Phương pháp giải:

Sử dụng:

+ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

+ Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$ có 

$\widehat{BDC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\stackrel{⏜}{BnC}$ (góc nội tiếp chắn cung $BnC$) 

$\widehat{DBA}={\displaystyle \frac{1}{2}}\stackrel{⏜}{DmA}$ (góc nội tiếp chắn cung $DmA$)

Mà $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}+\widehat{DBA}$ (góc ngoài của tam giác BDE) 

Do đó

"Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn."

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

+ Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Trường hợp 1: 

Ta có: $\widehat{BAC}$ là góc ngoài của tam giác AEC.

Trường hợp 2: 

Ta có: $\widehat{BAC}$ là góc ngoài của tam giác AEC

Trường hợp 3: 

Ta có: $\widehat{CAx}$ là góc ngoài của tam giác AEC

Phương pháp giải:

+) Sử dụng: "Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn."

Lời giải:

Xét đường tròn (O):

Vì  $\widehat{AHM}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn các cung $AM$ và cung $NC$ nên $\widehat{AHM}$= ${\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AM}+sđ\stackrel{⏜}{NC}}{2}}(1)$   

Vì  $\widehat{AEN}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn các cung $AN$ và cung $MB$ nên $\widehat{AEN}$= ${\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{MB}+sđ\stackrel{⏜}{AN}}{2}}(2)$       

Ta có:

$\stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{MB}(3)$ ($M$ là điểm chính giữa cung $AB$).

$\stackrel{⏜}{NC}=\stackrel{⏜}{AN}(4)$  $N$ là điểm chính giữa cung $AC$).

Từ (1),(2), (3), (4), suy ra $\widehat{AHM}=\widehat{AEN}$. Do đó $∆AEH$ cân tại A

Phương pháp giải:

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$, ta có:

$\widehat{ASC}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn cung $MC$ và $AB.$

$\Rightarrow \widehat{ASC}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{MC}}{2}}$ (1)

và $\widehat{MCA}$ = ${\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AM}}{2}}$   (2) (góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{AM}$)

Theo giả thiết thì: $AB=AC=>\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}$  (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).  

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{MC}=sđ\stackrel{⏜}{AC}-sđ\stackrel{⏜}{MC}=sđ\stackrel{⏜}{AM}$  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: $\widehat{ASC}=\widehat{MCA}.$ (đpcm)

$sđ\stackrel{⏜}{AC}=sđ\stackrel{⏜}{CD}=sđ\stackrel{⏜}{DB}={60}^0$. Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{AEB}=\widehat{BTC}$;

b) $CD$ là phân giác của $\widehat{BCT}.$

Phương pháp giải:

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo góc nội tếp bằng nửa số đo cung bị chắn

Lời giải:

a) Xét đường tròn $(O)$ có $sđ\stackrel{⏜}{AC}=sđ\stackrel{⏜}{CD}=sđ\stackrel{⏜}{DB}={60}^0$ nên $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CD}+sđ\stackrel{⏜}{DB}$$={60}^0+{60}^0+{60}^0={180}^0.$

Ta có $\widehat{AEB}$ là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung $CD$ và $AB$ nên:

${\displaystyle \widehat{AEB}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{CD}}{2}}=\frac{{180}^0-{60}^0}{2}={60}^0.}$  

và $\widehat{BTC}$  cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung $BC$ lớn và $BC$ nhỏ (hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên:

$\widehat{BTC}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{BAC}-sđ\stackrel{⏜}{BDC}}{2}}$${\displaystyle =\frac{({180}^0+{60}^0)-({60}^0+{60}^0)}{2}={60}^0.}$  

 Vậy $\widehat{AEB}=\widehat{BTC}={60}^0.$ 

b) Xét đường tròn $(O)$ có:

$\widehat{DCT}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung $CD$ nên:

 $\widehat{DCT}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{CD}}{2}}={\displaystyle \frac{{60}^0}{2}}={30}^0.$

$\widehat{DCB}$ là góc nội tiếp chắn cung $BD$ nên: ${\displaystyle \widehat{DCB}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{DB}}{2}}=\frac{{60}^0}{2}={30}^0.}$

Vậy  $\widehat{DCT}=\widehat{DCB}={30}^0$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}$. $\widehat{BCT}$hay  $CD$ là phân giác của $\widehat{BCT}.$

Phương pháp giải:

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB\mathrm{\perp }CD$ nên $\widehat{AOC}=\widehat{BOC}={90}^0$ nên $\stackrel{⏜}{CA}=\stackrel{⏜}{CB}.$(1)

+) Ta có $\widehat{MSE}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung $AC$ và cung $BM.$

$\Rightarrow \widehat{MSE}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{CA}+sđ\stackrel{⏜}{BM}}{2}}$   (2)

+) $\widehat{CME}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $CM$

$\Rightarrow \widehat{CME}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{CM}}{2}}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{CB}+sđ\stackrel{⏜}{BM}}{2}}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{MSE}=\widehat{CME}$ nên $∆ESM$  cân tại $E$ và $ES=EM$ (đpcm).

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến của dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn. 

+) 2 góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau.

Lời giải:

Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AD$ với đường tròn $(O).$

Xét đường tròn $(O)$ ta có: 

 +) $\widehat{ADS}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung $AB$ và $CE.$

$\Rightarrow \widehat{ADS}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{CE}}{2}}.$  (1)

+) $\widehat{SAD}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $AE.$

$\Rightarrow \widehat{SAD}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{AE}.$  (2)

+) Có: $\widehat{BAE}=\widehat{EAC}$ (do $AE$ là phân giác góc $BAC$)

$\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{BE}=\stackrel{⏜}{EC}$ (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{BE}=sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{EC}$$sđ\stackrel{⏜}{AE}$ (3)

Từ (1) và (3) $\Rightarrow \widehat{ADS}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AE}}{2}}$ (4)

Từ (2) và (4) $\Rightarrow \widehat{ADS}=\widehat{SAD}$$\Rightarrow$ tam giác $SDA$ cân tại $S$ hay $SA=SD$. 

Chứng minh:  $\hat{A}+\widehat{BSM}=2\widehat{CMN}.$

Phương pháp giải:

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$ có:

+) $\hat{A}$ là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn $(O)$ chắn cung $CN$ và $BM$ $\Rightarrow \hat{A}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{CN}-sđ\stackrel{⏜}{BM}}{2}}$  (1)

+) $\widehat{BSM}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn $(O)$ chắn cung $CN$ và $BM$ $\Rightarrow \widehat{BSM}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{CN}+sđ\stackrel{⏜}{BM}}{2}}$   (2)

Cộng (1) và (2) theo vế với vế:

$\hat{A}$+$\widehat{BSM}$$={\displaystyle \frac{2sđ\stackrel{⏜}{CN}+(sđ\stackrel{⏜}{BM}-sđ\stackrel{⏜}{BM)}}{2}}=sđ\stackrel{⏜}{CN}$         (3)

Mà $\widehat{CMN}$ là góc nội tiếp chắn cung $CN$ $\Rightarrow \widehat{CMN}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{CN}}{2}}$           

$\iff$ $2\widehat{CMN}=sđ\stackrel{⏜}{CN}$.  (4) 

Từ (3) và (4) ta được:  $\hat{A}+\widehat{BSM}=2\widehat{CMN}$ (đpcm).

a) Chứng minh $AP\mathrm{\perp }QR.$

b) $AP$ cắt $CR$ tại $I$. Chứng minh tam giác $CPI$ là tam giác cân.

Phương pháp giải:

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

a) Gọi giao điểm của $AP$ và $QR$ là $K$. 

Vì $P,Q,R$ theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn $BC,CA,AB$ bởi các góc $A,B,C$ nên $sđ\stackrel{⏜}{AR}=sđ\stackrel{⏜}{RB}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{AB}$ , $sđ\stackrel{⏜}{AQ}=sđ\stackrel{⏜}{QC}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{AC}$, $sđ\stackrel{⏜}{PC}=sđ\stackrel{⏜}{PB}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{BC}.$  

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AR}+sđ\stackrel{⏜}{QC}+sđ\stackrel{⏜}{CP}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{AC}+{\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{BC}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}(sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB})$$={\displaystyle \frac{1}{2}}{.360}^0={180}^0$

Xét đường tròn $(O)$ ta có:

 +) $\widehat{AKR}$ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung $AR$ và $QP$ nên:  $\widehat{AKR}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AR}+sđ\stackrel{⏜}{QP}}{2}}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AR}+sđ\stackrel{⏜}{QC}+sđ\stackrel{⏜}{CP}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{.180}^0={90}^0.$

Vậy $\widehat{AKR}={90}^0$ hay $AP\mathrm{\perp }QR$

b) Xét đường tròn $(O)$ ta có:

+) $\widehat{CIP}$  là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung $AR$  và $CP$ nên: $\widehat{CIP}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AR}+sđ\stackrel{⏜}{CP}}{2}}$    (1)

+) $\widehat{PCI}$ góc nội tiếp chắn cung $PR$, nên $\widehat{PCI}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{RB}+sđ\stackrel{⏜}{BP}}{2}}$    (2) 

Theo giả thiết thì $\stackrel{⏜}{AR}=\stackrel{⏜}{RB}$  (3)

và  $\stackrel{⏜}{CP}=\stackrel{⏜}{BP}$        (4) 

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: $\widehat{CIP}=\widehat{PCI}$. Do đó $∆CPI$ cân.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Lời giải:

Vì $AB//CD$ nên$\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BD}$ ( 2 cung chắn giữa 2 dây song song thì bằng nhau) (1)

Ta có: $\widehat{AIC}$ là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung $AC$ và cung $BD$ $\Rightarrow \widehat{AIC}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{BD}}{2}}$                      

Theo (1) suy ra $\widehat{AIC}={\displaystyle \frac{sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{AC}}{2}}$$={\displaystyle \frac{2.sđ\stackrel{⏜}{AC}}{2}}=sđ\stackrel{⏜}{AC}$ (3)

Mà $\widehat{AOC}=sđ\stackrel{⏜}{AC}$ (góc ở tâm chắn cung $\stackrel{⏜}{AC}$)  (4)

Từ (3), (4), ta có $\widehat{AOC}=\widehat{AIC}$ (đpcm).