Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức cấp số nhân (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

 Công thức cấp số nhân (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n - 1} với $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

c) Tính chất

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ với $k\ge 2.$

d) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

$S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

2. Công thức

- Công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

- Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁ . q^{n - 1} với $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

- Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ với $k\ge 2.$

- Tổng n số hạng đầu tiên: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, q = – 2.

a) Tính số hạng thứ 25 của cấp số nhân.

b) Số 49152 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải

a) Số hạng thứ 25 của cấp số cộng: u₂₅ = u₁ . q^25-1 = 3.(– 2)²⁴ = 3.2²⁴.

b) Gọi số hạng thứ k là số 49152, ta có

u_k = u₁.q^k-1 = 49152

$\iff 3.{\left(-2\right)}^{k-1}=49152$

$\iff {\left(-2\right)}^{k-1}=16384={\left(-2\right)}^{14}$

$\iff k=15$

Vậy số 49152 là số hạng thứ 15 của cấp số nhân.

c) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

$S_{100}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{3.\left[1-{(-2)}^{100}\right]}{1-\left(-2\right)}=1-2^{100}$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}{u}_{20}=8u_{17}\\ u_1+u_5=272\end{array}\right.$.

a) Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

c) Tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ +u₇ +…+ u₂₀₁.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_{20}=8u_{17}\\ u_1+u_5=272\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1.q^{19}-8u_1{q}^{16}=0\\ u_1+u_1{q}^4=272\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1.q^{16}\left(q^3-8\right)=0\\ u_1\left(1+q^4\right)=272\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{q}^3-8=0\\ u_1\left(1+q^4\right)=272\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}q=2\\ u_1=\frac{272}{1+2^4}=16\end{array}\right.$

Vậy u₁ = 16 và q = 2.

b) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

$$\begin{gathered} S_{100}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{16.\left[1-2^{100}\right]}{1-2} \\ =16.\left(2^{100}-1\right)=2^{104}-16 \end{gathered}$$

c) Dãy số là (v_n): u₁;  u₃;  u₅; u₇; …  u₂₀₁ là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ và công bội $q\text{'}=\frac{u_3}{u_1}=q^2=4$.

Dãy (v_n) có $\frac{201-1}{2}+1=101$ số hạng

$$\begin{gathered} S=u_1+u_3+u_5+u_7+\dots {+}^{ }{u}_{201} \\ =\frac{16.\left(1-4^{101}\right)}{1-4}=\frac{16}{3}.\left(4^{101}-1\right) \end{gathered}$$

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm u₁ biết:

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta có:

Từ đó ta tìm được u₁=1,u₁=8.

Bài 2: Cho cấp số nhân 

1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;

2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;

3. Số 2/6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

Đáp án và hướng dẫn giải

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

1. Năm số hạng đầu của cấp số là:

u₁=2,u₂=2/3,u₃=2/9,u₄=2/27,u₅=2/81.

2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

3. Ta có:

Vậy 2/6561 là số hạng thứ 9 của cấp số.

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u₁ biết: 

Lời giải:

Bài 2: Tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, biết 

Lời giải:

Bài 3: Một cấp số nhân dương có 4 số hạng, công bội q bằng 1/4 lần số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm tích các số hạng cấp số nhân đó?

Lời giải:

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄

u₁=8,u₂=16,u₃=32,u₄=64. Khi đó tích cần tìm là: 8.6.32.64 = 98304.

Bài 4: Cho bốn số nguyên biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân, ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng. Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng hai số ở giữa bằng 12. Tổng của bốn số nguyên đó là?

Lời giải:

Gọi 4 số cần tìm là a,b,c,d. Dựa vào giả thiết ta có hệ:

Vậy tổng 4 số nguyên đó là: 2 + 4 + 8 +12 = 26.

Bài 5: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có

Vậy u₁=2/9,u₂=2/3,u₃=2,u₄=6,u₅=18,u₆=54,u₇=162.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập