Toptailieu.vn giới thiệu Giải VBT Toán lớp 9 Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trang 97,98,99,100 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

 Phần câu hỏi bài 4 trang 97, 98 Vở bài tập toán 9 tập 2

Câu 9

Khoanh tròn vào chữ cái dưới hình chỉ góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trong hình 22.

Phương pháp giải:

Chứng minh tam giác $OBC$ đều

Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác bằng ${360}^{\circ }$ để tính $\widehat{BAC}$.

Trả lời:

Câu 11.

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, lấy điểm M khác A và B trên đường tròn. Gọi N là giao điểm của BM với tiếp tuyến A của đường tròn. Biết $\widehat{BOM}={120}^o$ . Số đo của góc NAM là:

(A) 20^o                                     (B) 30^o

(C) 45^o                                     (D) 60^o

Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả đúng. 

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tia tiếp tuyến, tính chất tam giác đều và tính chất hai góc kề bù.

Trả lời:

Ta có $\widehat{MOB}+\widehat{MOA}={180}^{\circ }$ (hai góc kề bù)  nên $\widehat{MOA}={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$ 

Xét tam giác $OMA$ có $OA=OM$ (= bán kính) lại có $\widehat{MOA}={60}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{\Delta }OMA$ là tam giác đều nên $\widehat{MAO}={60}^{\circ }$

Lại có $AN$ là tiếp tuyến của $\left(O\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }NA\Rightarrow \widehat{NAB}={90}^{\circ }$

Từ đó $\widehat{MAN}=\widehat{NAB}-\widehat{MAO}$$={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }.$

Chọn B.

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$, lấy điểm $P$ khác $A$ và $B$ trên đường tròn. Gọi $T$ là giao điểm của $AP$ với tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn . Chứng minh $\widehat{APO}=\widehat{PBT}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Và tính chất tam giác cân. 

Trả lời:

Xét $\mathrm{\Delta }AOP$, ta có $OA=OP$ vì đều là bán kính 

Do đó, $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}OP$ cân $\widehat{APO}=\widehat{PAO}.\left(1\right)$

Mặt khác,

$\widehat{PAB}=\widehat{PBT}$ cùng chắn cung $BP$.         (2) 

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{APO}=\widehat{PBT}.$

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime })$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Tiếp tuyến $A$ của đường tròn $(O^{\prime })$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Tia $PB$ cắt đường tròn $(O^{\prime })$ tại $Q$. Chứng minh đường thẳng $AQ$ song song với tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn $(O)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng : Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Trả lời:

Đối với đường tròn $\left(O\right)$ ta có

 $\widehat{PAB}=\widehat{BPx}$ vì $\widehat{PAB}$ là góc nội tiếp chắn cung $PB$ và $\widehat{BPx}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $BP$  (1)

Đối với đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$, ta có:

$\widehat{AQB}=\widehat{PAB}$ vì $\widehat{AQB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$ và $\widehat{PAB}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $AB$  (2)

Vậy từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{BPx}=\widehat{ABQ}$ nên $AQ//Px$ vì hai góc so le trong bằng nhau

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Cụ thể là:

Nếu góc $BAx$ (với đỉnh $A$ nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung $AB$), có số đo bằng nửa số đo cung $AB$ căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh $Ax$ là một tia tiếp tuyến của đường tròn. 

Phương pháp giải:

Ta chứng minh $OA\mathrm{\perp }Ax$ để chỉ ra $Ax$ là tiếp tuyến của $\left(O\right).$

Trả lời:

Kẻ đường kính vuông góc với $AB$ tại $H$  và cắt cung $AB$ tại $M$ $\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{BM}$ vì đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó. 

Ta có $\widehat{AOM}=$ sđ $\stackrel{⏜}{AM}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ$\stackrel{⏜}{AB}$   (1)

Theo giả thiết ta có

$\widehat{BAx}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ$\stackrel{⏜}{AB}$          (2)

vì $\stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{MB}$ và từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{BAx}$

Trong $\mathrm{\Delta }AOH$ vuông tại $H$ ta có:

 $\widehat{AOH}+\widehat{HAO}={90}^{\circ }$ 

Vậy $\widehat{BAx}+\widehat{HAO}={90}^{\circ }\Rightarrow Ax\mathrm{\perp }OA$ tại $A.$

Suy ra $Ax$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right).$

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Một tiếp tuyến của đường tròn $P$ cắt đường thẳng $AB$ tại $T$ (Điểm $B$ nằm giữa $O$ và $T$).

Chứng minh $\widehat{BTP}+2\widehat{TPB}={90}^o$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+ Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+ Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn

+ Trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng ${90}^{\circ }$.

Trả lời:

Kẻ $OP\mathrm{\perp }PT.$ Ta có

$\widehat{TPB}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ$\stackrel{⏜}{BP}$ vì số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ số đo cung bị chắn.

Do đó,  $\widehat{TPB}={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{BOP}$ vì $\widehat{BOP}$ là góc ở tâm chắn cung $BP.$                    (1)

Trong tam giác vuông $TOP$ vuông ở $P$ ta có $\widehat{BTP}+\widehat{BOP}={90}^{\circ }$

Từ (1) ta có : $\widehat{BTP}+2\widehat{TPB}={90}^{\circ }.$

Bài 21 trang 100 Vở bài tập toán 9 tập 2

Cho $A,B,C$ là ba điểm trên một đường tròn. $At$ là tiếp tuyến của đường tròn tại $A$. Đường thẳng song song với $At$ cắt $AB$ tại $M$ và cắt $AC$ tại $N$. Chứng minh $AB.AM=AC.AN$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song

+ Sử dụng hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+ Chứng minh $\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }ANM$ để suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Trả lời:

Vì $At//MN$ nên $\widehat{BAt}=\widehat{AMN}\left(1\right)$ (hai góc ở vị trí so le trong)

mà $\widehat{BAt}=\widehat{ACB}$ (2) vì cùng chắn $\stackrel{⏜}{AB}$ 

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

Vậy $\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }ANM$ (vì $\hat{A}$ chung và $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$)

Do đó ${\displaystyle \frac{AB}{AN}}={\displaystyle \frac{AC}{AM}}\iff AB.AM=AC.AN$ (đpcm)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cắt MAB. Chứng minh MT² = MA.MB.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+ Chứng minh $\mathrm{\Delta }\mathrm{M}\mathrm{T}\mathrm{A}\backsim \mathrm{\Delta }\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{T}$ để suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Trả lời:

Xét $\mathrm{\Delta }MTA$ và $\mathrm{\Delta }MBT$ có $\widehat{MTA}=\widehat{ABT}$ (do $\widehat{MTA}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến $MT$ và dây cung $AT$; $\widehat{ABT}$ là góc nội tiếp chắn cung $AT$) và $\hat{M}$ chung Vậy $\mathrm{\Delta }MTA\backsim \mathrm{\Delta }MBT\left(g-g\right)$

Suy ra ${\displaystyle \frac{MT}{MB}}={\displaystyle \frac{MA}{MT}}\iff M{T}^2=MA.MB$ (đpcm)

Nhận xét: Đoạn thẳng MT được gọi là trung bình nhân của hai đoạn MA và MB.