Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn (50 bài tập minh họa) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 9.

Phương pháp giải Các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn (50 bài tập minh họa)

A. Lí thuyết

- Các phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn:

+) Phương trình bậc bốn trùng phương và một số dạng phương trình bậc bốn khác

+) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

+) Phương trình tích

+) Phương trình chứa căn

+) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

+) Các phương trình liên quan đến tham số m

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương

Phương pháp giải:

Dạng tổng quát: $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ (*)

Đặt $t=x^2$  ($t\ge 0$)

Phương trình (*) trở thành:

$a{t}^2+bt+c=0$ (**)

Giải phương trình (**) như phương trình bậc hai một ẩn và tìm ra t thỏa mãn điều kiện và suy ra nghiệm x tương ứng.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: $4x^4+3x^2-1=0$

Lời giải:

Xét phương trình $4x^4+3x^2-1=0$ (*)

Đặt $t=x^2$  ($t\ge 0$), phương trình (*) trở thành:

$4t^2+3t-1=0$ (**)

Phương trình (**) có: a = 4, b = 3, c = -1

Dễ thấy: a – b + c = 4 – 3 – 1  = 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm $t_1=-1$ < 0 (không thỏa mãn điều kiện) và $t_2=\frac{-(-1)}{4}=\frac{1}{4}$ > 0 (thỏa mãn điều kiện)

Với $t=\frac{1}{4}\iff x^2=\frac{1}{4}\iff x=\pm \frac{1}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: $S=\left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình: $2x^4-3x^2-2=0$   

Lời giải:

Xét phương trình $2x^4-3x^2-2=0$ (*)

Đặt $t=x^2$  ($t\ge 0$), phương trình (*) trở thành:

$2t^2-3t-2=0$ (**)

Giải phương trình (**) ta có:

$\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.2.}(-2)=9+16=25$ > 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

$t_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2.2}=\frac{3-5}{4}=\frac{-1}{2}$ < 0 (không thỏa mãn điều kiện)

$t_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2.2}=\frac{3+5}{4}=2$ > 0 (thỏa mãn điều kiện)

Với t = 2$\iff x^2=2\iff x=\pm \sqrt{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: $S=\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}$

Dạng 2: Các dạng phương trình bậc bốn khác

Phương pháp giải:

- Dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) với a + b = c + d:

+ Biến đổi phương trình về dạng: $\left[x^2+(a+b)x+ab\right]\left[x^2+(c+d)x+cd\right]=m$ (2)

+ Đặt t = $x^2+(a+b)x+ab$ điều kiện $t\ge -\frac{{(a-b)}^2}{4}$.

Suy ra $x^2+(c+d)x+cd=t-ab+cd$. Khi đó, phương trình (2) trở thành phương trình bậc hai của t.

+ Giải phương trình (2) để tìm nghiệm t thỏa mãn điều kiện, từ đó suy ra nghiệm x – Dạng: ${(x+a)}^4+{(x+b)}^4=k$ (3)

+ Đặt t = $x+\frac{a+b}{2}$. Khi đó, phương trình (3) trở thành phương trình bậc bốn trùng phương ẩn t.

+ Đặt $u=t^2$ ($u\ge 0$), khi đó phương trình (3) trở thành phương trình bậc hai ẩn u. Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm u thỏa mãn điều kiện, từ đó suy ra nghiệm t và suy ra nghiệm x.

- Dạng: $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2\pm bkx+a{k}^2=0$

+ Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Biến đổi phương trình về dạng: $a{x}^2+bx+c\pm \frac{kb}{x}+\frac{k^{2}a}{x^2}=0$ $\iff a\left(x^2+\frac{k^2}{x^2}\right)+b\left(x\pm \frac{k}{x}\right)+c=0$ (2)

+ Đặt $t=x\pm \frac{k}{x}$, thay vào phương trình (2) ta được phương trình bậc hai ẩn t. Giải phương trình bậc 2 để tìm nghiệm t và suy ra nghiệm x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9

Lời giải:

(x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9

$\iff (x^2+4x+3)(x^2+4x-5)=9$ (*)

Đặt t = $x^2+4x+3$ ($t\ge -\frac{{(1-3)}^2}{4}\iff t\ge -1$)

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

$t(t-8)=9$

$\iff t^2-8t=9$

$\iff t^2-8t-9=0$ (**)

Xét phương trình (**) ta có: a = 1, b = -8, c = - 9

Dễ thấy, a – b + c = 1 – (-8) – 9 = 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là: $t_1=-1$ (thỏa mãn điều kiện) và $t_2=\frac{-(-9)}{1}=9$ (thỏa mãn điều kiện)

Với t = -1, ta có:

$x^2+4x+3=-1$

$\iff x^2+4x+3=-1$

$\iff x^2+4x+4=0$

$\iff {(x+2)}^2=0$

$\iff x=-2$

Với t = 9, ta có:

$x^2+4x+3=9$

$\iff x^2+4x-6=0$ (***)

Giải phương trình (***) ta có:

$\Delta =4^2-\mathrm{4.1.}(-6)=40$ > 0

Do đó, phương trình (***) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-4+\sqrt{40}}{2.1}=-2+\sqrt{10}$

$x_2=\frac{-4-\sqrt{40}}{2.1}=-2-\sqrt{10}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9 là: $S=\left\{-2;-2+\sqrt{10};-2-\sqrt{10}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: ${(x+1)}^4+{(x+2)}^4=3$

Lời giải:

${(x-2)}^4+{(x-4)}^4=8$

Đặt t = x – 3, khi đó, phương trình trở thành:

${(t+1)}^4+{(t-1)}^4$ = 8

$\iff {(t^2+2t+1)}^2+{(t^2-2t+1)}^2=8$

$\iff \left(t^4+4t^2+1+4t^3+4t+2t^2\right)+\left(t^4+4t^2+1-4t^3-4t+2t^2\right)=8$

$\iff t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=8$

$\iff 2t^4+12t^2+2=8$

$\iff 2t^4+12t^2-6=0$

$\iff t^4+6t^2-3=0$ (*)

Đặt $u=t^2\left(u\ge 0\right)$, phương trình (*) trở thành:

$u^2+6u-3=0$

Giải phương trình $u^2+6u-3=0$ ta có:

$\Delta \text{'}=3^2-1.(-3)=12$ > 0

Do đó, phương trình $u^2+6u-3=0$ có hai nghiệm phân biệt:

$u_1=\frac{-3+\sqrt{12}}{1}=-3+2\sqrt{3}$ (thỏa mãn điều kiện)

$u_2=\frac{-3-\sqrt{12}}{1}=-3-2\sqrt{3}$ (không thỏa mãn điều kiện)

Với $u=-3+2\sqrt{3}$ $\Rightarrow t^2=-3+2\sqrt{3}$

$\Rightarrow x+3=\pm \sqrt{-3+2\sqrt{3}}=\pm \sqrt{-3+2\sqrt{3}}-3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

$S=\left\{\sqrt{-3+2\sqrt{3}}-3;-\sqrt{-3+2\sqrt{3}}-3\right\}$

Ví dụ 3: Giải phương trình sau $x^4-5x^3+10x+4=0$

Lời giải:

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có:

$x^4-5x^3+10x+4=0$

$\iff x^2-5x+\frac{10}{x}+\frac{4}{x^2}=0$

$\iff \left(x^2+\frac{4}{x^2}\right)-5\left(x-\frac{2}{x}\right)=0$ (2)

Đặt $t=x-\frac{2}{x}\Rightarrow t^2=x^2-4+\frac{4}{x^2}\Rightarrow x^2+\frac{4}{x^2}=t^2+4$

Thay vào (2) ta được:

$t^2-5t+4=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có: a = 1, b = -5, c = 4 nên a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm t = 1 hoặc t = $\frac{4}{1}=4$

Với t = 1 thì ta có:

$x-\frac{2}{x}=1\Rightarrow x^2-2=x\Rightarrow x^2-x-2=0$ (3)

Giải phương trình (3) ta có: $\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.}(-2)=9$ > 0

Do đó, phương trình (3)  có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2}=2$

$x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2}=-1$

Với t = 4, thì ta có:

$x-\frac{2}{x}=4\Rightarrow x^2-2=4x\Rightarrow x^2-4x-2=0$ (4)

Giải phương trình (4) ta có: $\Delta ={(-4)}^2-\mathrm{4.1.}(-2)=24$ > 0

Do đó, phương trình (4)  có hai nghiệm phân biệt là:

$x_3=\frac{-(-4)+\sqrt{24}}{2}=2+\sqrt{6}$

$x_4=\frac{-(-4)-\sqrt{24}}{2}=2-\sqrt{6}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{-1;2;2+\sqrt{6};2-\sqrt{6}\right\}$

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của ẩn

- Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu

- Giải phương trình bậc hai nhận được, kiểm tra lại nghiệm với điều kiện xác định và kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\frac{2x}{x^2+4x+4}=\frac{1}{3x}$ 

Lời giải:

$\frac{2x}{x^2+4x+4}=\frac{1}{3x}$

Điều kiện xác định của phương trình là:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+4\ne 0\\ 3x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{(x+2)}^2\ne 0\\ 3x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 0\end{array}\right.$

Với điều kiện xác định trên, ta có:

$\frac{2x}{x^2+4x+4}=\frac{1}{3x}$

$\iff \frac{2x}{x^2+4x+4}-\frac{1}{3x}=0$

$\iff \frac{2x.3x}{3x\left(x^2+4x+4\right)}-\frac{x^2+4x+4}{3x\left(x^2+4x+4\right)}=0$

$\Rightarrow 6x^2-x^2-4x-4=0$

$\Rightarrow 5x^2-4x-4=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta ={(-4)}^2-\mathrm{4.5.}(-4)=96$ > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{96}}{2.5}=\frac{2+2\sqrt{6}}{5}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

$x_2=\frac{-(-4)-\sqrt{96}}{2.5}=\frac{2-2\sqrt{6}}{5}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\frac{2+2\sqrt{6}}{5};\frac{2-2\sqrt{6}}{5}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $\frac{x^2-6}{x}=2x-3$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: $x\ne 0$

Với điều kiện xác định trên, ta có:

$\frac{x^2-6}{x}=2x-3$

$\iff \frac{x^2-6}{x}=\frac{2x.x}{x}-\frac{3.x}{x}$

$\iff \frac{x^2-6}{x}=\frac{2x^2}{x}-\frac{3x}{x}$

$\Rightarrow x^2-6=2x^2-3x$

$\Rightarrow 2x^2-3x-x^2+6=0$

$\Rightarrow x^2-3x+6=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.1.6}=9-24=-15<0$

Vậy phương trình (*) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình $\frac{x^2-6}{x}=2x-3$ là S = $\varnothing$

Dạng 4: Phương trình tích

Phương pháp giải:

- Chuyển vế và phần tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

- Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: ${(x^2+2x-5)}^2-{(x^2-x+6)}^2=0$

Lời giải:

${(x^2+2x-5)}^2-{(x^2-x+6)}^2=0$

$\iff (x^2+2x-5-x^2+x-6)(x^2+2x-5+x^2-x+6)=0$

$\iff (3x-11)(2x^2+x+1)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}3x-11=0\\ 2x^2+x+1=0\left(1\right)\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{11}{3}\\ 2x^2+x+1=0\left(1\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (1) ta có:

$\Delta =1^2-\mathrm{4.2.1}=-7$ < 0

Do đó, phương trình (1) vô nghiệm

Vậy phương trình ${(x^2+2x-5)}^2-{(x^2-x+6)}^2=0$ có tập nghiệm là: $S=\left\{\frac{11}{3}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình$x^3-5x^2+4x=x^2+5x+4$

Lời giải:

$x^3-5x^2+4x=x^2-5x+4$

$\iff x^3-5x^2+4x-\left(x^2-5x+4\right)=0$

$\iff x\left(x^2+5x+4\right)-\left(x^2-5x+4\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x^2-5x+4\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x^2-5x+4=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-5x+4=0(*)\end{array}\right.$ (**)

Giải phương trình (*) ta có: a = 1, b = -5, c = 4

Dễ thấy, a + b + c = 0. Do đó phương trình (*) có hai nghiệm, một nghiệm là $x_1=1$ là một nghiệm là $x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4$

(**) $\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $x^3-5x^2+4x=x^2-5x+4$ là S = {1; 4}

Dạng 5: Phương trình chứa căn

Phương pháp giải:

- Đặt điều kiện xác định cho phương trình

- Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế.

Chú ý: $\sqrt{A}=B\iff \left\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B^2\end{array}\right.$ 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{x+1}=3-x$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: $x+1\ge 0\iff x\ge -1$

Với điều kiện xác định trên, ta có:

$\sqrt{x+1}=3-x$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3-x\ge 0\\ x+1={(3-x)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x+1=9-6x+x^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x^2-7x+8=0\left(1\right)\end{array}\right.$ (*)

Giải phương trình (1) ta có:

$\Delta ={(-7)}^2-\mathrm{4.1.8}=49-32=17$ > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-(-7)+\sqrt{17}}{2.1}=\frac{7+\sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

$x_2=\frac{-(-7)-\sqrt{17}}{2.1}=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Do đó, ta có:

(*) $\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ \left[\begin{array}{l}x=\frac{7+\sqrt{17}}{2}\\ x=\frac{7-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff x=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{\frac{7-\sqrt{17}}{2}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2x}$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1\ge 0\\ 2x\ge 0\end{array}\right.\iff x\ge 0$

Với điều kiện xác định trên, ta có:

$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2x}$

$\iff x^2+1=2x$

$\iff x^2-2x+1=0$ (*)

Giải phương trình (*) ta có:

$\Delta \text{'}={(-1)}^2-1.1=0$

Vậy phương trình (*) có nghiệm kép $x=\frac{-(-1)}{1}=1$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2x}$ là S = {1}

Dạng 6: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

$\left|f\right(x\left)\right|=\left|g\right(x\left)\right|\iff f^2\left(x\right)=g^2\left(x\right)$

$\left|f\right(x\left)\right|=\left|g\right(x\left)\right|\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)=-g\left(x\right)\end{array}\right.$

$\left|f\right(x\left)\right|=g\left(x\right)\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}-f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $|3x-2|=x^2+2x+3$

Lời giải:

$|3x-2|=x^2+2x+3$

TH1: 3x – 2 > 0 $\iff x>\frac{2}{3}$

Khi đó, ta có:

$|3x-2|=x^2+2x+3$

$\iff 3x-2=x^2+2x+3$

$\iff x^2-x+5=0$ (1)

Giải phương trình (1) ta có:

$\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.5}=-19$ <  0

Vậy phương trình vô nghiệm.

TH2: 3x – 2 < 0 $\iff x<\frac{2}{3}$

Khi đó, ta có:

$|3x-2|=x^2+2x+3$

$\iff -3x+2=x^2+2x+3$

$\iff x^2+5x+1=0$ (2)

Giải phương trình (2) ta có:

$\Delta =5^2-\mathrm{4.1.1}=21$ > 0

Do đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+\sqrt{21}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-5-\sqrt{21}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình $|3x-2|=x^2+2x+3$ là $S=\left\{\frac{-5+\sqrt{21}}{2};\frac{-5-\sqrt{21}}{2}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $|2x^2-1|=|x^2-3x+2|$

Lời giải:

$|2x^2-1|=|x^2-3x+2|$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x^2-1=x^2-3x+2\\ 2x^2-1=-x^2+3x-2\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2+3x-3=0\left(1\right)\\ 3x^2-3x+1=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (1) có:

$\Delta =3^2-\mathrm{4.1.}(-3)=21$ > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$; $x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$

Giải phương trình (2) ta có: 

$\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.3.1}=-3$ < 0

Do đó, phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình $|2x^2-1|=|x^2-3x+2|$ là:

$S=\left\{\frac{-3+\sqrt{21}}{2};\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\right\}$

Dạng 7: Các phương trình liên quan đến tham số m

Phương pháp giải:

Sử dụng các kiến thức về phương trình bậc hai để biện luận, phân tích đề bài và tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Áp dụng các kiến thức:

- Dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình $x^2+2(m-1)x+4m=0$ có nghiệm kép.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+2(m-1)x+4m=0$ (*) có:

$\Delta \text{'}={(m-1)}^2-1.4m=m^2-2m+1-4m=m^2-6m+1$

Để phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi

$\Delta \text{'}=0$

$\iff m^2-6m+1=0$ (**)

Giải phương trình (**) ta có:

$\Delta \text{'}={(-3)}^2-1.1=8$ > 0

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

$m_1=\frac{-(-3)+\sqrt{8}}{1}=3+2\sqrt{2}$

$m_2=\frac{-(-3)-\sqrt{8}}{1}=3-2\sqrt{2}$

Vậy khi m = $3+2\sqrt{2}$ hoặc m = $3-2\sqrt{2}$ thì phương trình $x^2+2(m-1)x+4m=0$ có nghiệm kép. 

Ví dụ 2: Cho phương trình $x^2+2x+m-1=0$, với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $6x_1{x}_2=4(m-m^2)$

Lời giải:

Xét phương trình: $x^2+2x+m-1=0$

Có: $\Delta =2^2-4(m-1)=4-4m+4=8-4m$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$8-4m>0\iff m<2$

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1{x}_2=m-1\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

$6x_1{x}_2=4(m-m^2)$

$\Rightarrow 6(m-1)=4(m-m^2)$

$\iff 6m-6=4m-4m^2$

$\iff 4m^2+2m-6=0$

$\iff 2m^2+1m-3=0$ (**)

Xét phương trình (**) có a = 2, b = 1, c = -3  nên a + b + c = 2 + 1 – 3 = 0

Do đó, phương trình (**) có một nghiệm là  m = 1 (thỏa mãn điều kiện)  và một nghiệm m = $\frac{-3}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi m = 1 hoăc m = $\frac{-3}{2}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $6x_1{x}_2=4(m-m^2)$

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình $3x^4+10x^2+5=0$

Bài 2: Giải phương trình $5x^4+2x^2-16=10-x^2$

Bài 3: Giải phương trình ${(x+2)}^4+{(x+6)}^4=32$

Bài 4: Giải phương trình x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8

Bài 5: Giải phương trình $\frac{2x}{x-2}-\frac{5}{x-3}=\frac{5}{x^2-5x+6}$ 

Bài 6: Giải phương trình ${(x-1)}^3-{(x+2)}^3=0$

Bài 7: Giải phương trình $\sqrt{x^2-3x+4}=\sqrt{14x-6}$

Bài 8: Giải phương trình $|4x^2+5x|=|2x^2-3|$

Bài 9: Cho phương trình $x^2+2x+m-1=0$, với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn${x_1}^3+{x_2}^3-6x_1{x}_2=4(m-m^2)$