Toptailieu.vn giới thiệu Giải VBT Toán lớp 9 Bài 6. Cung chứa góc trang 105,106,107,108 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Bài 6. Cung chứa góc

Phần câu hỏi bài 6 trang 105 Vở bài tập toán 9 tập 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh $BC$ cố định. Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm $I$ khi $A$ thay đổi.

Phương pháp giải:

Ta chứng minh hai phần:

+ Phần thuận: Tính góc $\widehat{BIC}$ rồi kết luận theo quỹ tích cung chứa góc dựng trên đoạn BC.

+ Phần đảo: Lấy I’ thuộc cung chứa góc vừa xác định xong, ta chứng minh I’ là giao của ba đường phân giác góc trong của tam giác $A^{\prime }BC.$ (Với $A^{\prime }$ được dựng sao cho $\widehat{I^{\prime }B{A}^{\prime }}=\widehat{I^{\prime }BC}$)

Trả lời:

a) Phần thuận:

Điểm A luôn nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc ${90}^{\circ }$ nên quỹ tích điểm $A$ là đường tròn đường kính $BC.$

Vì $\widehat{BIC}=\widehat{I_1}+\widehat{I_2}$                       (1)

$\mathrm{\Delta }AIB$ và $\mathrm{\Delta }AIC$ lần lượt có góc $I_1$ và $I_2$ là các góc ngoài, nên ta có :

$\widehat{I_1}=\widehat{B_1}+\widehat{A_1}$   (2) và $\widehat{I_2}=\widehat{A_2}+\widehat{C_1}$        (3)

Cộng (2) với (3) và từ (1), ta được $\widehat{BIC}=\widehat{A_1}+\widehat{B_1}+\widehat{A_2}+\widehat{C_1}$  mà $\widehat{B_1}+\widehat{C_1}$$={\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{2}}$ vì theo giả thiết $AI;BI$ và $CI$ là các đường phân giác của góc các góc $A,B,C.$

Do đó, $\widehat{BIC}=\hat{A}+{45}^{\circ }={90}^{\circ }+{45}^{\circ }={135}^{\circ }$$\Rightarrow \widehat{BIC}$ luôn không đổi.

Khi điểm $A$ thay đổi trên đường tròn đường kính $BC$ thì điểm I thay đổi và luôn nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc ${135}^{\circ }.$

Vậy điểm I thuộc hai cung tròn chứa góc ${135}^{\circ }$ và dựng cố định trên đoạn BC.

b) Phần đảo:

Lấy I’ bất kì trên cung $B{m}^{\prime }C$ (hoặc cung $BmC)$, ta chứng minh I’ là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác $A^{\prime }BC$ vuông tại $A^{\prime }.$

Nối $B{I}^{\prime };C{I}^{\prime }$. Để xác định điểm $A^{\prime }$ ta dựng góc $I^{\prime }Bx$ bằng góc $I^{\prime }BC.$ Đường thẳng $Bx$ cắt đường tròn đường kính $BC$ chính là điểm $A^{\prime }.$ Nối $A^{\prime }$ với $C$ và $I^{\prime }$ ta được tam giác $A^{\prime }BC$ vuông, $\widehat{A^{\prime }}={90}^{\circ }$ vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Vì $I^{\prime }$ nằm trên cung $B{m}^{\prime }C$ nên $\widehat{B{I}^{\prime }C}={135}^{\circ }\Rightarrow \widehat{I^{\prime }BC}+\widehat{I^{\prime }CB}={45}^{\circ }.\left(4\right)$

Mặt khác $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$  (5) 

             $\hat{B}=\widehat{I^{\prime }BC}$$+\widehat{I^{\prime }B{A}^{\prime }}$

             $\hat{C}=\widehat{I^{\prime }CB}$$+\widehat{I^{\prime }O{A}^{\prime }}$ nên từ (5) ta có :

$\widehat{I^{\prime }B{A}^{\prime }}+\widehat{I^{\prime }BC}+\widehat{I^{\prime }CB}+\widehat{I^{\prime }C{A}^{\prime }}={90}^{\circ }.$

Từ (4) $\Rightarrow \widehat{I^{\prime }B{A}^{\prime }}+\widehat{I^{\prime }C{A}^{\prime }}={45}^{\circ }\left(6\right)$

Từ (4) và (6) ta có $\widehat{I^{\prime }BC}+\widehat{I^{\prime }CB}=\widehat{I^{\prime }B{A}^{\prime }}+\widehat{I^{\prime }C{A}^{\prime }}.$

Mà $\widehat{I^{\prime }B{A}^{\prime }}=\widehat{I^{\prime }BC}$ theo cách dựng,  nên ta có  $\widehat{I^{\prime }CB}=\widehat{I^{\prime }C{A}^{\prime }}\Rightarrow I^{\prime }C$ là đường phân giác  của góc $C$, hay $I^{\prime }$ là  giao điểm các đường phân giác trong của tam giác $A^{\prime }BC.$

c) Kết luận: Quỹ tích các điểm I là giao điểm của ba đường phân giác trong thỏa mãn $\widehat{BIC}={135}^{\circ }$ là điểm thuộc hai cung tròn chứa góc ${135}^{\circ }$ dựng trên đoạn BC.

Dựng một cung chứa góc ${55}^{\circ }$ trên đoạn thẳng $AB=3cm.$

Phương pháp giải:

Thực hiện quy trình dựng sau đây :

1. Vẽ đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ ;

2. Vẽ tia $Ax$ tạo với $AB$ một góc $\alpha$ ;

3. Vẽ đường thẳng $Ay$ vuông  góc với $Ax$. Gọi $O$ là giao điểm của $Ay$ với $d$.

4. Vẽ cung $AmB$ , tâm $O$, bán kính $OA$ sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa tia $Ax$. Cung $AmB$ được vẽ  như trên là một cung chứa góc $\alpha$.

Trả lời:

-Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng $AB.$

- Vẽ tia $Ax$ tạo với $AB$ góc $\alpha ={55}^{\circ }$

- Vẽ đường thẳng $Ay$ , vuông góc với $Ax.$

- Gọi $O$ là giao điểm của $Ay$ và đường thẳng $d$

- Vẽ cung $AmB$, tâm $O$, bán kính $OA$ sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia $Ax.$ Khi đó, cung $AmB$ là cung chứa góc ${55}^{\circ }$ cần dựng

Gọi cung chứa góc ${55}^{\circ }$ ở bài 30 là $\stackrel{⏜}{AmB}$ . Lấy điểm $M_1,M_2$ và cung $AmB$ nằm cùng một phía đối với đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng :

a)  $\widehat{A{M}_{1}B}>{55}^{\circ }$ ;

b) $\widehat{A{M}_{2}B}<{55}^{\circ }$.

Phương pháp giải:

 Sử dụng:

+ Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

+ Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

Trả lời:

a)

Gọi $A^{\prime }$,$B^{\prime }$ lần lượt là giao của $A{M}_1;B{M}_1$ với đường tròn.

Góc $A{M}_{1}B$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên ta có :

$\widehat{A{M}_{1}B}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (sđ$\stackrel{⏜}{AB}+$ sđ$\stackrel{⏜}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$) 

Mà $\widehat{A{A}^{\prime }B}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ$\stackrel{⏜}{AB}$$={55}^{\circ }$ vì ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ (sđ$\stackrel{⏜}{AB}+$ sđ$\stackrel{⏜}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$) $>{\displaystyle \frac{1}{2}}$sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ nên $\widehat{A{M}_{1}B}>{55}^{\circ }$

b)

Góc $A{M}_{2}B$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên ta có :

 $\widehat{A{M}_{2}B}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (sđ$\stackrel{⏜}{AB}-$ sđ$\stackrel{⏜}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$) 

Mà $\widehat{A{B}^{\prime }B}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ$\stackrel{⏜}{AB}$$={55}^{\circ }$ vì ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ (sđ$\stackrel{⏜}{AB}-$ sđ$\stackrel{⏜}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$)$<{\displaystyle \frac{1}{2}}$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ nên $\widehat{A{M}_{2}B}<{55}^{\circ }$

Dựng tam giác $ABC$, biết $BC=6cm$, $\hat{A}={55}^{\circ }$ và đường cao $AH=4cm$.

Phương pháp giải:

Dựng cung chứa góc ${40}^{\circ }$ trên cạnh $BC$.

Vẽ đường thẳng song song với $BC$ và cách $BC$ khoảng $4cm$.

Từ đó xác định điểm $A$ và tam giác $ABC.$

Trả lời:

+ Kẻ đoạn thẳng $BC=6cm$;

+ Dựng cung chứa góc ${40}^{\circ }$ trên đoạn $BC;$

- Vẽ đường trung trực d của đoạn $BC$

- Vẽ tia $Bx$ tạo với $BC$ góc ${40}^{\circ }$

- Vẽ tia $By$ vuông góc với tia $Bx.$

- Gọi $O$ là giao điểm của $By$ với $d$.

Vẽ cung $BmC$,  tâm $O$,  bán kính $OB$ sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ $BC$ không chứa $Bx$.

 Cung $BmC$ chính là cung chứa góc ${40}^{\circ }$ cần dựng.

+ Dựng đường thẳng $Et$ song song với $BC$ và cách $BC$ một khoảng $4cm.$ Gọi giao điểm của đường thẳng $Et$  với cung $BmC$ là $A$ và $A^{\prime }.$ Khi đó, tam giác $ABC$ hoặc tam giác $A^{\prime }BC$ là hai tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài 33 trang 108 Vở bài tập toán 9 tập 2

Cho đường tròn đường kính $AB$ cố định, $M$ là điểm chạy trên đường tròn ($M$ khác cả $A$ và $B$). Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $I$ sao cho $MI=2.MB$.

a) Chứng minh $\widehat{AIB}$ không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm $I$ nói trên. 

Phương pháp giải:

a) Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn

b) Chứng minh theo hai phần: Phần thuận và phần đảo.

Lập luận để có quỹ tích là cung chứa góc $AIB$ dựng trên đoạn $BC$.

Chú ý đến giới hạn của quỹ tích.

Trả lời:

Nối $IB$ 

a) Góc $AMB$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat{AMB}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BMI$ là tam giác vuông.

Do đó, ta có : 

                       $\tan \widehat{MIB}={\displaystyle \frac{MB}{MI}}={\displaystyle \frac{MB}{2MB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 

Vậy $\widehat{AIB}=\alpha$ không đổi. Bằng cách tra bảng số hoặc dùng máy tính bỏ túi, ta thấy  $\alpha \approx {26}^{\circ }{34}^{\prime }.$

b) Phần thuận:

Khi điểm $M$ thay đổi trên đường tròn đường kính $AB$ thì điểm $I$ thay đổi và luôn nhìn cạnh $AB$ dưới một góc $\widehat{MIB}$ không đổi. Vậy điểm $I$ thuộc hai cung chứa góc $\alpha$ sao cho $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ dựng trên đoạn $AB$.

Nhưng tiếp tuyến $PQ$ với đường tròn đường kính $AB$ tại $A$ là vị trí giới hạn của $AM$. Do đó,  điểm $I$ thuộc hai cung $PmB$ và $Q{m}^{\prime }B$.

Hai điểm $P,Q$ là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm $B$ là điểm đặc biệt của quỹ tích

Phần đảo:

Lấy điểm $I^{\prime }$ bất kỳ thuộc $\stackrel{⏜}{Q{m}^{\prime }B}$ (hoặc cung $PmB$) 

Nối $A{I}^{\prime }$ cắt đường tròn đường kính $AB$  tại $M^{\prime }.$ Ta chứng minh $M^{\prime }{I}^{\prime }=2M^{\prime }B.$

Xét $\mathrm{\Delta }B{M}^{\prime }{I}^{\prime }$ vuông ở $M^{\prime }$$\Rightarrow \tan \widehat{B{I}^{\prime }{M}^{\prime }}={\displaystyle \frac{B{M}^{\prime }}{M^{\prime }{I}^{\prime }}}$ $=\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\Rightarrow M^{\prime }{I}^{\prime }=2B{M}^{\prime }.$

Kết luận: Quỹ tích các điểm $I$ là  cung $PmB$ và cung $Q{m}^{\prime }B$.