Toptailieu.vn giới thiệu Giải VBT Toán lớp 9 Bài 5. Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn  trang 101,102,103,104 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Bài 5. Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Phần câu hỏi bài 5 trang 101 Vở bài tập toán 9 tập 2

Câu 12.

Hãy ghi công thức tính số đo của góc có đỉnh ở bên tròn đường tròn

$\widehat{BEC}=\frac{1}{2}\left(.....-.....\right)$

Ta có $AB=OD\Rightarrow AB=OB$ (vì $OB=OD$ và cùng bằng bán kính đường tròn $\left(O\right)$) nên tam giác $OBA$ cân tại $B$ $\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{BOA}$ (1) (tính chất)

Lại có $\widehat{BOC}=$ sđ $\stackrel{⏜}{BC}$ và $\widehat{BAO}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ$\stackrel{⏜}{ED}$ -  sđ$\stackrel{⏜}{BC}$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra sđ$\stackrel{⏜}{BC}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ$\stackrel{⏜}{ED}-sđ\stackrel{⏜}{BC}$) $\iff$sđ$\stackrel{⏜}{BC}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}$ sđ $\stackrel{⏜}{ED}$

$={\displaystyle \frac{{45}^{\circ }}{3}}={15}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{OAB}=\widehat{BOA}={15}^{\circ }$

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB,AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là điểm chính giữa của cung $AB$ và cung $AC$. Đường thẳng $MN$ cắt dây $AB$ tại $E$ và cắt dây $AC$ tại $H$. Chứng minh tam giác $AEH$ là tam giác cân.

Phương pháp giải:

Sử dụng: “Số đo của góc đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn” để chứng minh tam giác  cân do có hai góc ở đáy bằng nhau.

Trả lời:

Xét $\mathrm{\Delta }AEH$, ta có :

(1)           $\widehat{AEN}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ$\stackrel{⏜}{MB}$+ sđ$\stackrel{⏜}{AN}$);

(2)           $\widehat{AHM}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ$\stackrel{⏜}{MA}$+ sđ$\stackrel{⏜}{CN}$)

Vì (1) và (2) là các góc có đỉnh bên trong đường tròn.

Theo giả thiết ta có $\stackrel{⏜}{MA}=\stackrel{⏜}{MB}$; $\stackrel{⏜}{NA}=\stackrel{⏜}{NC}$

Vậy từ (1) và (2) ta có $\widehat{AEN}=\widehat{AHM}\Rightarrow \mathrm{\Delta }AEH$ cân tại $A.$

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB,AC$ bằng nhau. Trên cung nhỏ $AC$ lấy một điểm $M$. Gọi $S$ là giao điểm của $AM$ và $BC$. Chứng minh $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{S}C}=\widehat{ASM}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức :

+ Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

Trả lời:

óc $ASB$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên $\widehat{ASB}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ - sđ $\stackrel{⏜}{MC})$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (sđ$\stackrel{⏜}{AC}$ - sđ $\stackrel{⏜}{MC}$)        (1)

$\widehat{MCA}={\displaystyle \frac{1}{2}}$sđ $\stackrel{⏜}{AM}$        (2)

Theo giả thiết ta có $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}$

Do đó, $\stackrel{⏜}{AB}$ - $\stackrel{⏜}{MC}$ = $\stackrel{⏜}{AC}$ - $\stackrel{⏜}{MC}$ = $\stackrel{⏜}{AM}$

Vậy từ (1) và (2) ta có $\widehat{ASC}=\widehat{MCA}$ (đpcm)

Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung $AC,CD,DB$ sao cho sđ$\stackrel{⏜}{AC}$ =sđ$\stackrel{⏜}{CD}$ =sđ $\stackrel{⏜}{DB}={60}^{\circ }$ . Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $T$.

 Chứng minh rằng :

a) $\widehat{AEB}=\widehat{BTC}$ ;

b) CD là tia phân giác của $\widehat{BTC}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+ Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+ Số đo nửa đường tròn bằng ${180}^{\circ }$

+ Tổng bốn góc trong tứ giác bằng ${360}^{\circ }$

+ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

+ Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.

Trả lời:

a) Xét hai góc $AEB$ và $BTC,$ ta có $E,T$ nằm ngoài đường tròn nên

 $\widehat{AEB}={\displaystyle \frac{1}{2}}$($sđ\stackrel{⏜}{AB}$ - $sđ\stackrel{⏜}{CD}$) $={\displaystyle \frac{1}{2}}\left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)={60}^{\circ }$.

$\widehat{BTC}={\displaystyle \frac{1}{2}}[($$sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{AC}$)  $-(sđ\stackrel{⏜}{CD}+sđ\stackrel{⏜}{DB}$$)]$$={\displaystyle \frac{1}{2}}(sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{CD}$)$={\displaystyle \frac{1}{2}}\left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)={60}^{\circ }$. 

(Vì từ giả thiết ta có $sđ\stackrel{⏜}{AC}=sđ\stackrel{⏜}{CD}$ $=sđ\stackrel{⏜}{DB}={60}^{\circ }$ và $sđ\stackrel{⏜}{AB}$ $=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CD}+sđ\stackrel{⏜}{DB}$ $={180}^{\circ })$

Vậy $\widehat{AEB}=\widehat{BTC}$ (đpcm).

b)  Ta có $\widehat{DCB}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ$\stackrel{⏜}{BD}$$={30}^{\circ }$(góc nội tiếp chắn cung $BD$);

$\widehat{DCT}={\displaystyle \frac{1}{2}}$sđ$\stackrel{⏜}{CD}$$={30}^{\circ }$ (vì góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung $DC$)

Theo giả thiết $\stackrel{⏜}{CD}=\stackrel{⏜}{DB}$ 

nên $\widehat{DCB}=\widehat{DCT}\Rightarrow$ $CD$ là tia phân giác của $\widehat{BCT}$ (đpcm)

Cho $AB$ và $CD$ là hai đường kính vuông góc của đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $BD$ lấy một điểm $M$. Tiếp tuyến tại $M$ cắt tia $AB$ ở $E$, đoạn thẳng $CM$ cắt $AB$ ở $S$. Chứng minh $SE=EM$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức :

+ Số đo của góc đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+ Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn

Từ đó chứng minh $\mathrm{\Delta }ESM$ cân tại $E$ để suy ra hai cạnh bên bằng nhau.

Trả lời:

Vì $AB\mathrm{\perp }CD$ tại $O$ nên ta có $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{CB}$ $=\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{BD}$

-  Góc $CSA$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn 

Do đó, $\widehat{CSA}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ $\stackrel{⏜}{AC}+$ sđ$\stackrel{⏜}{BM}$)    (1)

- Góc $CME$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Do đó,  $\widehat{CME}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ$\stackrel{⏜}{CM}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ $\stackrel{⏜}{CB}+$ sđ$\stackrel{⏜}{BM}$)     (2)

Theo giả thiết $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{CB}$ $=\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{BD}$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{CSA}=\widehat{CME}$

Mà  $\widehat{CSA}=\widehat{ESM}$ vì hai góc đối đỉnh $\Rightarrow \widehat{ESM}=\widehat{CME}$

Vậy $\mathrm{\Delta }MES$ là tam giác cân tại $E$ nên $ES=EM.$

Bài 27 trang 103 Vở bài tập toán 9 tập 2

Qua điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai cát tuyến $ABC$ và $AMN$ sao cho hai đường thẳng $BN$ và $CM$ cắt nhau tại $S$ nằm bên trong đường tròn. Chứng minh

            $\hat{A}+\widehat{BSM}=2.\widehat{CMN}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+ Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+ Số đo của góc đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

Trả lời:

Theo giả thiết  $\hat{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (sđ $\stackrel{⏜}{NC}-$ sđ$\stackrel{⏜}{BM}$)    (1)

                        $\widehat{BSM}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ$\stackrel{⏜}{NC}+$ sđ$\stackrel{⏜}{BM}$)    (2)

Ta có  $\widehat{CMN}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ $\stackrel{⏜}{NC}$ vì góc nội tiếp chắn cung $NC.$         (3)

Vậy từ (1), (2), (3) ta có $\hat{A}+\widehat{BSM}=2\widehat{CMN}$

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung song song $AB,CD$ ($A$ và $C$ nằm trong cùng một mặt phẳng bờ $BD$) ; $AD$ cắt $BC$ tại $I$. Chứng minh rằng $\widehat{AOC}=\widehat{AIC}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+ Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

+ Số đo của góc đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+ Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.

Trả lời:

GT: $A,B,C,D\in (O)$, $AB//CD$, $AD\cap BC=\left\{I\right\}$

KL: $\widehat{AOC}=\widehat{AIC}$ 

Góc $\widehat{AOC}$ là góc ở tâm chắn cung $AC$

Nên ta có : $\widehat{AOC}=$ sđ$\stackrel{⏜}{AC}$               (1)

Góc $AIC$ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên ta có :

                $\widehat{AIC}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(sđ$\stackrel{⏜}{AC}+$ sđ$\stackrel{⏜}{BD}$)         (2)

Vì $AB//CD\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BD}$ (3) (hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)

Vậy từ (1) , (2) và (3) ta có $\widehat{AOC}=\widehat{AIC}$

Nhận xét : Trong quá trình giải bài toán chứng minh các góc bằng nhau, ta sử dụng các khái niệm về số đo của góc tương ứng, định lí và hệ quả của nó; đồng thời áp dụng tính chất đồng dạng của tam giác để chứng minh tỉ số hai đoạn thẳng