Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91.

SBT Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 3 trang 91

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: $\text{lim}\frac{3n^2+2n}{2-n^2}$ bằng

A. $\frac{3}{2}.$

B. ‒2.

C. 3.

D. ‒3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\text{lim}\frac{3n^2+2n}{2-n^2}=\lim \frac{3+\frac{2}{n}}{\frac{2}{n^2}-1}=\frac{3}{-1}=-3.$

Câu 2 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Ta có: $\text{lim}\frac{\sqrt{4n^2+4n+1}}{4n+1}$ bằng

A. $\frac{1}{2}.$

B. 1.

C. 2.

D. +∞.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

$\text{lim}\frac{\sqrt{4n^2+4n+1}}{4n+1}=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}}{4+\frac{1}{n}}=\frac{\sqrt{4}}{4}=\frac{1}{2}.$

Câu 3 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: $\text{lim}\frac{2n+1}{\sqrt{9n^2+1}-n}$ bằng

A. $\frac{2}{3}.$

B. 1.

C. $\frac{1}{4}.$

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

$\text{lim}\frac{2n+1}{\sqrt{9n^2+1}-n}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{9+\frac{1}{n^2}}-1}=\frac{2}{3-1}=1.$

Câu 4 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 4, lim(v_n – 3) = 0.

lim[u_n(u_n – v_n)] bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có lim(v_n ‒ 3) = 0⇔ limv_n = 3

Khi đó $\text{lim}\left(u_n\left(u_n-v_n\right)\right)=\lim \left(u_n^2-u_n{v}_n\right)=4^2-\left(4\cdot 3\right)=4.$

Câu 5 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: $\text{lim}\frac{4^n}{2\cdot 4^n+3^n}$ bằng

A. $\frac{1}{2}.$

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\text{lim}\frac{4^n}{2\cdot 4^n+3^n}=\lim \frac{1}{2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^n}=\frac{1}{2}.$

Câu 6 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-x-2}{2x-4}$ bằng

A. $\frac{3}{2}.$

B. $\frac{1}{2}.$

C. 1.

D. $-\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{2\left(x-2\right)}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}.$

Câu 7 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-2}{\sqrt{x+3}-2}$ bằng

A. 0.

B. +∞.

C. 2.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{2x-2}{\sqrt{x+3}-2}=\frac{\left(2x-2\right)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}{\left(x+3-4\right)}$

$=\frac{2\left(x-1\right)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}{x-1}=2\left(\sqrt{x+3}+2\right).$

Khi đó $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-2}{\sqrt{x+3}-2}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(2\left(\sqrt{x+3}+2\right)\right)$ $=2\cdot \left(\sqrt{1+3}+2\right)=8.$

Câu 8 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Biết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3x+a}{x-1}=b$ với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Do $\underset{x\to 1}{\lim }\left(x-1\right)=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3x+a}{x-1}=b,$ trước hết ta phải

có $\underset{x\to 1}{\lim }\left(x^2-3x+a\right)=0$ hay 1² ‒ 3.1 + a = 0 ⇔ a = 2.

Khi đó, $\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{x^2-3x+a}{x-1}=\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{x^2-3x+2}{x-1}$

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\text{lim}}\left(x-2\right)=1-2=-1$

Theo bài, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3x+a}{x-1}=b$ nên b = −1.

Suy ra a + b = 2 + (‒1) = 1.

Câu 9 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{\left|x-3\right|}.$ Đặt $a=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $b=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$ Giá trị của a ‒ 2b bằng

A. 0.

B. 9.

C. ‒3.

D. ‒9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$a=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x}{\left|x-3\right|}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x}{x-3}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }x=3.$

$b=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x}{\left|x-3\right|}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x}{3-x}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(-x\right)=-3.$

Khi đó a ‒ 2b = 3 ‒ 2.(‒3) = 9.

Câu 10 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2,\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)+2g\left(x\right)\right)=4$. Giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)-2g\left(x\right)}{f\left(x\right)+2g\left(x\right)}$ bằng

A. ‒1.

B. 0.

C. $\frac{1}{2}$

D. $-\frac{1}{2}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)+2g\left(x\right)\right)=4$

$\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+2\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=4$

$\iff 2\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=4-2=2$

Suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)-2g\left(x\right)}{f\left(x\right)+2g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-2\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)}{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+2\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)}=\frac{2-2}{2+2}=0.$

Câu 11 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\mathrm{ax}}{\sqrt{x^2+\mathrm{ax}}+x}=3.$ Giá trị của a là

A. $\frac{3}{4}$

B. 6.

C. $\frac{3}{2}$

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}=3\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2a}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1}=3$

$\iff \frac{2a}{2}=3\iff a=3.$

Câu 12 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}$ bằng

A. +∞.

B. ‒∞.

C. ‒3 .

D. $\frac{7}{4}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(1-3x\right)=1-3\cdot \left(-2\right)=1+6=7;\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1}{x+2}=-\infty$

Nên $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(\left(1-3x\right)\cdot \frac{1}{x+2}\right)=-\infty .$

Câu 13 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}& \text{ khi }x\ne 3\\ a& \text{ khi }x=3\end{array}\right.$ liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng

A. $-\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. ‒2.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}$ là hàm số phân thức có tập xác định D = ℝ∖{3} nên nó liên tục trên khoảng (‒∞; 3) và (3; +∞)

Do đó, để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)$ hay $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(2-\sqrt{x+1}\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}{\left(x-3\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{3-x}{\left(x-3\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{-1}{2+\sqrt{x+1}}=a$

$\iff \frac{-1}{2+\sqrt{3+1}}=a\iff a=\frac{-1}{4}.$

Câu 14 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\mathrm{(x)} =\left\{\begin{array}{l}\tan x khi 0 \le x\le \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ k-cotx khi \frac{\mathrm{\pi }}{4}<x\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\end{array}\right.$ liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$ Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{\pi }{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

− Hàm số y = tanx là hàm lượng giác có tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi }\right\}$ với k ∈ ℤ nên nó liên tục trên các khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi };\frac{\pi }{2}+\left(k+1\right)\pi \right)$

Mà $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)\subset \left(\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi };\frac{\pi }{2}+\left(k+1\right)\pi \right)$ nên hàm số y = tanx liên tục trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

− Hàm số y = k – cotx là hàm lượng giác có tập xác định D = ℝ \ {kπ} với với k ∈ ℤ nên nó liên tục trên các khoảng (kπ; (k + 1)π).

Mà $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\subset \left(\mathrm{k\pi };\left(k+1\right)\pi \right)$ nên hàm số y = k – cotx liên tục trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right).$

− Do đó, để hàm số liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right),\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right).$

⦁ Hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$ khi và chỉ khi $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \tan \frac{\pi }{4}=k-\cot \frac{\pi }{4}=k-\cot \frac{\pi }{4}\iff k-1=1\iff k=2\left(1\right)$

⦁ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\iff \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{tanx}=\tan 0\iff \tan 0=\tan 0$ (luôn đúng)

⦁ $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)\iff \underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\left(k-\text{cot}x\right)$

$=k-\text{cot}\frac{\pi }{2}\iff k-\text{cot}\frac{\pi }{2}=k-\text{cot}\frac{\pi }{2}$ (luôn đúng)

Vậy k = 2.

Câu 15 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng phương trình x³ ‒ 2x ‒3 = 0 chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

A. (‒1; 0).

B. (0; 1).

C. (1; 2).

D. (2; 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x³ ‒ 2x ‒3 liên tục trên ℝ.

f(‒1) = (‒1)³ ‒ 2.(‒1) ‒ 3 = ‒2.

f(0) = 0³ ‒ 2.0 ‒ 3 = ‒ 3.

f(1) = 1³ ‒ 2.1 ‒ 3 = ‒4.

f(2) = 2³ ‒ 2.2 ‒ 3 = 1.

f(3) = 3³ ‒ 2.3 ‒ 3 = 18.

Ta thấy f(1).f(2) < 0 nên hàm số có nghiệm trong các khoảng (1; 2).

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\text{lim}\frac{n\left(2n^2+3\right)}{4n^3+1}$;

b) $\text{lim}\left(\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)\right)$.

Lời giải:

a) $\text{lim}\frac{n\left(2n^2+3\right)}{4n^3+1}=\lim \frac{2n^3+3n}{4n^3+1}=\lim \frac{2+\frac{3}{n^2}}{4+\frac{1}{n^3}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có:

$\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)$

$=\frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}\right)}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

$=\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

Suy ra $\lim \frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}=\lim \frac{4}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$ $=\frac{4}{1+1}=2.$

Bài 2 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho các dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 2, lim(u_n – v_n) = 4. Tìm $\text{lim}\frac{3u_n-v_n}{u_n{v}_n+3}.$

Lời giải:

Ta có lim(u_n – v_n) = 4

Suy ra limu_n – limv_n­ = 4, hay limv_n = limu_n – 4 = 2 – 4 = −2.

Do đó $\text{lim}\frac{3u_n-v_n}{u_n{v}_n+3}=\frac{3\text{lim}{u}_n-\text{lim}{v}_n}{\text{lim}{u}_n\cdot \text{lim}{v}_n+3}=\frac{3\cdot 2-\left(-2\right)}{2\cdot \left(-2\right)+3}=-8.$

Bài 3 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm $\lim \frac{6^n+4^n}{\left(2^n+1\right)\left(3^n+1\right)}$.

Lời giải:

Ta có $\frac{6^n+4^n}{\left(2^n+1\right)\left(3^n+1\right)}=\frac{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\left(1+\frac{1}{3^n}\right)}$ (chia cả tử và mẫu cho 6ⁿ = 2ⁿ.3ⁿ).

Do đó $\text{lim}\frac{6^n+4^n}{\left(2^n+1\right)\left(3^n+1\right)}=\lim \frac{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\left(1+\frac{1}{3^n}\right)}=\frac{1}{1\cdot 1}=1.$

Bài 4 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho a > b > 0 và $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=1.$ Tìm giá trị của a.

Lời giải:

Ta có $\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=\frac{a+{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}{2+b\cdot {\left(\frac{b}{a}\right)}^n}$ (chia cả tử và mẫu cho aⁿ).

Do đó $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=\lim \frac{a+{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}{2+b{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}=\frac{a+0}{2+b\cdot 0}=\frac{a}{2}$

Theo bài, $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=1,$ suy ra $\frac{a}{2}=1$, do đó a = 2.

Bài 5 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) thoả mãn ${\mathrm{limnu}}_n=\frac{1}{2}.$ Tìm lim(3n – 4)u_n.

Lời giải:

Ta có $\text{lim}{u}_n=\text{lim}\left(\frac{1}{n}\cdot {\mathrm{nu}}_n\right)=\text{lim}\frac{1}{n}\cdot \text{lim}{\mathrm{nu}}_n=0\cdot \frac{1}{2}=0$.

Từ đó:

$\text{lim}\left(3n-4\right)u_n=\text{lim}\left(3{\mathrm{nu}}_n-4u_n\right)$$=3{\mathrm{limnu}}_n-4\text{lim}{u}_n=3\cdot \frac{1}{2}-4\cdot 0=\frac{3}{2}$.

Bài 6 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^2}$).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3^n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac{1}{4^n}$). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Lời giải:

Ta có:

$S=\frac{1}{4}+3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2+3^2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3+\dots +3^n\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{n+1}+\dots$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\dots +\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n+\dots$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{4},$ công bội $q=\frac{3}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 nên $S=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{3}{4}}=1$.

Bài 7 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A₁ của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A₂ của A₁B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A₃ của A₂B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Lời giải:

Thời gian để mũi tên bay từ A đến A₁ là giây, từ A₁ đến A₂ là $\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$ giây, từ A₂ đến A₃ là $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$ giây, …

Tổng thời gian bay của mũi tên là $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{2^n}+\dots \left(*\right)$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội bằng $q=\frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó, tổng này bằng $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$ (giây).

Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.

Lập luận của nhà thông thái không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.

Bài 8 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}& \text{ khi }x\ne -3\\ a& \text{ khi }x=-3.\end{array}\right.$

a) Tìm $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?

Lời giải:

a) Khi $x>-3,f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}=\frac{x^2-9}{x+3}=x-3$.

Khi $x<-3,f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}=\frac{x^2-9}{-\left(x+3\right)}=3-x$.

Từ đó, $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=-6$ và $\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\left(3-x\right)=6$.

Suy ra $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-6-6=-12.$

b) Do $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right),$ nên không tồn tại $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$.

Do đó, hàm số không liên tục tại x = ‒3 với mọi giá trị của a.

Bài 9 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-3}$.

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right).$

Lời giải:

a) Ta có: x ‒ 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

f(x) là hàm phân thức có tập xác định D = ℝ ∖ {3} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 3) và (3; +∞).

b) Ta có:

⦁$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2.$

⦁$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2.$

⦁$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}$

Vì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(2x+1\right)=2\cdot 3+1=7;\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{x-3}=+\infty$

Nên $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=+\infty .$

⦁ $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}$

Vì $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(2x+1\right)=2\cdot 3+1=7;\underset{x\to 3-}{\lim }\frac{1}{x-3}=-\infty$

Nên $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=-\infty .$

Bài 10 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x²; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\mathrm{OM}-\mathrm{MH}\right).$

Lời giải:

Ta có $M\left(x;x^2\right);\mathrm{OM}=\sqrt{x^2+x^4};\mathrm{MH}=\left|x^2\right|=x^2$.

Khi đó $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(\mathrm{OM}-\mathrm{MH}\right)=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{x^2+x^4}-x^2\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{\left(\sqrt{x^2+x^4}-x^2\right)\left(\sqrt{x^2+x^4}+x^2\right)}{\sqrt{x^2+x^4}+x^2}=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+x^4}+x^2}$

$=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+1}=\frac{1}{2}.$

Bài 11 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng phương trình x⁵ + 3x² ‒ 1 = 0 trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) đều có ít nhất một nghiệm.

Lời giải:

Xét hàm số f(x) = x⁵ + 3x² ‒ 1. Hàm số này liên tục trên ℝ.

Ta có:

f(‒2) = (‒2)⁵ + 3.(‒2)² ‒ 1 = ‒32 + 12 ‒ 1 = ‒21.

f(‒1) = (‒1)⁵ + 3.(‒1)² ‒ 1 = ‒1 + 3 ‒ 1 = 1.

f(0) = 0⁵ + 3.0² ‒ 1 = ‒1.

f(1) = 1⁵ + 3.1² ‒ 1 = 3.

Do f(‒2).f(‒1) = ‒21 < 0 nên phương trình f(x) có nghiệm thuộc (‒2; ‒1).

Do f(‒1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 0).

Do f(0).f(1) = ‒3 < 0 nên phương trình f(x) = 0có nghiệm thuộc (0; 1).

Vậy trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1)phương trình f(x) = 0 hay x⁵ + 3x² ‒ 1 = 0 đều có ít nhất một nghiệm.

Bài 12 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right),$ rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính S(α) theo $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$.

b) Xét tính liên tục của hàm số y = S(α) trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

c) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right)$ và $\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

Lời giải:

Kí hiệu O là tâm hình tròn.

a) Do tam giác ABC vuông tại C nên AC = ABcosα = 10cosα (m).

Ta có $\widehat{\mathrm{BOC}}=2\widehat{\mathrm{BAC}}=2\alpha$.

Suy ra độ dài cung CB là $l=\mathrm{OB}.\widehat{\mathrm{BOC}}=5.2\alpha =10\alpha \left(\text{m}\right)$.

Quãng đường di chuyển (tính theo m) của người đó là:

$S\left(\alpha \right)=\mathrm{AC}+l=10\text{cos}\alpha +10\alpha =10\left(\alpha +\text{cos}\alpha \right)\left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$

b) Do các hàm số y = α và y = cosα liên tục trên ℝ nên hàm số y = S(α) liên tục trên ℝ

Mà $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\subset ℝ$ nên hàm số y = S(α) liên tục trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right).$

c) Ta có:

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }10\left(\alpha +\text{cos}\alpha \right)=10\cdot \left(0+\text{cos}0\right)=10\cdot \left(0+1\right)=10;$

$\underset{\alpha \to \frac{{\pi }^{+}}{2}}{\text{lim}}S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to \frac{{\pi }^{+}}{2}}{\text{lim}}10\left(\alpha +\text{cos}\alpha \right)$$=10\cdot \left(\frac{\pi }{2}+\text{cos}\frac{\pi }{2}\right)=10\cdot \left(\frac{\pi }{2}+0\right)=5\pi .$

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song