Toptailieu.vn giới thiệu Giải VBT Toán lớp 9 Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau trang 126,127,128,129,130 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Phần câu hỏi bài 6 trang 126, 127 Vở bài tập toán 9 tập 1

Câu 11.

Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trước phương án đúng.

Cho tam giác ABC không là tam giác cân. Ta có:

(A) Đường tròn tiếp xúc với hai cạnh AB, AC có tâm nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.

(B) Đường tròn tiếp xúc với hai cạnh AB, AC có tâm nằm trên đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.

(C) Đường tròn tiếp xúc với hai cạnh AB, AC có tâm nằm trên đường cao xuất phát từ đỉnh A.

(D) Cả ba khẳng định trên đều sai.

Phương pháp giải:

Dùng kiến thức : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Trả lời:

Trả lời:

Vì trong tam giác đều, giao điểm ba đường phân giác trùng với trọng tâm, trực tâm của tam giác đó nên đáp án A, B, C đều đúng.

Chọn D.

Cho đường tròn $(O)$, điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn ($B,C$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng $OA$ vuông góc với $BC$.

b) Vẽ đường kính $CD$. Chứng minh rằng $BD$ song song với $AO$.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$; biết $OB=2cm,OA=4cm$.

Phương pháp giải:

a) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

b) Dùng tính chất đường trung bình trong tam giác.

c) Dùng định lí Py-ta-go và tính chất của tam giác cân, tam giác đều. 

Trả lời:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ ta có :

$AB=AC,\widehat{OAB}=\widehat{OAC}.$

Tam giác $ABC$ có hai cạnh bằng nhau nên là tam giác cân, lại có $AO$ là tia phân giác nên $AO\mathrm{\perp }BC.$

b) Ta chứng minh $OH$ là đường trung bình của tam giác $CBD.$ Gọi $H$ là giao điểm của và $BC.$ Ta có

$BH=HC$ (vì trong tam giác cân tia phân giác hạ từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến).

Mặt khác, $DO=CO$ (bán kính) nên $OH$ là đường trung bình của tam giác $CBD,$ suy ra $BD//OH,$ tức là $BD//AO.$

c) Tính $AC:$ Áp dụng định lí Py-ta-go ta có : $A{C}^2=A{B}^2=A{O}^2-B{O}^2$$=4^2-2^2=12\left(cm\right)$

suy ra $AC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\left(cm\right).$

Xét tam giác vuông $OAC,$ ta có $\sin \widehat{OAC}={\displaystyle \frac{OC}{OA}}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ nên $\widehat{AOC}={30}^o,$ do đó $\widehat{BAC}=2.\widehat{OAC}={60}^o.$

Tam giác $ABC$ là tam giác đều vì là tam giác cân có một góc ${60}^o$. 

Do đó $AB=BC=AC=2\sqrt{3}\left(cm\right).$

Chú ý :

Câu b) còn có thể giải theo cách khác như sau :

Chứng minh $BD\mathrm{\perp }BC$ và $AO\mathrm{\perp }BC$ từ đó suy ra $BD//AO.$

Từ một điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$, kẻ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn ($B,C$ là các tiếp điểm). Qua điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$, kẻ tiếp tuyến với đường tròn $O$, nó cắt các tiếp tuyến $AB$ và $AC$ theo thứ tự ở $D$ và $E$. Chứng minh rằng chu vi tam giác $ADE$ bằng $2AB$. 

Phương pháp giải:

- Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, tìm cặp đoạn thẳng bằng nhau.

- Xác định chu vi $\mathrm{\Delta }ADE$ bằng tổng của các đoạn thẳng nào, thay các đoạn thẳng chưa thuộc $AB,AC$ bằng những đoạn thẳng thuộc $AB,AC$.

Trả lời:

Chu vi tam giác $ADE$ bằng $AD+DE+AE$ $=AD+DM+ME+AE(1)$

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có

$DM=DB(2)$

$ME=EC\left(3\right)$

Từ $\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)$ suy ra

$AD+DM+ME+AE$$=AD+BD+EC+AE$$=AB+AC$

Ta lại có $AB=AC$ nên chu vi tam giác $ADE$ bằng $2AB.$

Cho đường tròn (O), điểm I nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến IA, IB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của IO và AB. Cho biết AB = 24cm, IA = 20cm.

a) Tính độ dài AH, IH, OH.

b) Tính bán kính của đường tròn (O). 

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và định lí Py-ta-go.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go để tính độ dài đoạn $OA.$

Trả lời:

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $IA=IB,$ $IO$ là tia phân giác của $\widehat{AIB}$

Tam giác  $IAB$ cân tại $I$ có $IH$ là đường phân giác nên cũng là đường cao và đường trung tuyến.

Do đó $AH=HB={\displaystyle \frac{AB}{2}}=12\left(cm\right).$

Tính $IH:$ Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $IAH$ ta có :

$I{H}^2=A{I}^2-A{H}^2$$={20}^2-{12}^2=256$

Suy ra $IH=16cm.$

Tính $OH:$ Xét tam giác $OAI$ vuông tại $A,$ đường cao $AH,$ ta có :

$A{H}^2=OH.IH$ hay ${12}^2=OH.16.$ Do đó $OH={\displaystyle \frac{{12}^2}{16}}=9\left(cm\right).$

b) Tính $OA:$ Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $AHO$ ta có $OA=\sqrt{A{H}^2+O{H}^2}$$=\sqrt{{12}^2+9^2}=\sqrt{225}\left(cm\right).$

Do đó $OA=15cm.$

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $AB$ (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi $Ax,By$ là các tia vuông góc với $AB$ ($Ax,By$ và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $AB$). Qua điểm $M$ thuộc nửa đường tròn ($M$ khác $A$ và $B$), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt $Ax$ và $By$ theo thứ tự ở $C$ và $D$.

Chứng minh rằng: 

a) $\widehat{CO\mathrm{D}}={90}^0$

b) $CD=AC+BD$

c) Tích $AC.BD$ không đổi khi điểm $M$ di chuyển trên nửa đường tròn.

Phương pháp giải:

a) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù.

b) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$ vào tam giác vuông $COD.$

Trả lời:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có

$OC$ là tia phân giác của $\widehat{AOM}$

$OD$ là tia phân giác của $\widehat{MOB}$

Hai góc $\widehat{AOM}$ và $\widehat{MOB}$ kề bù nên $OC\mathrm{\perp }OD.$ Vậy $\widehat{COD}={90}^o.$

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :

$AC=MC,BD=MD.$

Suy ra $AC+BD=MC+MD=CD$

Vậy $CD=AC+BD.$

c) Ta có $AC=MC,BD=MD,$ nên $AC.BD=MC.MD$

Xét tam giác $COD$ vuông tại $O,$ đường cao $OM,$ ta có

$CM.DM=O{M}^2.$

Gọi $R$ là bán kính của đường tròn $\left(O\right),$ ta có $OM=R.$

Do đó $AC.BD=R^2$ (không đổi).

Bài 26 trang 130 Vở bài tập toán 9 tập 1

Trên hình , tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O)

a) Chứng minh rằng:

$2AD=AB+AC-BC.$

b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a).

Phương pháp giải:

Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tìm các cặp đoạn thẳng bằng nhau và biến đổi về phải sao cho kết quả bằng vế trái.

Trả lời:

a) Ta có $AB=AD+BD,AC=AF+FC,$$BC=BE+EC$ nên

$AB+AC-BC$$=\left(AD+BD\right)+\left(AF+FC\right)-\left(BE+EC\right)$

$=\left(AD+AF\right)+\left(DB-BE\right)+\left(FC-EC\right).$

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có

$DB=BE,FC=CE,AF=AD$

Suy ra $AB+AC-BC=AD+AF=2AD.$

Vậy $2AD=AB+AC-BC.$ 

b) Tương tự như hệ thức ở câu a), ta có :

$2BE=BA+BC-CA$

$2CF=CA+CB-AB.$

Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi các tiếp điểm của đường tròn (I) với AB, AC theo thứ tự  là D, E.

a) Tứ giác ADIE là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính bán kính của đường tròn (I), biết AB = 13cm, AC = 84cm. 

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có một cặp cạnh kề bằng nhau.

b) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đề tìm các cặp cạnh bằng nhau; tìm $AD$ rồi suy ra độ dài của $DI.$

Trả lời:

a) Tứ giác $ADIE$ có $\hat{A}={90}^o$ (theo giả thiết) 

$\hat{D}={90}^o$ (vì $AB$ là tiếp tuyến của $\left(I\right)$)

$\hat{E}={90}^o$ (vì $AC$ là tiếp tuyến của $\left(I\right)$)

Do đó $ADIE$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $ADIE$ có $DI=IE$ (bán kính) nên $ADIE$ là hình vuông.

b) Trước tiên ta tính $BC:$ Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $ABC$ ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$={13}^2+{84}^2$$=169+7056=7225.$

Suy ra $BC=85cm.$

Kẻ $IH\mathrm{\perp }BC,$ ta có $AB+AC-BC$$=\left(AD+BD\right)+\left(AE+EC\right)-\left(BH+HC\right).$

Ta lại có

$DB=BH,EC=HC,AE=AD$ nên $AB+AC-BC=AD+AE=2AD.$

Do $AB=13cm$ nên $AB+AC-BC=2AD$

Suy ra $2AD=13+84-85=12\left(cm\right).$

Do đó $AD=6cm.$

Tứ giác $ADIE$ là hình vuông (câu a) nên $ID=AD=6cm.$

Vậy bán kính của đường tròn $\left(I\right)$ bằng $6cm.$ 

Chú ý :

Trong phần b), ta chứng minh một hệ thức tương tự bài 26 để sử dụng.