Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

Một số dạng phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

$\begin{array}{l}a.{\sin }^{2}x+b.sinx+c=0,(a\ne 0)\\ a.co{s}^{2}x+b.cosx+c=0,(a\ne 0)\\ a.ta{n}^{2}x+b.tanx+c=0,(a\ne 0)\\ a.co{t}^{2}x+b.cotx+c=0,(a\ne 0)\end{array}$

2. Phương pháp giải

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) 2sin²x – 5sinx + 2 = 0

b) 5cos²x – 6cosx + 1 = 0

c) tan²x + 2tanx – 3 = 0

Lời giải

a) Đặt t = sinx với 

Ta được phương trình: 2t² – 5t + 2 = 0

$$\begin{gathered} \iff 2t^2-4t-t+2=0 \\ \iff \left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=2\left(Loại\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó $\sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Đặt t = cosx với $-1\le t\le 1$

Ta được phương trình: 5t² – 6t + 1 = 0

$$\begin{gathered} \iff 5t^2-5t-t+1=0 \\ \iff \left(5t-1\right)\left(t-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{1}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$(Thỏa mãn)

Khi đó $\left[\begin{array}{l}\cos x=1\\ \cos x=\frac{1}{5}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\pm \arccos \frac{1}{5}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=k2\pi ;x=\pm \arccos \frac{1}{5}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) Điều kiện xác định: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Đặt t = tanx. Ta được phương trình: t² + 2t – 3 = 0

$$\begin{gathered} \iff t^2+3t-t-3=0 \\ \iff \left(t+3\right)\left(t-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-3\\ t=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó $\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=-3\\ \tan x=1\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}x=\arctan \left(-3\right)+k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan \left(-3\right)+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

b) cos2x – 4sinx = 3

c) $cos2x–3cosx+4{\cos }^2\frac{x}{2}=0$

Lời giải

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

$\begin{array}{l}\iff 1-{\cos }^{2}x+2cosx+2=0\\ \iff -{\cos }^{2}x+2cosx+3=0\end{array}$

Đặt t = cosx với $-1\le t\le 1$

Ta được phương trình: - t² + 2t + 3 = 0

$\begin{array}{l}\iff -\left(t+1\right)\left(t-3\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=3\left(Loại\right)\end{array}\right.\end{array}$

Khi đó $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) cos2x – 4sinx = 3

$\begin{array}{l}\iff 1-2{\sin }^{2}x-4\sin x-3=0\\ \iff -2{\sin }^{2}x-4\sin x-2=0\end{array}$

Đặt t = sinx với $-1\le t\le 1$

Ta được phương trình: -2t² – 4t – 2 = 0

$\iff -2{\left(t+1\right)}^2=0$

$\iff t=-1$ (Thỏa mãn)

Khi đó: $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) $cos2x–3cosx+4{\cos }^2\frac{x}{2}=0$

$\begin{array}{l}\iff 2{\cos }^{2}x-1-3\cos x+4.\frac{1+\cos x}{2}=0\\ \iff 2{\cos }^{2}x-\cos x+1=0\end{array}$

Đặt t = cosx với $-1\le t\le 1$

Ta được phương trình: 2t² – t + 1 = 0 (*)

Ta có: $\Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.2.1}=-7<0$. Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

a) tanx + 5cotx = 6

b) $\frac{1}{\sin x}+3{\cot }^{2}x+1=0$

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right. \\ \iff x\ne \frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$.

Ta có: tanx + 5cotx = 6$\iff \tan x+\frac{5}{\tan x}=6$

Đặt t = tanx. Ta được phương trình: $t+\frac{5}{t}=6$ (Điều kiện: $t\ne 0$)

$\Rightarrow t^2+5=6t\iff t^2-6t+5=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=5\end{array}\right.$

Khi đó $\left[\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan 5+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan 5+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Điều kiện xác định: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Vì $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\cot }^{2}x$ nên ${\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1$

Thay vào phương trình ta có: $\frac{1}{\sin x}+3\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1\right)+1=0$

$\iff 3\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{\sin x}-2=0$

Đặt $t=\frac{1}{\sin x}$ (Vì $-1\le \sin x\le 1;\sin x\ne 0$ nên $t\ge 1$ hoặc $t\le -1$)

Ta được phương trình: 3t² + t – 2 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=\frac{2}{3}\left(Loại\right)\end{array}\right.$

Khi đó $\frac{1}{\sin x}=-1$$\iff \sin x=-1$$\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos²x + 3sinx – 3 = 0 thỏa mãn điều kiện $0<x<\frac{\pi }{2}$ là:

A. $x=\frac{\pi }{2} , x=\frac{\pi }{3}$

B. $x=\frac{\pi }{2} , x=\frac{\pi }{3}$

C. $x=\frac{\pi }{6}$

D. $x=\frac{5\pi }{6}$

Câu 2. Các họ nghiệm của phương trình cos2x – sinx = 0 là:

A. $\frac{\pi }{6}+k2\pi ;-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$

D. $-\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$

Câu 3. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin²x + 5sinx – 3 = 0 là:

A. $x=\frac{\pi }{2}$

B. $x=\frac{3\pi }{2}$

C. $x=\frac{5\pi }{6}$

D. $x=\frac{\pi }{6}$

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Giải phương trình: sin²x – 2sinx= 0

A . x= k.π

B. x= k2π

C. π/2+kπ

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Ta có: sin² x- 2sinx = 0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó (*) trở thành:

t² -2t= 0

Với t=0 ta có; sinx= 0

⇒ x= k.π

Chọn A.

Câu 2: Giải phương trình : 2sin²x + 3sinx + 1= 0

Lời giải

Ta có; 2sin2 x+ 3sinx +1= 0 (*)

Đặt t= sinx với - 1 ≤ t ≤ 1; khi đó (*) trở thành:

Chọn D.

Câu 3: Giải phương trình 2cos² x- 1= 0

A.

B.

C. Cả A và B đúng

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2cos² x – 1= 0 ⇒ cos²x = 1/2

Chọn C.

Câu 4: Giải phương trình : 3cos²x + 3cosx- 6= 0

A.k.π

B.π/2+k.π

C. π/4+k2π

D. π/2+k.2π

Lời giải

Ta có; 3cos²x+ 3cosx- 6= 0 (*).

Đặt cosx= t (-1 ≤ t ≤ 1 ); khi đó phương trình (*) trở thành:

3t² + 3t- 6=0

Với t= 1 ta có; cosx= 1

⇒ x= k.π

Chọn A.

Câu 5: Giải phương trình tan² x+ 3tanx – 4= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: tan² x+ 3tanx – 4= 0 ( *)

Đặt t= tanx; khi đó phương trình (*) trở thành: t² +3t – 4=0

Chọn B.

Câu 6: Giải phương trình: tan² x- √3 tanx=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có; tan²x- √3 tanx=0 (*)

Đặt tanx= t; khi đó phương trình (*) trở thành:

t²- √3 t=0

Chọn D.

Câu 7: Giải phương trình : tanx.cot(π/2- x) = 1

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải

Ta có: tanx.cot (90⁰- x) = 1

⇒ tanx. tanx= 1

Chọn C.

Câu 8: Giải phương trình: 4cot² x - 8cotx+ 4= 0

A.arccot⁡2+kπ

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. arccot 4+ k.π

Lơì giai

Ta có: 4cot²x- 8cotx + 4= 0 (*)

Đặt t= cotx; khi đó phương trình(*) trở thành:

4t² – 8t + 4= 0

⇒ t= 1 ⇒ cot x= 1

⇒ x= π/4+kπ

Chọn B.

Câu 9: Giải phương trình: tan² x +10tanx+ 35= 0

A. kπ

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. phương trình vô nghiệm

Lời giải

Ta có: tan²x+ 10tanx + 35=0 (*)

Đặt t=tanx; khi đó phương trình trên trở thành:

t² + 10t + 35= 0

⇒ Phương trình này vô nghiệm

⇒ Phương trình(*) vô nghiệm

⇒ phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D.

Câu 10: Giải phương trình: 2sin² x + sinx – 1= 0 .

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: 2sin² x+ sinx – 1= 0

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1) ; khi đó phương trình trên trở thành:

Chọn A.

Câu 11: Giải phương trình √2tan² x+ √6 tanx=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: √2tan²x + √6 tanx=0 (*)

Đặt t= tanx; khi đó phương trình (*) trở thành:

Chọn B.

Câu 12: Giải phương trình: √3.sin²x- √6=0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: √3.sin² x- √6=0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó phương trình (*) trở thành:

√3t²-√6 = 0

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 13: Biết rằng phương trình : √5cos² x-√5/2=0 có nghiệm là x= aπ/4+kbπ với k∈Z. Tính a+ b?

A. 1

B.2

C. 3

D.4

Lời giải:

x= π/4+kπ ⇒ a= 1 và b=1 nên a+ b= 2.

Chọn B.

Câu 14: Giải phương trình : sin² x+ sinx – 6=0?

A.

B.

C.

D.Vô nghiệm

Lời giải:

Ta có: sin²x + sinx – 6=0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1) khi đó phương trình (*) trở thành

t² + t – 6= 0

⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 15: Giải phương trình : √3.tan²x -(√3+1).tanx+1=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: √3.tan² x-(√3+1).tanx+1=0

Đặt t= tanx; phương trình trên trở thành;

√3.t²-( √3+1).t+1=0

Chọn C.

Câu 16: Giải phương trình : cot²x-( √3+ 1/√3)cotx+1=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 17: Giải phương trình : 2sin² 2x+ 2√2sin 2x+1= 0 ?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: 2sin² 2x+ 2√2sin 2x+1= 0 (*)

Đặt t= sin2x (-1 ≤ t ≤ 1)khi đó phương trình (*) trở thành:

2t²+2√2 t+1=0

Xem thêm các dạng Toán 11 hay, chọn lọc khác:

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản