Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Quy tắc trung điểm, trọng tâm, quy tắc hình bình hành vecto (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Quy tắc trung điểm, trọng tâm, quy tắc hình bình hành vecto (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

A. Lí thuyết tóm tắt

- Quy tắc trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ( M tùy ý )

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

- Quy tắc trọng tâm: Với G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ ( M tùy ý )

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

B. Các công thức

- Quy tắc trung điểm: I là trung điểm của AB

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ ( M tùy ý )

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

- Quy tắc hình hình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ ( ABCD là hình bình hành )

C. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Có đường cao AH, G là trọng tâm của tam giác ABC, biết AB = AC = a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HB}$, $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$.

Giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{0}\right|=0 \end{gathered}$$

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến.

$\Rightarrow$H là trung điểm của BC.

Áp dụng quy tắc trung điểm cho đoạn BC ta có: $\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HB}\right|=\left|\overrightarrow{0}\right|=0$

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Biết AC = 2a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta áp dụng quy tắc hình bình hành có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC} \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=2a \end{gathered}$$

Bài 3. Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Có E là trung điểm của AB, F là trọng tâm của tam giác ABC, điểm M nằm ngoài AB và khác C.Biết ME = a và MF = 2a.Tính độ dài các vectơ sau: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$.

Giải:

Vì E là trung điểm của AB nên ta áp dụng quy tắc trung điểm có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{ME} \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|2\overrightarrow{ME}\right|=2.a=2a \end{gathered}$$

Vì F là trọng tâm của tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MF} \\ \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MF}\right|=3.2a=6a \end{gathered}$$

D. Bài tập vận dụng  

Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$.

Bài 2: Cho tam giác đều MNE . Biết G là trọng tâm của tam giác MNE, điểm A tùy ý nằm ngoài tam giác MNE và AG = 2a. Tính độ dài các vecto $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GE}$ và $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AE}$.

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Biết OA = a. Chứng minh rằng $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=2a$.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh 

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm của AC và cũng là trung điểm của BD.

Vì O là trung điểm của AC nên ta có 

Vì O là trung điểm của BD nên ta có 

Vậy (đpcm).

Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải:

a, Vì I là trung điểm của AB nên ta có: 

Vì J là trung điểm của CD và có một điểm I nên ta có:  (1)

Lại có

Từ (1) và (2) suy ra

b, Theo câu a ta có:

Suy ra đpcm.

Bài 6: Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của CM. Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải:

Vì M là trung điểm của AB (do CM là trung tuyến của tam giác ABC)

Do D là trung điểm của CM

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 7: Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

+ Vì B là trung điểm của đoạn thẳng AC

 A đúng, D sai.

+ B sai vì hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài, mà  không cùng hướng  C cũng sai.

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC có I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn  xác định bởi hệ thức:

Hướng dẫn giải:

Vì I là trung điểm của AC, nên với điểm N bất kỳ ta có:

Đáp án C

E. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho tứ giác ABCD có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ .

B. ABCD là hình thoi.   

C. $\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$ .

D. ABCD là hình thang cân.

Câu 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm $A\left(-2;5\right)$,$B\left(2;2\right)$ , $C\left(10;-5\right)$. Tìm điểm E(m;1) sao cho tứ giác ABCE là hình thang có một đáy là CE.

A. $E\left(-2;1\right)$.

B. $E\left(0;1\right)$ .

C. $E\left(2;1\right)$ .

D. $E\left(-1;1\right)$.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn $2M{A}^2+M{B}^2+2M{C}^2+M{D}^2=9a^2$ là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là

A. $R=2a$.

B. $R=3a$.

C. $R=a$.

D. $R=a\sqrt{2}$.

Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và CD. Biết $\overrightarrow{MN}=a.\overrightarrow{AB}+b.\overrightarrow{AD}$. Tính $a+b$.

A. $a+b=1$ .

B. $a+b=\frac{1}{2}$ .

C. $a+b=\frac{3}{4}$ .

D. $a+b=\frac{1}{4}$ .

Câu 5. Véctơ có điểm đầu là A , điểm cuối là B được kí hiệu là

A. AB .

B. $\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

C. $\overrightarrow{BA}$.

D. $\overrightarrow{AB}$ .

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(-4;0\right)$ và $B\left(0;3\right)$. Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}$

A. $\overrightarrow{u}=\left(-8;-6\right)$ .

B. $\overrightarrow{u}=\left(8;6\right)$ .

C. $\overrightarrow{u}=\left(-4;-3\right)$ .

D. $\overrightarrow{u}=\left(4;3\right)$ .

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $A\left(3;-1\right)$, $B\left(-1;2\right)$ và $I\left(1;-1\right)$. Tìm tọa độ điểm C để I là trọng tâm tam giác ABC.

A. $C\left(1;-4\right)$ .

B. $C\left(1;0\right)$.

C. $C\left(1;4\right)$ .

D. $C\left(9;-4\right)$ .

Câu 8. Xét các mệnh đề sau

(I): Véc tơ – không là véc tơ có độ dài bằng 0.

(II): Véc tơ – không là véc tơ có nhiều phương.

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. (I) và (II) đúng.

D. (I) và (II) sai.

Câu 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Độ dài $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|$ bằng

A. 2a

B. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

D. $a\sqrt{2}$ .

Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(2;-5\right)$ và $B\left(4;1\right)$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A. $I\left(1;3\right)$ .

B. $I\left(-1;-3\right)$ .

C. $I\left(3;2\right)$ .

D. $I\left(3;-2\right)$.

Câu 11. Cho tam giác ABC với $A\left(-2;3\right)$, $B\left(4;-1\right)$, trọng tâm của tam giác là $G\left(2;-1\right)$. Tọa độ đỉnh C là

A. $\left(6;-4\right)$ .

B. $\left(6;-3\right)$ .

C. $\left(4;-5\right)$ .

D. $\left(2;1\right)$ .

Câu 12. Cho các điểm A, B,C , D và số thực k. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $AB=\left|k\right|CD\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$ .

B. $AB=kCD\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$ .

C. $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}\Rightarrow AB=\left|k\right|CD$ .

D. $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}\Rightarrow AB=kCD$ .

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox cho các điểm $A\left(1;2\right)$, $B\left(3;-1\right)$, $C\left(0;1\right)$. Tọa độ của véctơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ là

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;2\right)$ .

B. $\overrightarrow{u}=\left(-4;1\right)$ .

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;-4\right)$ .

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;4\right)$ .

Câu 14. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. G là trọng tâm $\Delta ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.       

B. Ba điểm A, B, C bất kì thì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.   

C. I là trung điểm AB thì $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ với mọi điểm M.

D. ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Câu 15. Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

B. $\overrightarrow{AG}=2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

C. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ .

D. $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ .

Câu 16. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$, $3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Hệ thức nào đúng?

A. $\overrightarrow{IJ}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$ .

B. $\overrightarrow{IJ}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$.     

C. $\overrightarrow{IJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$.

D. $\overrightarrow{IJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$ .

Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có $A\left(2;-3\right)$, $B\left(4;5\right)$ và $G\left(0;-\frac{13}{3}\right)$ là trọng tâm tam giác ADC. Tọa độ đỉnh D là

A. $D\left(2;1\right)$ .

B. $D\left(-1;2\right)$ .

C. $D\left(-2;-9\right)$ .

D. $D\left(2;9\right)$ .

Câu 18. Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là

A. Hai vectơ cùng hướng.        

B. Hai vectơ cùng phương.      

C. Hai vectơ đối nhau.             

D. Hai vectơ bằng nhau.

Câu 19. Cho ba điểm M,N , P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó các cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A. $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$.

B. $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PN}$.

C. $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{NP}$.

D. $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$.

Câu 20. Cho tam giác ABC. Điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$. Chọn khẳng định đúng.

A. M là trọng tâm tam giác.    

B. M là trung điểm của BC.

C. M trùng với B hoặc C.     

D. M trùng với A.

Câu 21. Tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$ bằng

A. $\overrightarrow{MR}$ .

B. $\overrightarrow{MN}$ .

C. $\overrightarrow{MP}$ .

D. $\overrightarrow{MQ}$ .

Câu 22. Cho 4 điểm bất kì A,B ,C ,D . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{BA}$ .       

B. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CO}$ .       

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$ .       

D. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}$ .

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(1;0\right)$ và $B\left(0;-2\right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

A. $\left(\frac{1}{2};-1\right)$ .

B. $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$ .

C. $\left(\frac{1}{2};-2\right)$ .

D. $\left(1;-1\right)$ .

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $B\left(2;3\right)$,$C\left(-1;-2\right)$ . Điểm M thỏa mãn $2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. Tọa độ điểm M là

A. $M\left(\frac{1}{5};0\right)$ .

B. $M\left(-\frac{1}{5};0\right)$ .

C. $M\left(0;\frac{1}{5}\right)$ .

D. $M\left(0;-\frac{1}{5}\right)$.

Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-4\right)$,$\overrightarrow{a}=\left(-1;-2\right)$ , $\overrightarrow{b}=\left(1;-3\right)$. Biết $\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$, tính $m-n$.

A. 5.

B. -2.

C. -5.

D. 2.

Câu 26. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC. Tìm khẳng định sai.

A. $\left|\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}\right|=IA$ .  

B. $\left|\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right|=BC$ .

C. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2AI$ .      

D. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=3GA$ .

Câu 27. Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm AB và G là trọng tâm $\Delta ABC$. Phân tích $\overrightarrow{GA}$ theo $\overrightarrow{BD}$ và  $\overrightarrow{NC}$

A. $\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{NC}$.

B. $\overrightarrow{GA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}-\frac{4}{3}\overrightarrow{NC}$.

C. $\overrightarrow{GA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{NC}$.

D. $\overrightarrow{GA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{NC}$.

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}-m\overrightarrow{j}$. Tìm m để hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương.

A. $-\frac{2}{3}$.

B. $\frac{2}{3}$ .

C. $-\frac{3}{2}$.

D. $\frac{3}{2}$ .

Câu 29. Cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1\right)$,$\overrightarrow{b}=\left(-3;4\right)$ ,$\overrightarrow{c}=\left(-4;9\right)$ . Hai số thực m,n  thỏa mãn $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$. Tính $m^2+n^2$.

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $M\left(-\frac{5}{2};-1\right)$,$N\left(-\frac{3}{2};-\frac{7}{2}\right)$, $P\left(0;\frac{1}{2}\right)$  lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA , AB. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. $G\left(-\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right)$ .

B. $G\left(-4;-4\right)$ .

C. $G\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$ .

D. $G\left(4;-4\right)$ .

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất

Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập

Công thức góc giữa hai vectơ chi tiết nhất