Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Cho tam giác ABC thì $|AB-AC|<BC<AB+AC$.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác OAO’ ta có:

OA – O’A < OO’ < OA + O’A 

$\iff R-r<O{O}^{\prime }<R+r$

(Tức là chứng minh:

Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài thì $O{O}^{\prime }=R+r.$

Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong thì $O{O}^{\prime }=R-r.$)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng đoạn thẳng: Nếu B nằm giữa hai điểm A và C thì $AB+BC=AC.$

Lời giải:

Hình 91: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại A nên A nằm giữa O và O’

$\Rightarrow OA+A{O}^{\prime }=O{O}^{\prime }\Rightarrow R+r=O{O}^{\prime }$

Hình 92: Hai đường tròn tiếp xúc trong tại A nên O’ nằm giữa O và A

$\Rightarrow O{O}^{\prime }+O^{\prime }A=OA\Rightarrow O{O}^{\prime }=OA–O^{\prime }A=R–r.$

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời

Lời giải:

Các tiếp tuyến chung của hai đường tròn là: 

Hình 97 a) m ; d₁; d₂

Hình 97 b) d₁; d₂

Hình 97 c) d

Hình 97 d) Không có tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Lời giải:

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

b) Dây $AD$ của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở $C$. Chứng minh rằng $AC=CD$.

Phương pháp giải:

a) Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O^{\prime };r)$ với R>r. Nếu $O{O}^{\prime }=R-r$ thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

b) +) Nếu tam giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn và có 1 cạnh là đường kính của đường tròn đó thì tam giác đó là tam giác vuông. 

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

Lời giải:

a) Gọi $O^{\prime }$ là tâm của đường tròn đường kính $OA$.

Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn tâm O và tâm O'. Độ dài $O{O}^{\prime }=d$. 

Vì $O^{\prime }$ là tâm của đường tròn đường kính $OA$ nên $r=O^{\prime }A=O^{\prime }O={\displaystyle \frac{OA}{2}}.$

Vì điểm O' nằm giữa hai điểm O và A nên $A{O}^{\prime }+O{O}^{\prime }=OA$

$\Rightarrow O{O}^{\prime }=OA-O^{\prime }A$ hay $d=R-r$ 

$\Rightarrow$ Đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ tiếp xúc trong. 

b) Xét tam giác ACO có trung tuyến CO' = ${\displaystyle \frac{1}{2}}.AO(=r)$ nên $\mathrm{\Delta }CAO$ vuông tại $C$

$\Rightarrow OC\perp AD$ tại C.

Cách 1:

Xét đường tròn (O) có OC là một phần đường kính và AD là dây của đường tròn mà $OC\mathrm{\perp }AD$ tại C (cmt) $\Rightarrow CA=CD$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó).

Cách 2:

Xét hai tam giác vuông ACO và DCO, có:

$AO=OD(=R)$

CO chung

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ACO=\mathrm{\Delta }DCO$(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AC=DC$ (2 cạnh tương ứng)

Cách 3:

Vì OA = OD(=R) nên tam giác OAD cân tại O

$\Rightarrow$ Đường cao OC đồng thời là đường trung tuyến

$\Rightarrow$ C là trung điểm của AD

$\Rightarrow$ CA = CD

Phương pháp giải:

+) Vẽ đường kính vuông góc với một dây.

+) Sử dụng tính chất: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

a) Chứng minh rằng ^BAC=90∘.

b) Tính số đo góc OIO′. 

c) Tính độ dài BC, biết OA=9cm, O′A=4cm.

Phương pháp giải:

a) +) Đường tròn $(O)$ có hai tiếp tuyến $AB,AC$ lần lượt tại $B,C$ thì $AB=AC$.

+) Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông.

b) + Đường tròn $(O)$ có hai tiếp tuyến $AB,AC$ lần lượt tại $B,C$ thì $AO$ là tia phân giác của góc $BAC$. 

+) Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.

c) Hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime })$ tiếp xúc ngoài tại $A$ có tiếp tuyến chung là đường thẳng $d$ thì $d\mathrm{\perp }O{O}^{\prime }$ tại $A$.

+) Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ thì $A{H}^2=BH.CH$.

Lời giải:

a)

Xét đường tròn $(O)$ có $IB,IA$ là hai tiếp tuyến lần lượt tại $B,A$

$\Rightarrow IB=IA$ (1); $IO$ là tia phân giác của góc $BIA\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}$ (2)

Xét đường tròn $(O^{\prime })$ có $IC,IA$ là hai tiếp tuyến lần lượt tại $C,A$

$\Rightarrow IC=IA$ (3); $I{O}^{\prime }$ là tia phân giác của góc $CIA\Rightarrow \widehat{I_3}=\widehat{I_4}$ (4)

Từ (1) và (3) $\Rightarrow IB=IC=IA={\displaystyle \frac{1}{2}}BC$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ (tam giác có đường trung tuyến AI ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông) 

$\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^{\circ }$.

b) Cách 1:

Ta có: $\widehat{I_1}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_4}={180}^o$ (5)

Từ (2), (3), (5) $\iff \widehat{I_2}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_3}={180}^o$

$\iff 2\widehat{I_2}+2\widehat{I_3}={180}^o$

$\iff 2(\widehat{I_2}+\widehat{I_3})={180}^o$

$\iff \widehat{I_2}+\widehat{I_3}={90}^o$

$\iff \widehat{OI{O}^{\prime }}={90}^o$

Cách 2:  

Vì góc $BIA$ và góc $AIC$ là hai góc kề bù

Suy ra $\widehat{OI{O}^{\prime }}={90}^{\circ }$ (hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).

c) Vì $IA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên $IA\mathrm{\perp }O{O}^{\prime }$.

Xét tam giác $OI{O}^{\prime }$ vuông tại $I$ có $IA$ là đường cao, áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:

$A{I}^2=AO.A{O}^{\prime }\Rightarrow A{I}^2=9.4=36$

$\Rightarrow AI=\sqrt{36}=6cm$

Từ câu a, ta có $AI={\displaystyle \frac{BC}{2}}\Rightarrow BC=2.AI=2.6=12cm$

Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi. 

Phương pháp giải:

+) Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc ngoài với nhau thì chúng quay ngược chiều nhau.

+) Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc trong với nhau thì chúng quay cùng chiều với nhau.

Lời giải:

Quan sát các mũi tên chỉ chiều chuyển động của bánh răng, ta thấy:

+) Hai mũi tên tại vị trí tiếp xúc ở hai bánh răng phải cùng chiều chuyển động.

+) Hai mũi tên trong một bánh răng phải cùng chiều chuyển động. 

Ta thấy, trong hình a và b, tại các vị trí tiếp xúc các mũi tên cùng chiều chuyển động nên bánh răng chuyển động được.

Ta thấy ở hình c, có hai mũi tên chuyển động ngược chiều nhau tại vị trí tiếp xúc nên bánh răng không chuyển động được.

Vì vậy hệ thống bánh răng ở hình a), hình b) chuyển động được. Hệ thống bánh răng ở hình c) không chuyển động được. 

1. Bảng vị trí tương đối của hai đường tròn

2. Tính chất của đường nối tâm.

Từ đó suy ra:

- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm (h.a).

- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung thực của dây cung (h.b).

.

c. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.