Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Các định nghĩa về vectơ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Các định nghĩa về vectơ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

A. Lí thuyết

- Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ .

- Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của. Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ có kí hiệu $\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

- Vectơ - không là một vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.

- Hai vectơ cùng phương là hai vec tơ có giá song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngước hướng.

- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

- Hai vectơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.

- Chú ý:

+ Vectơ - không cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ $\overrightarrow{0}$ đều bằng nhau và có độ dài bằng 0.

+ Vectơ còn được kí hiệu là: $\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z},\mathrm{...}$

B. Phương pháp giải 

Nắm chắc các định nghĩa về vectơ: Định nghĩa vectơ, kí hiệu, giá của vectơ, hai vectơ cùng phương (cùng hướng, ngược hướng), độ dài vectơ, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, vectơ – không.

C. Ví dụ minh họa 

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Liệt kê các cặp vecto cùng hướng và ngược hướng trong hình bình hành ABCD.

Giải:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: AB // DC và AD // BC.

Các cặp vectơ cùng hướng: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{CB}$.

Các cặp vectơ ngược hướng: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ , $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB = AC = a. Biết I là trung điểm của BC. Từ I vẽ IH vuông góc với AB, vẽ IK vuông góc với AC. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{IH}=\overrightarrow{KA}$.

Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A.

+) Ta có: IH $\perp$ AB tại H và AC $\perp$ AB tại A.$\Rightarrow$ IH // AC. (1)

Áp dụng định lý Ta-lét ta có:

$\frac{IH}{AC}=\frac{BI}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow IH=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$   (2)

+) Ta có: IK $\perp$ AC tại K và AB $\perp$ AC tại A. $\Rightarrow$ IK // AB.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AK}{AC}=\frac{BI}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow AK=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$   (3)

+) Từ (2) và (3) ta có: IH = AK (4)

+) Từ (4) và (1) ta có: $\overrightarrow{IH}=\overrightarrow{KA}$ (điều cần phải chứng minh)

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. M là trung điểm của AB. Biết AB = 2a, AD = a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{MD},\overrightarrow{BD}$.

Giải:

+) Có M là trung điểm của AB $\Rightarrow MA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2a=a$

+) Xét tam giác ADM vuông tại A.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

+) Xét tam giác ADB vuông tại A.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

D. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Cho 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. Nếu 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng phương thì 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng hướng.

B. Nếu 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng hướng thì 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng phương.

C. Nếu 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ bằng nhau thì 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ ngược hướng.

D. Nếu 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ đối nhau thì 2 vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng hướng.

Đáp án: B

Bài 2: Nhận định nào sau đây là đúng về vectơ ?

A. Vectơ chỉ là một đoạn thẳng không có hướng.

B. Vectơ là một đường thẳng.

C. Vectơ là đoạn thẳng có hướng, điểm đầu và điểm cuối được xác định rõ.

D. Điểm đầu điểm cuối của vectơ thay đổi thì vectơ không đổi. 

Đáp án: C

Bài 3: Nhận định nào sau đây là đúng về độ dài của vectơ ?

A. Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng tạo thành vectơ.

B. Độ dài vectơ - không là rất lớn.

C. Tất cả vectơ đều không xác định được độ dài.

D. Độ dài vectơ $\overrightarrow{CD}$ được kí hiệu là CD.

Đáp án: A

Bài 4: Vectơ nào sau đây là vectơ – không ?

A. $\overrightarrow{AB}$ ( A và B phân biệt )

B. $\overrightarrow{CB}$ (C và B phân biệt )

C. $\overrightarrow{MN}$ (M và N phân biệt )

D. $\overrightarrow{PP}$

Đáp án: D

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AH là đường cao. Biết AB = AC = 2a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AH}$.

Đáp án: $\left|\overrightarrow{AH}\right|=a\sqrt{2}$

Bài 6: Cho điểm A và B phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Điểm A cách điểm B nhau 10 đơn vị độ dài. Biết trung điểm của AB là I. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AI}$.

Đáp án: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=10;\left|\overrightarrow{AI}\right|=5$

Bài 7: Cho vectơ $\overrightarrow{MN}$ như hình vẽ. Hãy vẽ một vectơ $\overrightarrow{QP}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{MN}$ và một vectơ $\overrightarrow{HK}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{MN}$.

Đáp án:

Bài 8: Cho hình vẽ sau. Hãy liệt kê các cặp vectơ cùng hướng và các cặp vectơ ngược hướng.

Đáp án:

Cùng hướng:$\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{z}$.

Ngược hướng: $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{b}$.

Bài 9: Cho các đoạn thẳng AB = 9 , CD = 7 , MN = 9 , PQ = 7 , HK = 7 và hình vẽ như sau. Các vectơ nào bằng nhau ?

Đáp án: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN};\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{HK}$

Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D. Hãy tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{MD},\overrightarrow{MN}$.

Đáp án: $\left|\overrightarrow{MD}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}a;\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{\sqrt{13}}{2}a$

E. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Véctơ là một đoạn thẳng:

A. Có hướng.   

B. Có hướng dương, hướng âm.     

C.Có hai đầu mút.                 

D. Thỏa cả ba tính chất trên.

Câu 2: Hai véc tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là:

A. Hai véc tơ bằng nhau. 

B. Hai véc tơ đối nhau.

C. Hai véc tơ cùng hướng. 

D. Hai véc tơ cùng phương.

Câu 3: Hai véctơ bằng nhau khi hai véctơ đó có:

A. Cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

B. Song song và có độ dài bằng nhau.

C. Cùng phương và có độ dài bằng nhau.

D. Thỏa mãn cả ba tính chất trên.

Câu 4: Nếu hai vectơ bằng nhau thì :

A. Cùng hướng và cùng độ dài. 

B.  Cùng phương.   

C. Cùng hướng. 

D. Có độ dài bằng nhau.                     

Câu 5: Điền từ thích hợp vào dấu (…) để được mệnh đề đúng. Hai véc tơ ngược hướng thì …

A. Bằng nhau.

B. Cùng phương. 

C. Cùng độ dài.            

D. Cùng điểm đầu.

Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.

B. Có ít nhất 2 vectơ cùng phương với mọi vectơ.

C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.

D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.

Câu 8: Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

B. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.

C. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác là hình bình hành.

D. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài.

Câu 9: Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau.

B. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng phương.

C. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song nhau.

D. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng.

Câu 10: Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hai vectơ cùng phương với vectơ thứ ba thì cùng phương.

B. Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác thì cùng phương.

C. Vectơ–không là vectơ không có giá.

D. Điều kiện đủ để vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.

Xem các phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập

Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập

Cách Phân tích vectơ và phương pháp giải bài tập

Tọa độ của vectơ, tọa độ của một điểm và cách giải bài tập

Trọn bộ công thức cơ bản về Vectơ dầy đủ