Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Trọn bộ công thức cơ bản về Vectơ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Trọn bộ công thức cơ bản về Vectơ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

A. Lí thuyết tóm tắt

- Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có hướng, điểm đầu và điểm cuối được định rõ. 

- Kí hiệu: vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ hoặc còn được kí hiệu là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z},\mathrm{...}$

- Vectơ - không là một vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.

- Các khái niệm liên quan đến vectơ:

+) Giá của vectơ: là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ

+) Độ dài vectơ: là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$  kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

+) Hai vectơ cùng phương: là hai vec tơ có giá song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngước hướng.

+) Hai vectơ bằng nhau: là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài.

- Chú ý:

+ Vectơ - không cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ $\overrightarrow{0}$ đều bằng nhau và có độ dài bằng 0.

B. Các công thức

- Độ dài vectơ: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$; $\left|\overrightarrow{0}\right|=0$.

- Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương $\iff$ AB // CD hoặc A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng.

- Hai vectơ bằng nhau: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|$ và $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

C. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Biết AB = 2a, AD = a. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Tính độ dài $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ và $\left|\overrightarrow{DC}\right|$.

Giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: AB // CD.

$\overrightarrow{AB}$  và  $\overrightarrow{DC}$cùng hướng. (1)

Vì ABCD là hình bình hành nên ta lại có: AB = CD .

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$ (2)

Từ (1) và (2)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|=AB=2a$

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Biết AB = 4a, AD = 2a. Kẻ OH vuông góc với AB tại H. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OH}$.  

Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2 \\ \Rightarrow A{C}^2={\left(4a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2=20a^2 \\ \Rightarrow AC=\sqrt{20a^2}=2\sqrt{5}a \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{OA}\right|=OA=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{5}a}{2}=\sqrt{5}a \end{gathered}$$

Xét tam giác AOB cân tại O có OH là đường cao OH cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow AH=BH=\frac{AB}{2}=\frac{4a}{2}=2a$

Xét tam giác AOH vuông tại H.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} O{A}^2=A{H}^2+O{H}^2 \\ \Rightarrow O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2 \\ \Rightarrow O{H}^2={\left(\sqrt{5}a\right)}^2-{\left(2a\right)}^2=a^2 \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{OH}\right|=OH=\sqrt{a^2}=a \end{gathered}$$

D. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đoạn thẳng MP có độ dài là a. N là trung điểm của MP. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$.

Bài 2: Cho hình thoi ABCD tâm O. Biết đường chéo AC = 2a, BD = a. Chứng minh $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ và tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}={60}^o$ và BC = 5a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$.

Bài 4: Cho 3 điểm A,B,C phân biệt. Có bao nhiêu vecto khác vecto không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó?

Bài 5: Cho 5 điểm A,B,C,D, E phân biệt. Có bao nhiêu vecto khác vecto không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó?

Bài 6: (NB) Cho hînh bînh hành ABCD. Hãy chi ra các véctor, khác vecto-không, có điểm đâu và điểm cuối là một trong bốn điếm ABCD. Trong số các véctơ trên, hãy chỉ ra

a) Các véctơ cùng phương.

b) Các cặp véctơ cùng phương nhưng ngược hướng.

c) Các cặp véctơ bằng nhau.

Bài 7: Cho lucc giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$.

a) Tìm các véctơ khác các vécto không $(\ne \overrightarrow{0})$ và cùng phương với $\overrightarrow{AO}$.

b) Tim các vécto bằng vói các véctơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

c) Hãy vẽ các vécto bằng với véctơ $\overline{AB}$ và có điểm đầu là O,D,C

d) hãy vẽ các vecto bằng với véctơ $\overline{AB}$ và có điểm cuối là O,D,C

Bài 8: Cho hînh bînh hanh ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tìm các vécto bằng với vécto $\overrightarrow{AB}$.

b) Tìm các vécto bằng với vécto $\overrightarrow{OA}$.

c) Vẽ các vécto bằng với $\overrightarrow{OA}$ và có điểm ngọn là A,B,C,D.

Bài 9: Cho  có $A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }},C^{\mathrm{\prime }}$ lân lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Chứng minh: $\overrightarrow{B{C}^{\mathrm{\prime }}}=\overrightarrow{C^{\mathrm{\prime }}A}=\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}$.

b) Tìm các véctơ bằng vớ $\overline{B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}},\overline{C^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}}$

Bài 10: (NB) Cho 6 điểm A,B,C,D,E,F. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$

b) $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$.

Bài 11: (NB) Cho 7 điểm A,B,C,D,E,F,G. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{GF}$

c) $AB-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$

Bài 12: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,BC. Chứng minh $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{QN};\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{PN}$.

Bài 13: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm BC. Dựng $B^{\mathrm{\prime }}$ sao cho $\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}B}=\overrightarrow{AG}$.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$.

b) Gọi J là trung điểm $B{B}^{\mathrm{\prime }}$. Chứng minh $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{IG}$.

Bài 14: Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$.

Bài 15: (TH) Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm đoạn BC. Các điểm M,N theo thứ tự đó nằm trên cạnh BC sao cho E là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$.

Bài 16: Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$.

Bài 17: Vẽ D đôi xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C và  F đối xứng với C qua A. Gọi G là giao điểm giữa trung tuyến AM của  với trung tuyến DN của . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GD. Chứng minh $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{NI}$.

Bài 18: M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác . Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q qua F. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{NA}$.

Bài 19: Cho hai  và  có cùng trọng tâm G. Chứng minh $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{FC}$.

Bài 20: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD . E, F lần lượt là giao điểm của AM,AN với BD. Chứng minh răng $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{FD}$.

Bài 21: Cho hình chữ nhât ABCD, kẻ $AH\mathrm{\perp }BD$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DH và BC. Kẻ $BK\mathrm{\perp }AM$ và cắt AH tại E. Chứng minh răng $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EB}$.

E. Bài tập tự luyện 

Câu 1. (NB) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.

B. $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NP}$.

C. $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}$

D. $\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{AB}$.

Câu 2. (NB) Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương.

B. Hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

C.Hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng độ dài.

D.Hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ chung điểm đâu.

Câu 3. (NB) Cho ba điểm phân biệt A,B,C. Đẳng thức nào đúng?

A. $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}$.

B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.

C. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$.

D. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$.

Câu 4. (NB) Cho $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

B. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng độ dài.

C. ABCD là hình bình hành.

D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Câu 5. (NB) Tính tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$.

A. $\overrightarrow{MR}$.

B. $\overrightarrow{MN}$.

C. $\overrightarrow{PR}$.

D. $\overrightarrow{MP}$.

Câu 6. (NB) Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là.

A. $IA=IB$.

B. $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$.

C. $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$.

D. $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$.

Câu 7. (NB) Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?

A. $IA=IB$.

B. $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

C. $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

D. $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$.

Câu 8. (NB) Cho  cân ở A, đường cao AH. Câu nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.

B. $\overrightarrow{HC}=-\overrightarrow{HB}$.

C. $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$.

D. $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AC}$.

Câu 9. (NB) Cho hình vuông ABCD, trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

B. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

C. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

D. $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{CB}|$.

Câu 10. (NB) Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=0$.

B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$.

C. Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$.

D. Nếu ba điểm phân biệt A,B,C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì $|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|$.

Câu 11. (NB) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CD}$.

B. $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$.

C. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.

D. $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$.

Câu 12. (NB) Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$.

A. $\overrightarrow{BC}$.

B. $\overrightarrow{DA}$.

C. $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$.

D. $\overrightarrow{AB}$.

Câu 13. (TH) Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là $\overrightarrow{0}$.

B. Cộng 4 vectơ đôi mội người hướng ta được $\overrightarrow{0}$.

C. Cộng 121 vectơ ta được $\overrightarrow{0}$.

D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là 10 .

Câu 14. (TH) Cho  đều, cạnh a. Câu nào sau đây đúng::

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$.

B. $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}$.

C. $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|=a$.

D. $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{BC}$.

Câu 15. (TH) Cho , với M là trung điểm của BC. Tìm câu đúng?

A. $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$.

B. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$.

C. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}$.

D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}$.

Câu 16. (NB) Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{OC}$ có điểm đầu và cuối là đỉnh của lục giác là

A. 4.

B. 6 .

C. 7.

D. 9 .

Câu 17. (NB) Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng $\overrightarrow{OC}$ có điểm đầu và cuối là đỉnh của lục giác là

A.2.

B. 3 .

C. 4 .

D. 6 .

Câu 18. (TH) Cho $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{0}$ và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|$?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 19. (TH) Cho $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{0}$ và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ?

A.1.

B.2.

C. 0 .

D.Vô số.

Câu 20. (TH) Cho tứ giác $ABCD$. Điêu kiện nào là điều kiện cân và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ?

A. ABCD là hình bình hành.

B. ABDC là hình bình hành.

C. AD và BC có cùng trung điểm.

D. $AB=CD$.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức về tổng và hiệu hai vectơ chi tiết nhất

Quy tắc trung điểm, trọng tâm, quy tắc hình bình hành vecto lớp 10 chi tiết nhất

Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất

Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập