Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các dạng bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (50 bài tập minh họa) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 9.

Phương pháp giải Các dạng bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (50 bài tập minh họa)

A. Lí thuyết

- Dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac; $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Cách giải phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^2-3x+2=0$.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-3x+2=0$ có: a = 1, b = -3, c = 2

Ta có:

$\Delta =b^2-4ac={(-3)}^2-\mathrm{4.1.2}=9-8=1$ > 0

Vậy phương trình $x^2-3x+2=0$ có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2.1}=\frac{3-1}{2}=1$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2.1}=\frac{3+1}{2}=2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}

Ví dụ 2: Giải phương trình $x^2-2x+1=0$.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-2x+1=0$ có: a = 1, b = -2 $\Rightarrow$ b’ = -1, c = 1

Ta có: $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac={(-1)}^2-1.1=1-1=0$

Vậy phương trình $x^2-2x+1=0$ có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b\text{'}}{a}=\frac{-(-1)}{1}=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}

Dạng 2: Kiểm tra một số có phải là nghiệm của phương trình 

Phương pháp giải:

Để kiểm tra một số $x_0$ có là nghiệm của phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) hay không, ta thay $x_0$ vào phương trình để kiểm tra:

+) Nếu a${x_0}^2$ + b$x_0$ + c = 0 thì $x_0$ là nghiệm của phương trình.

+) Nếu a${x_0}^2$ + b$x_0$ + c ≠ 0 thì $x_0$ không là nghiệm của phương trình.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Kiểm tra xem x = 3 có phải là nghiệm của phương trình$x^2-3x+4=0$ không ?

Lời giải:

Ta có: $3^2-3.3+4=4\ne 0$

Do đó, x = 3 không là nghiệm của phương trình $x^2-3x+4=0$ 

Ví dụ 2: Bạn Hằng cho rằng x = 1 luôn là nghiệm của phương trình $x^2-2mx+2m-1=0$ (m là tham số). Theo em, bạn Hằng đúng hay sai ? Vì sao ?

Lời giải:

Ta có:

$1^2-2m.1+2m-1=0$

Do đó, x = 1 luôn là nghiệm của phương trình $x^2-2mx+2m-1=0$ (m là tham số). Vậy bạn Hằng đúng.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số

Phương pháp giải:

Biện luận phương trình : a$x^2$ + bx + c = 0

TH1: a = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx + c = 0

Khi đó, ta có:

Nếu b khác 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất là: $x=\frac{-c}{b}$

Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Nếu b = 0 và c khác  0 thì phương trình vô nghiệm.

TH2: a khác  0

Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình $2x^2+3x+m-5=0$ (m là tham số)

Lời giải:

Xét phương trình $2x^2+3x+m-5=0$ có: a = 2  0, b = 3, c = m – 5

Ta có: $\Delta =b^2-4ac=3^2-\mathrm{4.2.}(m-5)=9-8m+40=49-8m$

Nếu $\Delta >0\iff 49-8m>0\iff m<\frac{49}{8}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{49-8m}}{4};x_2=\frac{-3-\sqrt{49-8m}}{4}$

Nếu $\Delta =0\iff 49-8m=0\iff m=\frac{49}{8}$ thì phương trình có nghiệm kép là:$x_1=x_2=\frac{-3}{4}$

Nếu $\Delta <0\iff 49-8m<0\iff m>\frac{49}{8}$ thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình $(m-1)x^2+3x+5=0$ (với m là tham số)

Lời giải:

Xét phương trình $(m-1)x^2+3x+5=0$ (*) có: a = m – 1, b = 3, c = 5

TH1: m – 1 = 0 $\iff$ m = 1

Phương trình (*) trở thành phương trình bậc nhất:  3x + 5 = 0

Do đó, phương trình có duy nhất một nghiệm là: $x=\frac{-5}{3}$

TH2: $m-1\ne 0\iff m\ne 1$

Khi đó, ta có:

$\Delta =b^2-4ac=3^2-4(m-1).5=9-20m+20=29-20m$

Nếu $\Delta <0\iff 29-20m<0\iff m>\frac{29}{20}$ thì phương trình vô nghiệm

Nếu $\Delta =0\iff 29-20m=0\iff m=\frac{29}{20}$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-3}{2(m-1)}=\frac{-3}{2\left(\frac{29}{20}-1\right)}=\frac{-10}{3}$

Nếu $\Delta >0\iff 29-20m>0\iff m<\frac{29}{20}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{29-20m}}{2(m-1)};x_2=\frac{-3-\sqrt{29-20m}}{2(m-1)}$

Dạng 4: Xét dấu nghiệm số của phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương pháp giải:

- Xét dấu nghiệm phương trình a$x^2$ + bx + c = 0  (a khác 0)

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng dấu $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.$ 

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng dấu dương

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1.x_2>0\\ x_1+x_2>0\end{array}\right.$  

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng dấu âm $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1.x_2>0\\ x_1+x_2<0\end{array}\right.$  

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ trái dấu $\iff ac<0$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^2-5x+3=0$. Không tính cụ thể giá trị nghiệm, hãy xét dấu nghiệm của phương trình.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-5x+3=0$ ta có:

$\Delta ={(-5)}^2-\mathrm{4.1.3}=25-12=13$ > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-(-5)}{1}=5>0\\ x_1.x_2=\frac{3}{1}=3>0\end{array}\right.$

Do đó, hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng dấu dương

Ví dụ 2: Cho phương trình: $x^2-2x+1-m^2=0$ (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

c) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Xét phương trình: $x^2-2x+1-m^2=0$ 

Ta có: $\Delta ={(-2)}^2-\mathrm{4.1.}(1-m^2)=4-4+m^2=m^2$

Để phương trình có nghiệm thì: $\Delta \ge 0\iff m^2\ge 0\iff m\in ℝ$ 

Vậy phương trình có nghiệm với mọi tham số m, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-(-2)}{1}=2\\ x_1.x_2=\frac{1-m^2}{1}=1-m^2\end{array}\right.$

a)

Để hai nghiệm cùng dương thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2>0\\ 1-m^2>0\end{array}\right.\iff m^2<1\iff -1<m<1$ 

Vậy khi -1 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm cùng dương

b)

Để hai nghiệm cùng âm thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2<0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2<0\\ 1-m^2>0\end{array}\right.\iff m\in \varnothing$ 

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

c)

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì khi và chỉ khi:

$a.c<0\iff 1.(1-m^2)<0\iff 1-m^2<0\iff m^2>1\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$

Vậy khi m > 1 hoặc m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình $x^2-7x+8=0$

Bài 2: Giải phương trình $2x^2-5x+13=0$

Bài 3: Giải phương trình $x^2-6x+9=0$

Bài 4: Hãy cho biết x = 3 có phải là một nghiệm của phương trình $x^2-7x+12=0$ hay không ?

Bài 5: Hãy cho biết x = 2 có phải là một nghiệm của phương trình $m{x}^2-(2m+1)x+2=0$ hay không ?

Bài 6: Giải và biện luận phương trình $2m{x}^2-(m+1)x+6=0$

Bài 7: Giải và biện luận phương trình $4x^2-7mx+6=0$

Bài 8: Giải và biện luận phương trình $4x^2-7mx+m^2-1=0$

Bài 9: Không tính cụ thể giá trị nghiệm, hãy xét dấu nghiệm của phương trình $3x^2-6x+2=0$.

Bài 10: Tìm điều kiện của m để phương trình $x^2-6mx+2=0$ có hai nghiệm cùng dấu âm.

Bài 11: Tìm điều kiện của m để phương trình $x^2-5x+2m=0$ có hai nghiệm trái dấu.

Bài 12: Tìm điều kiện của m để phương trình $m{x}^2-5mx+4=0$ có hai nghiệm cùng dấu.