Toptailieu.vn xin giới thiệu 50 bài tập trắc nghiệm Ôn tập chương 3 (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 12 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Ôn tập chương 3

Câu 1: Cho hai vectơ \[\overrightarrow{a}=\,\,\left( 2,-1,1 \right);\,\,\overrightarrow{b}=\,\,\left( -2,3,1 \right).\] Xác định vectơ \[\overrightarrow{d}\], biết \[\overrightarrow{d}\] vuông góc với \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\]; \[\left| \overrightarrow{d} \right|\]\[=3\sqrt{3}\].

A. \[\left( -3,-3,\,\,3 \right)\]

B. \[\left( \,3,\,\,3,-3 \right)\]

C. \[\left( -3,-3,-3 \right);\left( 3,3,3 \right)\]

D. \[\left( \,3,\,\,3,-3 \right);\left( -3,-3,\,\,3 \right)\]

Lời giải:

$\Rightarrow {{d}_{2}}+{{d}_{3}}=0\Rightarrow {{d}_{2}}=-{{d}_{3}};\,{{d}_{1}}=-{{d}_{3}}$

$\left| \overrightarrow{d} \right|=3\sqrt{3}\Rightarrow d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}=27\Leftrightarrow d_{3}^{2}=9\Leftrightarrow {{d}_{3}}=\pm 3$

Với ${{d}_{3}}=3\Rightarrow {{d}_{1}}={{d}_{2}}=-{{d}_{3}}=-3\Rightarrow \overrightarrow{d}=\left( -3;-3;3 \right)$

Với ${{d}_{3}}=-3\Rightarrow {{d}_{1}}={{d}_{2}}=3\Rightarrow \overrightarrow{d}=\left( 3;3;-3 \right)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2: Cho hai vectơ \[\overrightarrow{a}=\,\,\left( 2,-1,-2 \right)\] và \[\overrightarrow{b}\] có \[\left| \,\overrightarrow{b}\, \right|\,=\,\,6.\] “Nếu \[\left| \,\overrightarrow{a}\,\,-\,\,\overrightarrow{b}\, \right|=\,\,4\] thì \[\left| \,\overrightarrow{a}\,\,+\,\,\overrightarrow{b}\, \right|=\,\,........\]”. Chọn câu điền khuyết đúng?

A. \[\sqrt{74}\]

B. \[2\sqrt{21}\]

C. \[\sqrt{21}\]

D. \[8\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3: Cho hai vectơ \[\overrightarrow{a}=\,\,\left( 2,-1,-2 \right)\] và \[\overrightarrow{b}\] có \[\left| \,\overrightarrow{b}\, \right|\,=\,\,6.\] “Nếu \[\widehat{\left( \,\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b}\, \right)}=\,\,{{60}^{0}}\] thì \[\left| \,\overrightarrow{a}\,\,-\,\,\overrightarrow{b}\, \right|=\,\,........\]”. Chọn câu điền khuyết đúng?

A. \[3\sqrt{7}\]

B. \[63\]

C. \[3\sqrt{3}\]

D. \[27\]

Lời giải:

${{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=16={{\overrightarrow{a}}^{2}}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}-2\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos {{60}^{0}}$

${{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=27\Rightarrow \left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=3\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \[\overrightarrow{a}\] hợp với \[\overrightarrow{Ox}\] góc \[{{60}^{0}}\], hợp với \[\overrightarrow{Oz}\] góc \[{{60}^{0}}\]. Tính góc hợp bởi \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{Oy}\].

A. \[{{15}^{0}}\]

B. \[{{60}^{0}}\]

C. \[{{90}^{0}}\]

D. \[{{45}^{0}}\vee {{135}^{0}}.\]

Lời giải:

Gọi $\alpha ={{60}^{0}},\beta $ và $\gamma ={{60}^{0}}$ lần lượt là các góc hợp bởi $\overrightarrow{a}$ với ba trục $\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{Oz}$. Đặt $\left| \overrightarrow{a} \right|=a$

Ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5: Cho bốn điểm A\[\left( 3,\frac{9}{5},\frac{12}{5} \right)\]; B\[\left( 4,0,0 \right)\]; C\[\left( 0,\frac{6}{5},\frac{8}{5} \right)\]; D\[\left( -2,\frac{24}{5},\frac{32}{5} \right)\]. Tam giác ABC là:

A. Cân

B. Vuông

C. Đều

D. Vuông cân

Lời giải:

Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6: Cho bốn điểm A\[\left( 3,\frac{9}{5},\frac{12}{5} \right)\]; B\[\left( 4,0,0 \right)\]; C\[\left( 0,\frac{6}{5},\frac{8}{5} \right)\]; D\[\left( -2,\frac{24}{5},\frac{32}{5} \right)\]. ABCD là:

A. Hình thang

B. Hình thang vuông

C. Hình chữ nhật

D. Hình chóp

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}=\left( 1;-\frac{9}{5};-\frac{12}{5} \right);\,\overrightarrow{CD}=\left( -2;\frac{18}{5};\frac{24}{5} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{CD}\Rightarrow ABCD$ là hình thang.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7: Cho bốn điểm S\[\left( 1,2,3 \right)\]; A\[\left( 2,2,3 \right)\]; B\[\left( 1,3,3 \right)\]; C\[\left( 1,2,4 \right).\] SABC là:

A. Tứ diện

B. Hình chóp đều

C. Tứ diện đều.

D. Hình thang vuông

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;0 \right);\,\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;1 \right);\,\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;1 \right)$

$\Rightarrow AB=BC=CA=\sqrt{2}\Rightarrow ABC$ là tam giác đều

$\overrightarrow{SA}=\left( 1;0;0 \right);\,\overrightarrow{SB}=\left( 0;1;0 \right);\,\overrightarrow{SC}=\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow SA=SB=SC=1$

$\Rightarrow \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}$ không đồng phẳng

$\Rightarrow SABC$ là hình chop đều, đỉnh $S$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8: Cho bốn điểm S\[\left( 1,2,3 \right)\]; A\[\left( 2,2,3 \right)\]; B\[\left( 1,3,3 \right)\]; C\[\left( 1,2,4 \right).\]Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.SMNP là:

A. Hình chóp

B. Hình chóp đều

C. Tứ diện đều

D. Tam diện vuông

Lời giải:

Tam giác $ABC$ có $AB=BC=CA=\sqrt{2}$

$\Rightarrow MN=NP=PM=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Tương tự $SA\bot SC,\,SB\bot SC$

Các tam giác vuông $SAB,SBC,SCA$ vuông tại $S$, có các trung tuyến:

$SP=SM=SN=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}=MN=NP=PM$

Ta có: $SP\subset \left( SAB \right);\,SM\subset \left( SBC \right);\,SN\subset \left( SCA \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{SP},\overrightarrow{SM},\overrightarrow{SN}$ không đồng phẳng$\Rightarrow SMNP$ là tứ diện đều.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9: Cho bốn điểm S\[\left( 1,2,3 \right)\]; A\[\left( 2,2,3 \right)\]; B\[\left( 1,3,3 \right)\]; C\[\left( 1,2,4 \right).\] Xác định tọa độ trọng tâm G của hình SABC.

A. \[\left( 5,9,13 \right)\]

B. \[\left( \frac{5}{3},3,\frac{13}{3} \right)\]

C. \[\left( 1,\frac{7}{4},\frac{9}{4} \right)\]

D. \[\left( \frac{5}{4},\frac{9}{4},\frac{13}{4} \right)\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10: Cho ba vectơ \[\overrightarrow{a}=\,\,\left( 1,1,-2 \right);\,\,\overrightarrow{b}=\,\,\left( 2,-1,2 \right);\,\overrightarrow{c}=\,\,\left( -2,3,-2 \right)\]. Xác định vectơ \[\overrightarrow{d}\] thỏa mãn \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{d}=\,\,4;\,\,\overrightarrow{b}.\overrightarrow{d}=\,\,5;\,\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}=\,\,7.\]

A. \[\left( 3,6,5 \right)\]

B. \[\left( -3,6,-5 \right)\]

C. \[\left( \frac{3}{2},6,\frac{5}{2} \right)\]

D. \[\left( 3,6,\frac{5}{2} \right)\]

Lời giải:

$\left( 1 \right)+\left( 2 \right):3x=9\Leftrightarrow x=3$ và $\left( 2 \right)+\left( 3 \right):2y=12\Leftrightarrow y=6$

$\left( 1 \right):z=\frac{1}{2}\left( x+y-4 \right)=\frac{1}{2}\left( 3+6-4 \right)=\frac{5}{2}\Rightarrow \overrightarrow{d}=\left( 3;6;\frac{5}{2} \right)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11: Cho khối tứ diện \[ABCD\]. Nếu \[\overrightarrow{AB}=a;\overrightarrow{AC}=b;\overrightarrow{AD}=c\].Gọi M là trung điểm của \[BC\] thì:

A. \[\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}}{2}\].

B. \[\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}}{2}\].

C. \[\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}}{2}\].

D. \[\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{2b}-\overrightarrow{c}}{2}.\]

Lời giải:

\[\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{c}+\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}}{2}\].

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12: Cho khối tứ diện \[ABCD\]. Nếu \[\overrightarrow{AB}=b;\overrightarrow{AC}=c;\overrightarrow{AD}=d\].Gọi G là trung điểm của \[BCD\] thì

A. \[\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}\].

B. \[\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{3}\].

C. \[\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{2}\].

D. \[\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\].

Lời giải:

Gọi G là trung điểm của \[BCD\] nên

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13: Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\].Gọi O là tâm của hình lập phương, khi đó:

A. \[\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\text{AA}'}}{3}\].

B. \[\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\text{AA}'}}{4}\].

C. \[\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\text{AA}'}}{2}\].

D. \[\overrightarrow{AO}=\frac{2\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\text{AA}'} \right)}{3}\].

Lời giải:

\[\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC'}=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\text{AA}'}}{2}\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 14: Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Gọi I là tâm của  mặt \[C\text{DD}'C'\], khi đó:

A. \[\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}}{2}+\overrightarrow{AD}\].

B. \[\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}+\overrightarrow{AA'}\].

C. \[\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}}{2}+\overrightarrow{AB}\].

D. \[\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}}{2}\].

Lời giải:

O là tâm hình lập phương

\[\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OI=}\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}}{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}}{2}+\overrightarrow{AD}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15: Cho khối tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[P,Q\] lần lượt là trung điểm của \[AC,BD\]. Tìm hệ thức đúng:

A. \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=4\overrightarrow{PQ}\].

B. \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{PQ}\].

C. \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{PQ}\].

D. \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{PQ}\].

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16: Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\].Tìm hệ thức sai:

A. \[\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{CA'}+2\overrightarrow{C'C}=0\].

B. \[\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{A'C}=2\overrightarrow{AC}\].

C. \[\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{\text{AA}'}\].

D. \[\overrightarrow{CA'}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CC'}\] .

Lời giải:

Vậy C sai.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17: Chi tứ diện \[ABCD\]. \[M,N\] lần lượt là trung điểm \[AC,BD\]. Chọn hệ thức sai:

A. \[\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}\].

B. \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{MN}\].

C. \[\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{MN}\].

D. \[\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}\].

Lời giải:

\[\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}\]  (hệ thức trung điểm)

Gọi \[P,Q\] lần lượt là trung điểm của \[AD,BC\Rightarrow MNPQ\] là hình bình hành

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18: Cho 3 điểm \[A,B,C\] thẳng hang và 1 điểm M tùy ý trong không gian. Ta luôn có:

A. \[2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\].

B. \[2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\].

C. \[2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\]

D. \[2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\]

Lời giải:

\[2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MA}+\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} \right)-3\overrightarrow{MC}=3\left( \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC} \right)+\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19: Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\],\[AC'\cap \left( A'BD \right)=E,AC'\cap \left( CB'D' \right)=F\]. Xác định hệ thức sai:

A. \[\overrightarrow{EA'}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}\].

B. \[\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{FD'}+\overrightarrow{FB'}=\overrightarrow{0}\].

C. \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{AC'}\].

D. \[\overrightarrow{\text{EF}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC'}\].

Lời giải:

Gọi \[I,I'\] các giao điểm của các đường chéo ở 2 mặt đáy

\[AC'\] cắt các trung tuyến \[A'I\] của tam giác \[A'BD\] và trung tuyến \[CI'\] (của tam giác \[CB'D'\]) tại E và F

\[\frac{EI}{A'I}=\frac{IF}{FC}=\frac{1}{2}\Rightarrow E,F\] là trọng tâm tâm của tam giác \[A'BD;CB'D'\].A,B đúng

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AC'}\].C sai

\[AE=\text{EF=FC }\!\!'\!\!\text{ =}\frac{1}{3}AC'\Rightarrow \overrightarrow{\text{EF}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC'}\].D đúng

Đáp án cần chọn là: C

Câu 20: Cho khối tứ diên \[ABCD\], G là trọng tâm của tứ diện , A’ là trọng tâm tam giác \[BCD\]. M là 1 điểm tùy ý trong không gian. Chọn hệ thức đúng:

A. \[\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{GA'}\].

B. \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\].

C. \[\overrightarrow{AA'}=3\overrightarrow{AG}\].

D. \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}\].

Lời giải:

Gọi B’ là trọng tâm tam giác \[ACD\], hai trọng tuyến \[\text{AA}';BB'\] cắt nhau tại G

\[\Delta GA'B'\] đồng dạng \[\Delta GAB\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'M}{BM}=\frac{1}{3}\Rightarrow GA'=\frac{1}{3}GA\Rightarrow \overrightarrow{AA'}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AG}\]

Chỉ có C sai.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 21: Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); biết \[OH=4\], các góc hợp bởi \[\overrightarrow{Ox},\,\,\,\overrightarrow{Oz}\] với \[\overrightarrow{OH}\] bằng \[{{60}^{0}}\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) xác định bởi H và trục \[x'Ox\]:

A. \[y\,\,-\,\,z\,\,-\,\,2\,\,-\,\,2\sqrt{2}=\,\,0\]

B. \[y\,\,-\,\,\sqrt{2}\,z\,=\,\,0\]

C. \[y\,\,+\,\,\sqrt{2}\,z=\,\,0\]

D. \[y\,\,+\,\,z\,\,+\,\,2\,\,-\,\,2\sqrt{2}=\,\,0\]

Lời giải:

Cặp vecto chỉ phương của $\left( Q \right)$: $\overrightarrow{{{e}_{1}}}=\left( 1,0,0 \right),\overrightarrow{CH}=\left( 2,\pm \sqrt{2},2 \right)$

Pháp vecto của $\left( Q \right):\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{e}_{1}}},\overrightarrow{OH} \right]=2\left( 0,-1,\pm \sqrt{2} \right)$

$\Rightarrow \left( Q \right):\left( x-2 \right).0+\left( y\mp 2\sqrt{2} \right)\left( -1 \right)+\left( z-2 \right)\left( \pm \sqrt{2} \right)=0\Leftrightarrow y\mp \sqrt{2}z=0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 22:

A. $x+y-z-2=0$

B. $x-y+z-2=0$

C. $x-y-z-2=0$

D. $x+y+z-2=0$

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 23: Cho tam giác ABC có \[\overrightarrow{AB}=\left( \,4,\,\,-3,\,\,1\, \right);\,\,\,\overrightarrow{AC}=\left( \,2,\,\,-1,\,\,3\, \right)\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua \[N\left( \,1,\,\,-2,\,\,3\, \right)\] và song song với mặt phẳng (ABC):

A. \[5x\,\,+\,\,4y\,\,-\,\,z\,\,+\,\,9=\,\,0\]

B. \[5x\,\,-\,\,4y\,\,-\,\,z\,\,-\,\,9=\,\,0\]

C. \[4x\,\,-\,\,5y\,\,-\,\,z\,\,-\,\,9=\,\,0\]

D. \[4x\,\,+\,\,5y\,\,-\,\,z\,\,+\,\,9=\,\,0\]

Lời giải:

Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=-2\left( 4,5,-1 \right)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 24: Cho tam giác ABC có \[\overrightarrow{AB}=\left( \,4,\,\,-3,\,\,1\, \right);\,\,\,\overrightarrow{AC}=\left( \,2,\,\,-1,\,\,3\, \right)\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) vuông góc với trung tuyến AM tại trọng tâm G của tam giác ABC, biết \[A\left( \,-1,\,\,2,\,\,-2 \right).\]

A. \[9x\,\,-\,\,6y\,\,+\,\,6z\,\,-1=\,\,0\]

B. \[9x\,\,-\,\,6y\,\,-\,\,6z\,\,-1=\,\,0\]

C. \[3x\,\,-\,\,2y\,\,+\,\,2z\,\,-1=\,\,0\]

D. \[3x\,\,-\,\,2y\,\,-\,\,2z\,\,+1=\,\,0\]

Lời giải:

Pháp vecto của $\left( Q \right):\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)=\left( 3,-2,2 \right)$

Tọa độ trọng tâm G: $3\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AM}\Rightarrow G\left( 1,\frac{2}{3},-\frac{2}{3} \right)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 25: Cho tứ diện có \[A\left( \,-3,\,\,1,\,\,2\, \right);\,\,B\left( \,1,\,\,3,\,\,4\, \right);\,\,C\left( \,-5,\,\,7,\,\,6\, \right);\,\,D\left( \,-1,\,\,5,\,\,-2\, \right).\] Viết phương trình tổng quát của mặt phảng (P) chứa AB và song song với CD

A. \[12x\,\,-\,\,40y\,\,-\,\,16z\,\,+\,\,41=\,\,0\]

B. \[3x\,\,-\,\,10y\,\,-\,\,4z\,\,+\,\,11=\,\,0\]

C. \[12x\,\,+\,\,40y\,\,-\,\,16z\,\,+\,\,41=\,\,0\]

D. \[3x\,\,-\,\,10y\,\,+\,\,4z\,\,+\,\,11=\,\,0\]

Lời giải:

Cặp vecto chỉ phương của $\left( P \right):\overrightarrow{AB}=\left( 4,2,2 \right);\overrightarrow{CD}=\left( 4,-2,-8 \right)$

Pháp vecto của $\left( P \right):\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=-4\left( 3,-10,4 \right)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 26: Cho tứ diện có \[A\left( \,-3,\,\,1,\,\,2\, \right);\,\,B\left( \,1,\,\,3,\,\,4\, \right);\,\,C\left( \,-5,\,\,7,\,\,6\, \right);\,\,D\left( \,-1,\,\,5,\,\,-2\, \right).\] Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNE).

A. \[7x-10y-z-16=0\]

B. \[7x-10y-z+16=0\]

C. \[7x+10y+z-16=0\]

D. \[7x-10y+z-16=0\]

Lời giải:

$M\left( -1,2,3 \right);N\left( -4,4,4 \right);E\left( -2,3,0 \right)$

Cặp vecto chỉ phương của $\left( MNE \right):\overrightarrow{MN}=\left( -3,2,1 \right);\overrightarrow{ME}=\left( -1,1,-3 \right)$

Pháp vecto của $\left( MNE \right):\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{ME} \right]=\left( -7,-10,-1 \right)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( Q \right):2x-y+z+2=0;\,\,\,\,\,\,\left( R \right):x+y-z-3=0\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( S \right):x-3y+z-4=0\]

A. \[x+4y-z-4=0\]

B. \[x-4y-z+4=0\]

C. \[4x-y-z+4=0\]

D. \[4x+y-z-4=0\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 28: Ba mặt phẳng sau: \[\left( P \right):2x-y+3z-5=0;\,\,\,\,\left( Q \right):x+y+2z+9=0;\,\,\,\left( R \right):x+2y-3z+22=0\]

Có điểm chung A có tọa độ là:

A. \[\left( -3,8,1 \right)\]

B. \[\left( -3,-8,1 \right)\]

C. \[\left( 1,3,-8 \right)\]

D. \[\left( 1,-8,3 \right)\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 29: Mặt phẳng \[\left( P \right):2x+4y-3z-12=0\]:

A. Một pháp vector \[\vec{n}=\left( 6,12,-9 \right)\]

B. Qua điểm \[M\left( 3,0,-2 \right)\]

C. Một cặp vector chỉ phương \[\vec{a}=\left( 2,-1,0 \right);\,\,\,\,\vec{b}=\left( 3,0,2 \right)\]

D. Cả ba câu A, B và C.

Lời giải:

$\overrightarrow{n}=\left( 6,12,-9 \right)=3\left( 2,4,-2 \right)\Rightarrow $ A đúng

 $2.3+4.0-3\left( -2 \right)-12=0\Rightarrow \left( P \right)$ qua $M\left( 3,0,-2 \right)\Rightarrow $ B đúng

(P) cắt ba trục tọa độ tại $A\left( 6,0,0 \right);B\left( 3,0,0 \right);C\left( 0,0,-4 \right)$

$\Rightarrow $ Một cặp vecto chỉ phương của $\left( P \right):\overrightarrow{AB}=-3\left( 2,-1,0 \right),\,\,\overrightarrow{AC}=-2\left( 3,0,2 \right)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 30: Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x+3y-2z+4=0;\,\,\,\,\left( Q \right):2x-y+2z-3=0\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \[\left( R \right)\] chứa giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] và qua \[M\left( 1,2,0 \right).\]

A. \[10x-y+6z-8=0\]

B. \[10x+y-6z-8=0\]

C. \[5x-y+3z-4=0\]

D. \[5x+y-3z-4=0\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 31: Cho mặt phẳng \[\left( P \right)\] qua hai điểm \[A\left( 1,3,-2 \right);\,\,\,B\left( 2,-1,4 \right)\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( Q \right):3x-4y+z+1=0\]. Chọn câu đúng?

A. \[\left( P \right)\] có một vector pháp tuyến là \[\vec{n}=\left( 20,17,8 \right)\]

B. \[\left( P \right)\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( R \right):3x-4y+z-1=0\]

C. \[\left( P \right)\] có một vector chỉ phương là: \[\vec{a}=\left( -1,4,-6 \right)\]

D. Ba câu A, B và C đúng.

Lời giải:

(P) có cặp vecto chỉ phương là: $\overrightarrow{AB}=\left( 1,-4,6 \right);\,\,\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 3,-4,1 \right)$

Một vecto pháp tuyến của $\left( P \right):\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 20,17,8 \right)$

Một pháp vecto của $\left( R \right)$ là: $\overrightarrow{{{n}_{R}}}=\left( 3,-4,1 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}_{R}}}=60-68+8=0\Rightarrow \left( P \right)\bot \left( R \right)$

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=-20+68-28=0\Rightarrow $ $\overrightarrow{a}$ là một vecto chỉ phương của (P)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 32: Cho mặt phẳng (P) qua điểm \[M\left( 2,-4,1 \right)\] và chắn trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của (P) khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.

A. \[4x+2y-z-1=0\]

B. \[4x-2y+z+1=0\]

C. \[16x+4y-4z-1=0\]

D. \[4x+2y+z-1=0\]

Lời giải:

$a,\,b,\,c$ là cấp số nhân công bội $q=2$$\Rightarrow a,\,b=2a;c=4a;\,a\ne 0$

Phương trình của $\left( P \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{4a}=1\Leftrightarrow 4x+2y+z-4a=0$

$\left( P \right)$ qua $M\left( 2,-4,1 \right)\Rightarrow 8-8+1-4a=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \left( P \right):4x+2y+z-1=0$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 33: Cho mặt phẳng (P) qua điểm \[M\left( 2,-4,1 \right)\] và chắn trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của (P) biết đoạn chắn trên Ox bằng ba lần các doạn chắn trên Oy và Oz.

A. \[x-3y-3z+7=0\]

B. \[x+3y+3z-7=0\]

C. \[x+3y+3z+7=0\]

D. \[3x+y+z-7=0\]

Lời giải:

Ta có: $b=\frac{a}{3},c=\frac{a}{3}\Rightarrow \left( P \right):\frac{x}{a}+\frac{3y}{a}+\frac{3z}{a}=1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 34: Cho hai điểm \[A\left( 2,-3,4 \right);\,\,\,\,B\left( -1,4,3 \right)\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích O.MNE bằng \[\frac{3}{14}\] đvtt.

A. \[3x-7y+z\pm 3=0\]

B. \[3x-7y+z+3=0\]

C. \[3x-7y+z-3=0\]

D. \[3x-7y+z\pm 27=0\]

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của $\left( P \right):\overrightarrow{AB}=\left( -3,7,-1 \right)$

Phương trình $\left( P \right):3x-7y+z+D=0$

$\left( P \right)$ cắt 3 trục tọa độ tại $M\left( -\frac{D}{3},0,0 \right);\,\,N\left( 0,\frac{D}{7},0 \right);\,\,E\left( 0,0,-D \right)$

Thể tích hình chóp $O.MNE=\frac{1}{6}OM.ON.OE=\frac{1}{6}\left| \frac{D}{3}.\frac{D}{7}.D \right|$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 35: Cho tứ giác ABCD có \[A\left( 0,1,-1 \right);\,\,\,\,B\left( 1,1,2 \right);\,\,C\left( 1,-1,0 \right);\,\,\,\left( 0,0,1 \right)\]. Tính độ dài đường cao AH của hình chóp A. BCD.

A. \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]

B. \[\frac{3\sqrt{2}}{2}\]

C. \[2\sqrt{2}\]

D. \[3\sqrt{2}\]

Lời giải:

$\overrightarrow{BC}=\left( 0,-2,-2 \right);\,\overrightarrow{BD}=\left( -1,-1,-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=2\left( 0,1,-1 \right)$

Phương trình tổng quát của $\left( BCD \right)$: $\left( x-1 \right)0+\left( y-1 \right)+\left( z-2 \right)\left( -1 \right)=0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 36: Cho tứ giác ABCD có \[A\left( 0,1,-1 \right);\,\,\,\,B\left( 1,1,2 \right);\,\,C\left( 1,-1,0 \right);\,\,\,\left( 0,0,1 \right)\]. Tính cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng \[\left( ABC \right)\] và \[\left( ABD \right)\].

A. \[\frac{2\sqrt{154}}{77}\]

B. \[\frac{8\sqrt{154}}{77}\]

C. \[\frac{\sqrt{154}}{77}\]

D. \[\frac{4\sqrt{154}}{77}\]

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}=\left( 1,0,3 \right);\,\,\overrightarrow{AC}=\left( 1,-2,1 \right);\,\,\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=2\left( 3,1,-1 \right)$

$\overrightarrow{AD}=\left( 0,-1,2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right]=\left( 3,-2,-1 \right)$

Cosin của góc$\alpha $ của hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( ABD \right)$ là:

$\cos a=\frac{\left| 9-2+1 \right|}{\sqrt{11}.\sqrt{14}}=\frac{4\sqrt{154}}{77}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 37: Cho tứ giác ABCD có \[A\left( 0,1,-1 \right);\,\,\,\,B\left( 1,1,2 \right);\,\,C\left( 1,-1,0 \right);\,\,\,\left( 0,0,1 \right)\]. Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

A. \[15x-4y-5z-1=0\]

B. \[15x+4y-5z-1=0\]

C. \[15x+4y-5z+1=0\]

D. \[15x-4y+5z+1=0\]

Lời giải:

(P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số $-3$

$\overrightarrow{AB}=\left( 1,0,3 \right);\,\,\overrightarrow{AE}=\left( \frac{1}{4};-\frac{5}{4};\frac{7}{4} \right)=\frac{1}{4}\left( 1,-5,7 \right)$

Pháp vecto của $\left( P \right):\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE} \right]=\left( 15,-4,-5 \right)$

$\Rightarrow \left( P \right):\left( x-0 \right)15+\left( y-1 \right)\left( -4 \right)+\left( z+1 \right)\left( -5 \right)=0\Leftrightarrow 15x-4y-5z-1=0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 38: Cho tứ giác ABCD có \[A\left( 0,1,-1 \right);\,\,\,\,B\left( 1,1,2 \right);\,\,C\left( 1,-1,0 \right);\,\,\,\left( 0,0,1 \right)\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng \[\frac{1}{27}\].

A. \[3x-3z-4=0\]

B. \[y-z-1=0\]

C. \[y+z-4=0\]

D. \[4x+3z+4=0\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 39: Cho tứ giác ABCD có \[A\left( 0,1,-1 \right);\,\,\,\,B\left( 1,1,2 \right);\,\,C\left( 1,-1,0 \right);\,\,\,\left( 0,0,1 \right)\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \[\left( R \right)\] cứa AC và vuông góc với mặt phẳng (ABD).

A. \[x-y+z-2=0\]

B. \[x+y+z+2=0\]

C. \[x+y+z=0\]

D. \[x+y-z=0\]

Lời giải:

Một vecto chỉ phương của $\left( E \right)$ là: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}=\left( 1,-2,1 \right)$

$\overrightarrow{AB}=\left( 1,0,3 \right);\,\,\overrightarrow{AD}=\left( 0,-1,2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{b}_{R}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right]=\left( 3,-2,-1 \right)$

$\Rightarrow \,$Pháp vecto của $\left( R \right):\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{{{b}_{R}}} \right]=4\left( 1,1,1 \right)$

$\Rightarrow \left( R \right):\left( x-0 \right)1+\left( y-1 \right)+\left( z+1 \right)1=0\Leftrightarrow x+y+z=0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 40: Cho tứ giác ABCD có \[A\left( 0,1,-1 \right);\,\,\,\,B\left( 1,1,2 \right);\,\,C\left( 1,-1,0 \right);\,\,\,\left( 0,0,1 \right)\]. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C, D trên ba trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (HIK).

A. \[x-y+z+1=0\]

B. \[x-y+z-1=0\]

C. \[x+y+z-1=0\]

D. \[x+y+z+1=0\]

Lời giải:

$H\left( 1,0,0 \right);I\left( 0,-1,0 \right);K\left( 0,0,1 \right)$

$\Rightarrow \left( HIK \right):\frac{x}{1}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{1}=1\Leftrightarrow x-y+z-1=0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 41: Cho mặt phẳng \[\left( P \right):3x-4y+2z-5=0\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (yOz)

A. \[3x+4y-2z+5=0\]

B. \[3x+4y+2z+5=0\]

C. \[3x-4y-2z-5=0\]

D. \[3x+4y-2z-5=0\]

Lời giải:

Gọi $M'\left( -x,y,z \right)\in \left( Q \right)$ là điểm đối xứng của $M\left( x,y,z \right)\in \left( P \right)$ qua $\left( yOz \right)$

$\Rightarrow \left( Q \right):-3x-4y+2zz-5\Leftrightarrow 9Q:3x+4y-2z+5=0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 42: Cho mặt phẳng \[\left( P \right):3x-4y+2z-5=0\]. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) đối xứng với (P) qua điểm \[A\left( 3,-2,1 \right)\]

A. \[3x-4y+2z+43=0\]

B. \[3x-4y+2z+33=0\]

C. \[3x-4y+2z-43=0\]

D. \[3x-4y+2z-33=0\]

Lời giải:

Gọi $N\left( x,y,z \right)\in \left( R \right)$ là điểm đối xứng của $M\left( {{x}_{M}},{{y}_{M}},{{z}_{M}} \right)\in \left( P \right)$ qua điểm $A\left( 3,-2,1 \right):$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 43:

A. \[3x+4y+2z-5=0\]

B. \[3x-4y-2z+5=0\]

C. \[3x+4y-2z+5=0\]

D. \[3x+4y+2z+5=0\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 44: Cho mặt phẳng \[\left( P \right):3x-4y+2z-5=0\]. Tìm tập hợp các điểm cách (P) một đoạn bằng \[\sqrt{29}\]

A. \[3x-4y+2z-34=0\]

B. \[3x-4y+2z+34=0\]

C. \[3x-4y+2z-34=0\] hoặc \[3x-4y+2z+24=0\].

D. \[3x-4y+2z+34=0;\,\,\,3x-4y+2z-24=0\]

Lời giải:

$F\left( x,y,z \right)$ cách $\left( P \right)$ một đoạn bằng $\sqrt{29}$;

$d\left( E,P \right)=\frac{\left| 3x-4y+2z-5 \right|}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}$

Suy ra $3x-4y+2z-34=0$ hoặc $3x-4y+2z+24=0$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 45: Viết phương trình của mặt phẳng (P) cách gốc O một đoạn bằng 3 và các góc hợp bởi vector pháp tuyến lần lượt với 3 trục là \[{{60}^{o}},\,\,{{45}^{o}},\,\,{{60}^{o}}\].

A. \[x+\sqrt{2}y+z+6=0\]

B. \[x+\sqrt{2}y+z-6=0\]

C. \[x+\sqrt{2}y+z+3=0\]

D. \[\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2}y}{2}+\frac{z}{2}-3=0\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 46: Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua điểm \[H\left( \frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\] và vuông góc với OH.

A. \[x-y+\sqrt{2}z-2=0\]

B. \[\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{\sqrt{2}z}{2}-1=0\]

C. \[x-y+\sqrt{2}z+2=0\]

D. \[\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{\sqrt{2}z}{2}+1=0\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 47: Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi \[\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma \] lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là (\[OH=p\]):

A. \[x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\]

B. \[x\sin \alpha +y\sin \beta +z\sin \gamma -p=0\]

C. \[x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma +p=0\]

D. \[x\sin \alpha +y\sin \beta +z\sin \gamma +p=0\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 48: Cho điểm \[M\left( 1,-4,-2 \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x+y+5z-14=0\]. Tính khoảng cách từ \[M\] đến \[(P)\].

A. \[2\sqrt{3}\]

B. \[4\sqrt{3}\]

C. \[6\sqrt{3}\]

D. \[3\sqrt{3}\]

Lời giải:

$d\left( M,P \right)=\frac{\left| 1-4+5\left( -2 \right)-14 \right|}{\sqrt{1+1+25}}=\frac{27}{3\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 49: Cho điểm \[M\left( 1,-4,-2 \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x+y+5z-14=0\]. Tính tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên \[\left( P \right)\].

A. \[\left( 2,3,-3 \right)\]

B. \[\left( 2,-3,-3 \right)\]

C. \[\left( 2,3,-3 \right)\]

D. \[\left( 2,-3,3 \right)\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 50: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng \[\left( Q \right):2x-4y+4z+3=0\] và cách điểm \[A\left( 2,-3,4 \right)\] một khoảng bằng 3:

A. \[2x-4y+4z-14=0\]

B. \[2x-4y+4z-50=0\]

C. \[2x-4y+4z-14=0;\,\,\,\,2x-4y+4z-50=0\]

D. \[2x-4y+4+-14=0;\,\,\,\,2x-4y+4z-50=0\]

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C