel{⏜}{CE}=\stackrel{⏜}{CD}$, do đó $CE=CD.$

b) Ta có $\widehat{EBC}$ và $\widehat{CB\mathrm{D}}$ là góc nội tiếp lần lượt chắn cung $\stackrel{⏜}{CE}$ và $\stackrel{⏜}{CD}$ trong đường tròn $O$ và $\stackrel{⏜}{CD}$= $\stackrel{⏜}{CE}$

nên $\widehat{EBC}=\widehat{CB\mathrm{D}}$ ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)

$\Rightarrow$ BK là phân giác của $\widehat{HBD}$

Lại có BK vuông góc với HD (giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC). Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên  $∆BHD$ cân tại $B$

c) Vì $∆BHD$ cân nên đường cao $BK$ đồng thời là đường trung trực.

Điểm $C$ nằm trên đường trung trực của $HD$ nên $CH=CD$

a) $OM$ đi qua trung điểm của dây $BC$.

b) $AM$ là tia phân giác của góc $OAH$.

Phương pháp giải:

a) + Sử dụng hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau

+ Chỉ ra M là điểm chính giữa cung BC.

b) + Chứng minh $OM//AH$

+ Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tính chất tam giác cân.

Lời giải:

a) Vì $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$  

$\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{BM}$=$\stackrel{⏜}{MC}$ ( 2 góc nội tiếp bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)

$\Rightarrow$ $M$ là điểm chính giữa cung $BC$  

Vậy $OM\mathrm{\perp }BC$ và $OM$ đi qua trung điểm của $BC$ (định lí)

b) Ta có : $OM\mathrm{\perp }BC$ và $AH\mathrm{\perp }BC$ nên $AH//OM$

$\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{AM\mathrm{O}}$  (2 góc so le trong)  (1)

Vì $OA=OM$ (= bán kính đường tròn (O)) nên $∆OAM$ cân tại $O$ $\Rightarrow$ $\widehat{AM\mathrm{O}}=\widehat{MAO}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\widehat{HA\mathrm{M}}=\widehat{MAO}$ 

Vậy $AM$ là đường phân giác của góc $\widehat{OAH}$

Bài 97 trang 105 SGK Toán 9 tập 2: Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$. Trên $AC$ lấy một điểm $M$ và vẽ đường tròn đường kính $MC$. Kẻ $BM$ cắt đường tròn tại $D$. Đường thẳng $DA$ cắt đường tròn tại $S$. Chứng minh rằng:

a) $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp;

b) $\widehat{AB\mathrm{D}}=\widehat{AC\mathrm{D}}$ ;

c) $CA$ là tia phân giác của góc $SCB$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Nếu hai đỉnh kề một cạnh của một tứ giác cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

+ Sử dụng: “Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau” 

+ Chứng minh phần đảo và kết luận. 

Lời giải:

+) Phần thuận: Giả sử $M$ là trung điểm của dây $AB$. Do đó, $OM\mathrm{\perp }AB$ hay $\widehat{AMO}={90}^{\circ }$. Khi $B$ di động trên đường tròn $(O)$ điểm $M$ luôn nhìn đoạn $OA$ cố định dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích của điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ đường kính $OA$. 

+) Phần đảo: Lấy điểm $M^{\prime }$ bất kì trên đường tròn $(I)$. Nối $M^{\prime }$ với $A$, đường thẳng $M^{\prime }A$ cắt đường tròn $(O)$ tại $B^{\prime }$. Nối $M^{\prime }$ với $O$, ta có $\widehat{A{M}^{\prime }O}={90}^0$ hay $O{M}^{\prime }\mathrm{\perp }A{B}^{\prime }$

⇒ $M$ là trung điểm của $A{B}^{\prime }$

Kết luận: Tập hợp các trung điểm $M$ của dây $AB$ là đường tròn đường kính $OA$.

Vẽ đường thẳng song song với $BC$ và cách $BC$ khoảng $2cm$.

Từ đó xác định điểm $A$ và tam giác $ABC.$ 

Lời giải:

 Cách dựng như sau:

- Dựng đoạn $BC=6cm$

- Dựng cung chứa góc ${80}^0$ trên đoạn $BC$ (như bài 46 trang 86)

- Dựng đường thẳng $xy//BC$ và cách $BC$ một khoảng là $2cm$. Đường thẳng $xy$ cắt cung chứa góc ${80}^0$ tại hai điểm $A$ và $A^{\prime }$

- Tam giác $ABC$ là tam giác phải dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc ${80}^0$ dựng trên đoạn BC nên $\widehat{BAC}={80}^0$

+ A ∈ xy song song với BC và cách BC 2cm nên chiều cao $AH=2cm.$

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do xy cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình ($∆ABC$ và $∆A^{\prime }BC$)