Với Giải trang 34 SBT Toán lớp 11 trong Bài tập cuối chương 1 trang 32 Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

 SBT Toán 11 trang 34 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 1 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin2α;

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right);$

c) $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right).$

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

Ta có: sin2α = 2sinαcosα

$=2\cdot \frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)=-\frac{3\sqrt{7}}{8}.$$-\frac{3\sqrt{7}}{8}$

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$

$=\frac{-\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{1}{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{8}.$

c) $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=-\frac{3}{\sqrt{7}}$

$\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan 2\alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan 2\alpha \tan \frac{\pi }{4}}$

Mà $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{1-{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2}$$=\frac{2\cdot \frac{-3}{\sqrt{7}}}{1-{\left(\frac{-3}{\sqrt{7}}\right)}^2}=3\sqrt{7}$

Nên $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan 2\alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan 2\alpha \tan \frac{\pi }{4}}$$=\frac{3\sqrt{7}-1}{1+3\sqrt{7}\cdot 1}=\frac{3\sqrt{7}-1}{3\sqrt{7}+1}$

Bài 2 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) $y=3\sin x+2\tan \frac{x}{3};$

b) $y=\cos x\sin \frac{\pi -x}{2}.$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là $D=ℝ\setminus \left(\frac{3\pi }{2}+k3\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì x ± 6π ∈ D với mọi x ∈ D và $3\text{sin}\left(x+6\pi \right)+2\text{tan}\frac{x+6\pi }{3}=3\text{sin}x+2\text{tan}\left(\frac{x}{3}+2\pi \right)=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$

nên hàm số là hàm số tuần hoàn.

Vì ‒x ∈ D với mọi x ∈ D và $3\text{sin}\left(-x\right)+2\text{tan}\left(-\frac{x}{3}\right)=-3\text{sin}x-2\text{tan}\frac{x}{3}=-\left(3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}\right)$

nên hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ có tập xác định là .

Vì x ± 4π ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và $\text{cos}\left(x+4\pi \right)\text{sin}\frac{\pi -\left(x+4\pi \right)}{2}=\text{cos}x\text{sin}\left(\frac{\pi -x}{2}-2\pi \right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

nên hàm số là hàm số tuần hoàn.

Vì ‒x ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và $\text{cos}\left(-x\right)\text{sin}\frac{\pi +x}{2}=\text{cos}x\text{sin}\left(\pi -\frac{\pi -x}{2}\right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

nên hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ là hàm số chẵn.

Bài 3 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x;$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

Lời giải:

a) ${\text{sin}}^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\text{sin}}^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)$

$=\left(\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)+\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right)\left(\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right)$

$$\begin{gathered} =\left(2\text{sin}x\text{cos}\frac{\pi }{8}\right)\left(2\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi }{8}\right) \\ =\left(2\text{sin}x\text{cos}x\right)\left(2\text{cos}\frac{\pi }{8}\text{sin}\frac{\pi }{8}\right) \end{gathered}$$

$=\text{sin}2x\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}2x$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

⇔ 2cosxcosycos(x ‒ y) ‒ cos²(x ‒ y) = cos²x ‒ sin²y

$$\begin{gathered} =\text{cos}\left(x-y\right)\left(2\text{cos}x\text{cos}y-\text{cos}\left(x-y\right)\right) \\ =\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}x\text{cos}y-\text{sin}x\text{sin}y \end{gathered}$$

$=\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}\left(\text{cos}2y+\text{cos}2x\right)$

$=\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sin}}^{2}y+2{\text{cos}}^{2}x-1\right)={\text{cos}}^{2}x-{\text{sin}}^{2}y.$

Bài 4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+s\text{inx}=0;$

b) ${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4};$

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^{2}x=1.$

Lời giải:

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+s\text{inx}=0$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-s\text{inx}$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \end{array}\right)$

$$\begin{gathered} \iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ 3x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right) \\ \iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

b)${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

$\iff \frac{1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

$\iff 1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \left(\begin{array}{c}2x+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ;x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^{2}x=1$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+1-\cos 2x=1$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)-\cos 2x=0$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2x$

$\iff \left(\begin{array}{c}3x+\frac{\pi }{6}=2x+k2\pi \\ 3x+\frac{\pi }{6}=-2x+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Bài 5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Vận tốc v₁ (cm/s) của con lắc đơn thứ nhất và vận tốc v₂ (cm/s) của con lắc đơn thứ hai theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức:

$v_1\left(t\right)=-4\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)$ và $v_2\left(t\right)=2\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right).$

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2 cm/s;

b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp 2 lần vận tốc của con lắc đơn thứ 2.

Lời giải:

a) Thời điểm t mà tại đó vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2 cm/s là nghiệm của phương trình:

$-4\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=2$

$\iff \cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff t=\frac{13\pi }{8}+k3\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $t=\frac{5\pi }{8}+k3\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) Thời điểm t mà tại vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp 2 lần vận tốc của con lắc đơn thứ 2 là nghiệm của phương trình:

$-4\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=2\cdot 2\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff -\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff t=\frac{19\pi }{16}+k\frac{3\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ và $t=\frac{13\pi }{32}+k\frac{3\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$