Toptailieu.vn xin giới thiệu 50 bài tập trắc nghiệm Ôn tập cuối năm Hình học 12 (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 12 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Ôn tập cuối năm Hình học

Câu 1: Một hình chóp có 40 cạnh. Hình chóp đó có bao nhiêu mặt?

A. 20

B. 21

C. 22

D. 40

Lời giải:

Gọi hình chóp đã cho là hình chóp n – giác, khi đó số cạnh của hình chóp là 2n=40. Suy ra n=20 và do đó số mặt của hình chóp là n+1=21

Đáp án cần chọn là:B

Câu 2: Trong số các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Số cạnh của một hình đa diện luôn là một số chẵn

B. Số mặt của một hình đa diện luôn là một số chẵn

C. Số đỉnh của một hình lăng trụ luôn là một số chẵn

D. Số cạnh của một hình lăng trụ luôn là một số chẵn

Lời giải:

Hình lăng trụ tam giác có 9 cạnh nên mệnh đề A và D sai. Hình chóp tứ giác có 5 mặt nên mệnh đề B sai. Lăng trụ n-giác có 2n đỉnh nên đáp án đúng là C.

Đáp án cần chọn là:C

Câu 3: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Tồn tại các khối đa diện đều loại (3;4)

B. Tồn tại các khối đa diện đều loại (5;3)

C. Tồn tại các khối đa diện đều loại (3;5)

D. Tồn tại các khối đa diện đều loại (4;4)

Lời giải:

Trong bảng phân loại 5 khối đa diện đều ta không thấy có khối đa diện đều loại (4 ;4)

Đáp án cần chọn là:D

Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Trong một hình đa diện đều, số đỉnh luôn lớn hơn số mặt

B. Tồn tại một hình đa diện đều có số đỉnh bằng số mặt

C. Trong một hình đa diện đều, số đỉnh luôn bằng số mặt

D. Trong một hình đa diện đều, số đỉnh luôn nhỏ hơn số mặt

Lời giải:

Nhìn vào bảng phân loại 5 hình đa diện đều ta có đáp án đúng là B

Đáp án cần chọn là:B

Câu 5: Hình nón có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là một tam giác vuông và có diện tích xung quanh là √2 . Độ dài đường cao của hình nón là :

A. √2

B. 1

C. 1/√2

D. 2

Lời giải:

Từ giả thiết ta có : 2α = 90^o => α = 45^o => h = r; l = r√2

Diện tích xung quanh của hình nón là : S_xq = πrl = πr²√2 = π√2 => r = 1 => h = 1

Đáp án cần chọn là:B

Câu 6: Cho hình trụ có thể tích bằng 2π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Diện tích xung quanh của khối trụ là:

A. π

B. 2π

C. 4π/3

D. 4π

Lời giải:

Từ giả thiết ta có : h = 2r; V = πr²h = 2π => r = 1, h = 2 => S_xq = 2πrh = 4π

Đáp án cần chọn là:D

Câu 7: Trong không gian $Oxyz$, các vectơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt là $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, cho điểm $M\left( 3;-4;12 \right)$? Mệnh đề nào sau đây đúng? .

A. $\overrightarrow{OM}=3\vec{i}-4\vec{j}+12\vec{k}$.

B. $\overrightarrow{OM}=3\vec{i}+4\vec{j}+12\vec{k}$.

C. $\overrightarrow{OM}=-3\vec{i}-4\vec{j}+12\vec{k}$.

D. $\overrightarrow{OM}=-3\vec{i}+4\vec{j}-12\vec{k}$.

Lời giải:

Dựa trên lý thuyết SGK.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8: Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $A\left( 3;1;2 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $x+y+3z+5=0$ có phương trình là  

A. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$.

B. $\frac{x+1}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+3}{2}$.

C. $\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{2}$.

D. $\frac{x+3}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+2}{3}$.

Lời giải:

Mặt phẳng $x+y+3z+5=0$ có VTPT là $\left( 1;1;3 \right)$. .

Đường thẳng đi qua điểm $A\left( 3;1;2 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $x+y+3z+5=0$ có VTCP là $\left( 1;1;3 \right)$ nên có phương trình là $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9: Trong không gian $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{-5}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$ là

A. $\vec{n}=\left( -2;-10;20 \right)$.

B. $\vec{n}=\left( -5;1;-2 \right)$.

C. $\vec{n}=\left( 2;-10;5 \right)$.

D. $\vec{n}=\left( -\frac{1}{5};-1;-\frac{1}{2} \right)$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\frac{x}{-5}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$ có vectơ pháp tuyến là ${{\vec{n}}_{1}}=\left( -\frac{1}{5};1;-\frac{1}{2} \right)$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=-10{{\vec{n}}_{1}}=\left( 2;-10;5 \right)$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10: Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi các đường $x=0$, $x=\pi$, $y=0$ và $y=-\cos x$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ được tính theo công thức:

A. $V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{2}}x\text{d}x}$.

B. $V=\pi \left| \int\limits_{0}^{\pi }{\left( -\cos x \right)\text{d}x} \right|$.

C. $V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\left| \cos x \right|\text{d}x}$.

D. $V=\int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{2}}x\text{d}x}$.

Lời giải:

Ta có thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ được tính theo công thức $V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{2}}x\text{d}x}$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( 1;2;3 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left( 2;-1;-2 \right)$.

A.$\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}$.

B.$\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{-2}$.           

C.$\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$.

D.$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-2}$.

Lời giải:

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;3;5 \right)$. Tìm tọa độ điểm ${A}'$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Oy$.

A. ${A}'\left( 2;0;0 \right)$.

B. ${A}'\left( 0;3;0 \right)$.

C. ${A}'\left( 2;0;5 \right)$.

D. ${A}'\left( 0;3;5 \right)$.

Lời giải:

Hình chiếu vuông góc của $A\left( 2;3;5 \right)$ lên trục $Oy$ là điểm ${A}'\left( 0;3;0 \right)$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13: Trong không gian$oxyz$, cho điểm $A\left( 1;-4;-3 \right)$và $\overrightarrow{n}=\left( -2;5;2 \right)$Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( -2;5;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

A. $-2x+5y+2z+28=0$.

B. $-2x+5y+2z+28=0$.

C. $x-4y-3z+28=0$.

D. $x-4y-3z-28=0$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;\,-4;\,-3 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( -2;\,5;\,2 \right)$ có phương trình là: $-2\left( x-1 \right)+5\left( y+4 \right)+2\left( z+3 \right)=0\Leftrightarrow -2x+5y+2z+28=0$.

Đáp án cần chọn là:A

Câu 14: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\,:\,\frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}$. Đường thẳng đi qua điểm $M\left( 2\,;\,1\,;\,-1 \right)$ và song song với đường thẳng $d$ có phương trình là

A. $\frac{x+2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}$.

B. $\frac{x}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+3}{1}$.                 

C. $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-1}$.

D. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$.

Lời giải:

Dễ thấy chỉ có đáp án $\text{A}$, $\text{B}$ có thể thỏa đề bài.

Mặt khác, tọa độ điểm $M\left( 2\,;\,1\,;\,-1 \right)$ thỏa phương trình $\frac{x}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+3}{1}$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15: Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={{e}^{2x}}$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ được biểu diễn bởi $\frac{{{e}^{a}}-b}{c}$ với $a$, $b$, $c$ $\in \mathbb{Z}$. Tính $P=a+3b-c$.

A. $P=-1$.

B. $P=3$.

C. $P=5$.

D. $P=6$.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;1 \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+7=0$ theo một đường tròn có đường kính bằng $8$. Phương trình mặt cầu là

A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=81$.

B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5$.

C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$.

D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$.

Lời giải:

Khoảng cách từ tâm $I$ đến $\left( P \right)$ là $d=$ $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-1.2+2.1+7 \right|}{3}=3$, bán kính của đường tròn giao tuyến là $r=\frac{8}{2}=4$ .

$R=\sqrt{{{d}^{2}}+{{r}^{2}}}=5$, suy ra $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z}{-2}$ và $\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{-1}$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng $OM.$

A. $OM=\frac{\sqrt{14}}{2}$.

B. $OM=\sqrt{5}$.

C. $OM=2\sqrt{35}$.

D. $OM=\sqrt{35}$.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 18: Gọi $S$là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-{{3}^{x}},y=0$, $x=0,x=4$. Mệnh đề nào sau đây đúng

A. $S=\int\limits_{0}^{4}{\left( -{{3}^{x}} \right)dx}$

B. $S=\pi \int\limits_{0}^{4}{{{3}^{x}}dx}$.

C. $S=\int\limits_{0}^{4}{{{3}^{x}}dx}$.

D. $S=\pi \int\limits_{0}^{4}{{{3}^{2x}}dx}$.

Lời giải:

Ta có $S=\int\limits_{0}^{4}{\left| -{{3}^{x}} \right|dx=\int\limits_{0}^{4}{{{3}^{x}}dx}}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 19: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x-6y-4z+7=0$ và ba điểm $A\left( 2;4;-1 \right),B\left( 1;4;-1 \right),C\left( 2;4;3 \right)$. Gọi $S$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $SA=SB=SC$. Tính $l=SA+SB$

A. $l=\sqrt{117}$ .

B. $l=\sqrt{37}$

C. $l=\sqrt{53}$.

D. $l=\sqrt{101}$.

Lời giải:

Gọi $S\left( x;y;z \right)$

Vì $S\in \left( P \right)$ nên có phương trình $2x-6y-4z+7=0$

Có $SA=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}}$

$SB=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}}$

$SC=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}}$

Vì $SA=SB=SC$ nên ta có hệ phương trình

Suy ra $SA=\frac{\sqrt{53}}{2};SB=\frac{\sqrt{53}}{2}$. Suy ra $l=\sqrt{53}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Câu 20: Trong không gian $Oxyz$, tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y+2z-3=0$ là

A. $I\left( 2;-1;-1 \right)$ và $R=9$.

B. $I\left( -2;1;1 \right)$ và $R=3$.

C. $I\left( 2;-1;-1 \right)$ và $R=3$.

D. $I\left( -2;1;1 \right)$ và $R=9$.

Lời giải:

$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y+2z-3=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$.

Vậy $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;-1;-1 \right)$ và bán kính $R=3$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 21: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-4$ và các đường thẳng $y=0$, $x=-1$, $x=5$ bằng

A. $36$.

B. $18$.

C. $\frac{65}{3}$.

D. $\frac{49}{3}$.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính bằng

$S=\int\limits_{-1}^{5}{\left| {{x}^{2}}-4 \right|\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-4 \right|\text{d}x}+\int\limits_{2}^{5}{\left| {{x}^{2}}-4 \right|\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}+\int\limits_{2}^{5}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\text{d}x}$

$=\left. \left( 4x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{-1}^{2}+\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-4x \right) \right|_{2}^{5}=36$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 0;0;1 \right)$, $B\left( 0;2;0 \right)$, $C\left( 3;0;0 \right)$. Gọi $H\left( x;y;z \right)$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Giá trị của $x+2y+z$ bằng

A. $\frac{66}{49}$.

B. $\frac{36}{29}$.

C. $\frac{74}{49}$.

D. $\frac{12}{7}$.

Lời giải:

Do $OABC$ là tam diện vuông đỉnh $O$ nên trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ là hình chiếu của $O$ trên $\left( ABC \right)$.

Ta có: $\left( ABC \right):\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-6=0$.

Đường thẳng $OH$ có phương trình: $\frac{x}{6}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$.

Gọi $H\left( 6t;3t;2t \right)$. Do $H\in \left( ABC \right)$ nên $36t+9t+4t-6=0\Leftrightarrow t=\frac{6}{49}$. Vậy $H\left( \frac{36}{49};\frac{18}{49};\frac{12}{49} \right)$.

Vậy $x+2y+z=\frac{12}{7}$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 23: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $3x+4y-12z+5=0$ và điểm $A\left( 2;4;-1 \right)$. Trên mặt phẳng $\left( P \right)$ lấy điểm $M$. Gọi $B$ là điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}$. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$.

A. $d=6$.

B. $d=\frac{30}{13}$.

C. $d=\frac{66}{13}$.

D. $d=9$.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 24: 

A. $y+z-4=0$.

B. $y-z-1=0$.

C. $-y+z-4=0$.

D. $3x-3z-4=0$.

Lời giải:

Ta lại có: $\overrightarrow{BC}=\left( 0;-2;-2 \right)$, $\overrightarrow{BD}=\left( -1;-1;-1 \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]$$=\left( 0;2;-2 \right)$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25: Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$, $y=0$, $x=0$, $x=1$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $\left( H \right)$ quay quanh trục hoành.

A. $V=\pi \ln 3$.

B. $V=\frac{1}{2}\ln 3$.

C. $V=\pi \ln 2$.

D. $V=\frac{\pi }{2}\ln 3$.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 26: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2z-24=0$ và điểm $K\left( 3;0;3 \right)$. viết phương trình mặt phẳng chứa tất cả các tiếp tuyến vẽ từ $K$ đến mặt cầu. 

A. $2x+2y+z-4=0$.

B. $6x+6y+3z-8=0$.

C. $3x+4z-21=0$.

D. $6x+6y+3z-3=0$.

Lời giải:

Ta có :mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;0;-1 \right)$ bán kính $R=5\Rightarrow IK=5$ nên điểm K thuộc mặt cầu.

Nên mặt phẳng$\left( P \right)$ chứa tất cả các tiếp tuyến vẽ từ $K$ đến mặt cầu là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $K$ .$\left( P \right)\bot IK\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{P}}=\overrightarrow{IK}=\left( 3;0;4 \right)$ .

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $K$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 3;0;4 \right)$ là $3x+4z-21=0$ .

Lưu ý : Đề gốc là $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2z-24=0$và điểm $K\left( 3;0;3 \right)$. Ta có \[IK

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27: Trong không gian $Oxyz$ biết vector $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng đi qua điểm $A\left( 2;1;5 \right)$ và chứa trục $Ox$ . Khi đó tính $k=\frac{b}{c}$ .  

A. $k=5$.

B. $k=-\frac{1}{5}$.

C. $k=-5$

D. $k=\frac{1}{5}$.

Lời giải:

Ta có vector chỉ phương của trục $Ox$ là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right),\overrightarrow{OA}=\left( 2;1;5 \right)$ .

vector pháp tuyến của mặt phẳng đi qua điểm$A\left( 2;1;5 \right)$và chứa trục$Ox$là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i},\overrightarrow{OA} \right]=\left( 0;-5;1 \right)\Rightarrow k=-5$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 28: Cho phương trình ${{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0$ (với phân số $\frac{c}{d}$ tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi $A,\,B$ là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng $Oxy$ . Biết tam giác $OAB$ đều (với $O$ là gốc tọa độ), tính $P=c+2d$ .

A. $P=18$.

B. $P=-10$.

C. $P=-14$.

D. $P=22$.

Lời giải:

Ta có phương trình ${{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0$ luôn có hai nghiệm phức là ${{z}_{1}}=a+bi;{{z}_{2}}=a-bi$ có điểm biểu diễn lần lượt là $A\left( a;b \right);B\left( a;-b \right)$

Theo định lý Viet ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2a=4\Rightarrow a=2.$Mặt khác tam giác $OAB$ đều nên $AB=OA\Leftrightarrow \left| 2b \right|=\sqrt{4+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow b=\frac{\pm 2}{\sqrt{3}}$, từ đó ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=\left( 2+\frac{2}{\sqrt{3}}i \right)\left( 2-\frac{2}{\sqrt{3}}i \right)=\frac{16}{3}\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{16}{3}$. Vậy $c=16,d=3\Rightarrow c+2d=22$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 29: Trong không gian $\text{Ox}yz$, tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$, biết $A\left( 2;0;0 \right),\ B\left( 0;3;0 \right)$, $C\left( 0;0;4 \right)$.

A. $S=\frac{\sqrt{61}}{3}$.

B. $S=\frac{\sqrt{61}}{2}$.

C. $S=2\sqrt{61}$.

D. $S=\sqrt{61}$.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 30: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số$y={{x}^{3}}-x$ và đồ thị hàm số $y=x-{{x}^{2}}$

A. $S=13$.

B. $S=\frac{9}{4}$.

C. $S=\frac{81}{12}$.

D. $S=\frac{37}{12}$.

Lời giải:

Vậy $S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}-x-x+{{x}^{2}} \right|\text{d}x}$$=\int_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)\text{d}x-\int_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)\text{d}x}}$

$=\left. \left( \frac{1}{4}{{x}^{4}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right) \right|_{-2}^{0}-\left. \left( \frac{1}{4}{{x}^{4}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{37}{12}$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 31: Trong không gian $Oxyz$,viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left( 1;4;4 \right)$ và $B\left( -1;0;2 \right)$

A. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z+2}{-2}$.

B. $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}$.

C. $\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{-4}=\frac{z+2}{-2}$.

D. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{2}$.

Lời giải:

Do $\Delta$ qua 2 điểm $A,B$ nên có VTCP $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-4;-2 \right)=-2\left( 1;2;1 \right)$.

$\Delta$ đi qua $I\left( 0;2;3 \right)$là trung điểm của  $AB$có phương trình là $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 32: Cho hai hàm số $y=g(x)$ và $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;c \right]$ có đồ thị như hình vẽ.

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên được tính theo công thức:

A. $S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ g(x)-f(x) \right]\text{d}x+\int\limits_{b}^{c}{\left[ f(x)-g(x) \right]\text{d}x}}$.

B. $S=\int\limits_{a}^{c}{\left[ f(x)-g(x) \right]\text{d}x}$.                                    

C. $S=\left| \int\limits_{a}^{c}{\left[ f(x)-g(x) \right]\text{d}x} \right|$.

D. $S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ f(x)-g(x) \right]\text{d}x-\int\limits_{b}^{c}{\left[ f(x)-g(x) \right]\text{d}x}}$

Lời giải:

$S=\int\limits_{a}^{c}{\left| f(x)-g(x) \right|\text{d}x}$$=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x)-g(x) \right|\text{d}x+\int\limits_{b}^{c}{\left| f(x)-g(x) \right|\text{d}x}}$$=\int\limits_{a}^{b}{\left[ f(x)-g(x) \right]\text{d}x-\int\limits_{b}^{c}{\left[ f(x)-g(x) \right]\text{d}x}}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 33: Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x\ln x$, trục hoành và đường thẳng $x=e$. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được viết dưới dạng $\frac{\pi }{a}\left( b.{{e}^{3}}-2 \right)$ với $a,b$ là hai số nguyên. Tính giá trị biểu thức $T=a-{{b}^{2}}$.

A. $T=-9$.

B. $T=-1$

C. $T=2$.

D. $T=-12$

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành bằng $\pi \int\limits_{1}^{e}{{{\left( x\ln x \right)}^{2}}d\text{x}}=\left( 5{{e}^{3}}-2 \right)\frac{\pi }{27}$.

Vậy $a=27,b=5$ nên $T=a-{{b}^{2}}=27-25=2$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 34: Trong không gian $Oxyz$, vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$ có tọa độ là

A. $\left( 2\,;\,1\,;\,-3 \right)$.

B. $\left( -2\,;\,-1\,;3 \right)$.

C. $\left( -2\,;\,0\,;3 \right)$.

D. $\left( 2\,;\,0\,;-3 \right)$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$ suy ra $\overrightarrow{u}=2\left( 1\,;\,0\,;0\, \right)+\left( 0\,;\,1\,;\,0 \right)-3\left( 0\,;\,0\,;\,1 \right)=\left( 2\,;\,1\,;\,-3 \right)$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 35: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ?

A. $\left( {{P}_{3}} \right):2x+y-z=0$.

B. $\left( {{P}_{1}} \right):2x+y-3=0$.

C. $\left( {{P}_{4}} \right):y-z-1=0$.

D. $\left( {{P}_{2}} \right):x-z+3=0$.

Lời giải:

Thay tọa độ $O\left( 0;0;0 \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( {{P}_{3}} \right):2x+y-z=0$ ta được: $2.0+0-0=0$.

Vậy $\left( {{P}_{3}} \right):2x+y-z=0$ đi qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 36: Trong không gian $Oxyz$, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left( 2;0;-1 \right)$ và $\overrightarrow{b}=\left( -3;1;0 \right)$ bằng

A. $-1$.

B. $-4$.

C. $-5$.

D. $-6$.

Lời giải:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.\left( -3 \right)+0.1+\left( -1 \right).0=-6$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho cho hai điểm$A\left( 1\,;\,2\,;\,2 \right)$ và $B\left( 3\,;\,1\,;\,0 \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A. $\left( -4\,;\,-3\,;\,-2 \right)$.

B. $\left( 2\,;\,-1\,;\,-2 \right)$.

C. $\left( -2\,;\,1\,;\,2 \right)$.

D. $\left( 4\,;\,3\,;\,2 \right)$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2\,;-1\,;\,-2 \right)$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 38: Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4$ có bán kính bằng

A. $4$.

B. $2$.

C. $16$.

D. $\sqrt{2}$

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4$, suy ra bán kính $R=\sqrt{4}=2$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 39: Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x-y+2z-3=0$ có một vectơ chỉ phương là

A. ${{\overrightarrow{u}}_{3}}=\left( 0\,;\,-1;\,2 \right)$.

B. ${{\overrightarrow{u}}_{_{4}}}=\left( 1\,;\,2;\,-3 \right)$.

C. ${{\overrightarrow{u}}_{_{2}}}=\left( -1\,;\,2;\,-3 \right)$.

D. ${{\overrightarrow{u}}_{_{1}}}=\left( 1\,;\,-1;\,2 \right)$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x-y+2z-3=0$ có VTPT là ${{\overrightarrow{n}}_{_{P}}}=\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)$.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ suy ra VTCP của đường thẳng cùng phương với VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ hay $\overrightarrow{u}=k{{\overrightarrow{n}}_{_{P}}}=k\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)$.

Chọn $k=1$ suy ra ta có một VTCP của đường thẳng là ${{\overrightarrow{u}}_{_{1}}}=\left( 1\,;\,-1;\,2 \right)$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 40: Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left( 3;\,-1;\,1 \right)$ và mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có phương trình $x+2y-2z-5=0$. Chiều cao $AH$ của tứ diện $ABCD$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.

B. $2$.

C. $\frac{1}{3}$.

D. $\frac{6\sqrt{11}}{11}$.

Lời giải:

Chiều cao của tứ diện $ABCD$ là khoảng cách từ $A$ đến $\left( BCD \right)$.

Khi đó ta có $AH=\text{d}\left( A,\left( BCD \right) \right)=\frac{\left| 3+2.\left( -1 \right)-2.1-5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=2$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 41: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( 2;\,1;\,0 \right)$ và $N\left( 1;\,2;\,-2 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $MN$ tại điểm $N$ có phương trình

A. $x-y+2z-1=0$.

B. $3x+3y-2z-13=0$.

C. $3x+3y-2z-9=0$.

D. $x-y+2z+5=0$.

Lời giải:

w Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( -1;\,1;\,-2 \right)$.

w Do $MN\bot \left( P \right)$ nên ta chọn $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=-\overrightarrow{MN}=\left( 1;\,-1;\,2 \right)$.

Suy ra phương trình $\left( P \right)$ là $x-1-\left( y-2 \right)+2\left( z+2 \right)=0\Leftrightarrow x-y+2z+5=0$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 42:  Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$, $x=2$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục hoành có thể tích bằng

A.$\frac{\pi }{2}\ln \frac{5}{3}$.

B. $\frac{1}{2}\ln \frac{5}{3}$.

C. $\pi \ln \frac{5}{3}$.

D. _{$\pi \ln 15$}.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{2x+1}\text{d}x}=\left. \frac{\pi }{2}\ln \left| 2x+1 \right| \right|_{1}^{2}=\frac{\pi }{2}\ln \frac{5}{3}$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 43: Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 1;\,0;\,2 \right),\,B\left( 4;\,1;\,0 \right)$ có phương trình tham số là

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 3;\,1;\,-2 \right)$.

Phương trình đường thẳng $AB$đi qua điểm $A$ và nhận véctơ $\overrightarrow{AB}=\left( 3;\,1;\,-2 \right)$ là véctơ chỉ phương

Đáp án cần chọn là: C

Câu 44: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):2x+y-z=0$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ với $b>0,c>0$ sao cho thể tích khối tứ diện $O.ABC$ bằng $3$. Giá trị $b-c$ bằng

A. $-6$.

B. $-9$.

C. $9$.

D. $6$.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 45: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1\,;\,-2\,;\,3 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB=4$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:

A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=10$.

B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=6$.

C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8$.       

D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=14$.

Lời giải:

w Gọi $H$ là hình chiếu của tâm $I$ lên trục $Oy$: $H\left( 0;-2;0 \right)$ Þ $I{{H}^{2}}=10$.

w Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{R}^{2}}=A{{H}^{2}}+I{{H}^{2}}={{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}+I{{H}^{2}}=14$.

w Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: $\left( S \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=14$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 46:  Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $2x-y-2z-1=0$; điểm $A\left( 5\,;\,-1\,;\,-4 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( a\,;\,b\,;\,c \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r=2$. Biết rằng mọi điểm $M$ thuộc $\left( C \right)$ thì $AM$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$. Giá trị của $a+b+c$ bằng:

A. $3$.

B. $-3$.

C. $-\frac{20}{9}$.

D. $\frac{20}{9}$.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 47:  Đường thẳng $\left( D \right):\frac{x-1}{2}=1-y=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-4z-23=0$:

A. Song song

B. Vuông góc

C. Cắt nhau

D. (D) chứa trong (P)

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 48: 

A. Cắt nhau

B. Vuông góc

C. Song song

D. Chéo nhau

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 49:  Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau song song?

A. 0

B. 2

C. m ≠ 0, m ≠ 2

D. 6

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 50:  Với giá trị nào của a thì đường thẳng $\left( D \right):3x-2y+z+3=0;\,\,\,\,4x-3y+4z+2=0$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+\left( a+3 \right)z-2=0$

A. 5

B. -5

C. -3

D. 3

Lời giải: