Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Top 30 Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 (Cánh diều 2024) có đáp án gồm các đề thi được tuyển chọn và tổng hợp từ các đề thi môn Toán THPT trên cả nước có hướng dẫn giải chi tiết giúp học sinh làm quen với các dạng đề, ôn luyện để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời các bạn đón xem:

Top 30 Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 (Cánh diều 2024) có đáp án

Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 Cánh diều (Có đáp án) - Đề số 01

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (5,0 điểm): Giải các bất phương trình sau:

a) ${\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{5-x^2}}\ge 0$   

b) ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}<0$     

c) ${\left(\left|x-3\right|-1\right)}^2>x^2$

Câu 2 (1,5 điểm): Tìm $m$ để bất phương trình $x^2-2\left(m-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)x-m+{\displaystyle \frac{20}{3}}\ge 0$ có nghiệm tùy ý.

Câu 3 (2,0 điểm): Giải hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2-3x}{4x-1}}\le 0\\ {\left(x+1\right)}^2-16>0\end{array}$.

Câu 4 (1,5 điểm): Tìm $m$ để phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x+2=0$ có nghiệm âm.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD) - Bất phương trình

Phương pháp:

a) Tìm ĐKXĐ. Lập bảng xét dấu để tìm tập nghiệm của bất phương trình.

b) Quy đồng và áp dụng: Nếu ${\displaystyle \frac{a}{b}}<0$ và $a>0$ thì $b<0$.

c) Phá dấu giá trị tuyệt đối, giải các bất phương trình nhận được và kết luận tập nhiệm: $\left|a\right|=\{\begin{array}{l}a\mathrm{khi}a\ge 0\\ -a\mathrm{khi}a<0\end{array}$

Cách giải:

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{5-x^2}}\ge 0$

${\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{5-x^2}}\ge 0$

ĐKXĐ: $5-x^2\ne 0\iff x\ne \pm \sqrt{5}$

Ta có bảng xét dấu:

Để ${\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{5-x^2}}\ge 0$ thì $x\in \left(-\sqrt{5};2\right]\cup \left(\sqrt{5};3\right]$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-\sqrt{5};2\right]\cup \left(\sqrt{5};3\right]$.

b) ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}<0$

${\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}<0$                                                      ĐKXĐ: $x\ne 1;x\ne 2$

$\begin{array}{l}\iff {\displaystyle \frac{\left(x-1\right)-\left(x-2\right)}{\left(x-1\right).\left(x-2\right)}}<0\\ \iff {\displaystyle \frac{x-1-x+2}{\left(x-1\right).\left(x-2\right)}}<0\\ \iff {\displaystyle \frac{1}{\left(x-1\right).\left(x-2\right)}}<0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \left(x-1\right).\left(x-2\right)<0\left(\mathrm{v}ì1>0\right)\\ \iff 1<x<2\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(1;2\right)$.

c) ${\left(\left|x-3\right|-1\right)}^2>x^2$

TH1: $x-3\ge 0\iff x\ge 3$

Bất phương trình $\iff {\left(x-4\right)}^2>x^2$

$\iff x^2-8x+16>x^2$

$\iff -8x+16>0$

$\iff x<2$

Mà $x\ge 3\Rightarrow x\in \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}$.

TH2: $x-3<0\iff x<3$

Bất phương trình $\iff {\left(2-x\right)}^2>x^2$

$\iff 4-4x+x^2>x^2$

$\iff 4-4x>0$

$\iff x<1$

Mà $x<3\Rightarrow x<1$.

Kết hợp cả hai trường hợp ta được tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\mathrm{\infty };1\right)$

Câu 2 (VD) - Bất phương trình

Phương pháp:

Áp dụng: $f\left(x\right)=a^{2}x+bx+c\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$

Cách giải:

Tìm $m$ để bất phương trình $x^2-2\left(m-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)x-m+{\displaystyle \frac{20}{3}}\ge 0$ có nghiệm tùy ý.

Bất phương trình $x^2-2\left(m-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)x-m+{\displaystyle \frac{20}{3}}\ge 0$ có nghiệm tùy ý khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$.

+) $a=1>0$ luôn đúng

+) $\mathrm{\Delta }\le 0$

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\le 0\iff 4{\left(m-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-m+{\displaystyle \frac{20}{3}}\right)\le 0\\ \iff 4\left(m^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}m+{\displaystyle \frac{4}{9}}\right)+4m-{\displaystyle \frac{80}{3}}\le 0\\ \iff 4m^2-{\displaystyle \frac{16}{3}}m+{\displaystyle \frac{16}{9}}+4m-{\displaystyle \frac{80}{3}}\le 0\\ \iff 4m^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}m-{\displaystyle \frac{224}{9}}\le 0\\ \iff -{\displaystyle \frac{7}{3}}\le m\le {\displaystyle \frac{8}{3}}\end{array}$

Vậy $-{\displaystyle \frac{7}{3}}\le m\le {\displaystyle \frac{8}{3}}$.

Câu 3 (VD) - Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Phương pháp:

Giải từng bất phương trình sau đó kết hợp nghiệm.

Cách giải:

Giải hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2-3x}{4x-1}}\le 0\\ {\left(x+1\right)}^2-16>0\end{array}$.

 $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2-3x}{4x-1}}\le 0\\ {\left(x+1\right)}^2-16>0\end{array}$  

ĐKXĐ: $4x-1\ne 0\iff x\ne {\displaystyle \frac{1}{4}}$

$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2-3x}{4x-1}}\le 0\\ x^2+2x+1-16>0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2-3x}{4x-1}}\le 0\\ x^2+2x-15>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2-3x\ge 0\\ 4x-1<0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}2-3x\le 0\\ 4x-1>0\end{array}\end{array}\\ [\begin{array}{l}x<-5\\ x>3\end{array}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x<{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ x\ge {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ [\begin{array}{l}x<-5\\ x>3\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<-5\\ x>3\end{array}$

Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-\mathrm{\infty };-5\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Câu 4 (VDC) - Phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xác định điều kiện của $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu và hai nghiệm âm.

Cách giải:

Tìm $m$ để phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x+2=0\left(1\right)$ có nghiệm âm.

+) $m=0$: PT $\left(1\right)$ trở thành: $-2x+2=0$$\iff x=1>0$ (không thỏa mãn)

+) $m\ne 0$

$\mathrm{\Delta }=4{\left(m+1\right)}^2-4.m.2$$=4m^2+4>0$ với mọi $m$
$\Rightarrow$ Phương trình $\left(1\right)$ có hai nghiệm phân biệt với $m\ne 0$.

PT $\left(1\right)$ có $1$ nghiệm âm $\iff$PT $\left(1\right)$ có hai nghiệm trái dấu $\iff$$ac<0\iff 2m<0$$\iff m<0$.

PT $\left(1\right)$ có $2$ nghiệm âm $\iff \{\begin{array}{l}P>0\\ S<0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2}{m}}>0\\ {\displaystyle \frac{2\left(m+1\right)}{m}}<0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}m>0\\ -1<m<0\end{array}\left(ktm\right)$

Vậy $m<0$ thì phương trình $\left(1\right)$ có  nghiệm âm.

Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 Cánh diều (Có đáp án) - Đề số 02

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (4,0 điểm): Giải các bất phương trình sau:

a) $x\left(2x-3\right)\le -3x\left(x-1\right)-1$

b) ${\displaystyle \frac{1}{2x-1}}\ge {\displaystyle \frac{4}{x-3}}$

c) $\sqrt{x^2-2x-3}>2x-3$ 

d) $\left|x^2+3x+2\right|<-x+2$

Câu 2 (1,5 điểm): Cho hàm số $y=f\left(x\right)=2x^2-mx+3m-2$ và $y=g\left(x\right)=m{x}^2-2x+4m-5$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Câu 3 (1,5 điểm): Cho tam giác $ABC$ với $AB=3,AC=7,BC=8$. Hãy tính diện tích tam giác và các bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác $ABC$.

Câu 4 (2,5 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left(-1;2\right)$,$B\left(3;1\right)$ và đường thẳng $\left(d\right):\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}$ ($t$ là tham số)

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $\left(d\right)$.

b) Tìm tọa độ điểm $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $\left(d\right)$.

c) Tìm tọa độ điểm $M$ trên $\left(d\right)$ sao cho $M$ cách $B$ một khoảng bằng $\sqrt{5}$.

Câu 5 (0,5 điểm): Giải phương trình $4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}=4x^2+3x+3$.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD) - Bất phương trình

Phương pháp:

a) Đưa về phương trình bậc hai và lập bảng xét dấu.

b) Tìm ĐKXĐ. Quy đồng sau đó lập bảng xét dấu.

c) Áp dụng $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)<0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)>g^2\left(x\right)\end{array}\end{array}$

d) Áp dụng $\left|f\left(x\right)\right|\le a$$\iff -a\le f\left(x\right)\le a$

Cách giải:

Giải các bất phương trình sau:

a) $x\left(2x-3\right)\le -3x\left(x-1\right)-1$

$\begin{array}{l}x\left(2x-3\right)\le -3x\left(x-1\right)-1\\ \iff 2x^2-3x\le -3x^2+3x-1\\ \iff 2x^2-3x+3x^2-3x+1\le 0\\ \iff 5x^2-6x+1\le 0\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[{\displaystyle \frac{1}{5}};1\right]$.

b) ${\displaystyle \frac{1}{2x-1}}\ge {\displaystyle \frac{4}{x-3}}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2x-1}}\ge {\displaystyle \frac{4}{x-3}}\\ \iff {\displaystyle \frac{1}{2x-1}}\ge {\displaystyle \frac{4}{x-3}}\\ \iff {\displaystyle \frac{1}{2x-1}}-{\displaystyle \frac{4}{x-3}}\ge 0\end{array}$                                                  ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}2x-1\ne 0\\ x-3\ne 0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x\ne 3\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff {\displaystyle \frac{\left(x-3\right)-4\left(2x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(2x-1\right)}}\ge 0\\ \iff {\displaystyle \frac{x-3-8x+4}{2x^2-x-6x+3}}\ge 0\\ \iff {\displaystyle \frac{-7x+1}{2x^2-7x+3}}\ge 0\end{array}$

Ta có bảng xét dấu:

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left(-\mathrm{\infty };{\displaystyle \frac{1}{7}}\right]\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

c) $\sqrt{x^2-2x-3}>2x-3$

$\begin{array}{l}\sqrt{x^2-2x-3}>2x-3\\ \iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-3\ge 0\\ 2x-3<0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}2x-3\ge 0\\ x^2-2x-3>{\left(2x-3\right)}^2\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 3\end{array}\\ x<{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -3x^2+10x-12>0\left(VN\right)\end{array}\end{array}\\ \iff x\le -1\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };-1\right]$.

d) $\left|x^2+3x+2\right|<-x+2$

$\begin{array}{l}\left|x^2+3x+2\right|<-x+2\\ \iff x-2<x^2+3x+2<-x+2\\ \iff \{\begin{array}{l}x-2<x^2+3x+2\\ x^2+3x+2<-x+2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{x}^2+2x+4>0\mathrm{\forall }x\\ x^2+4x<0\end{array}\\ \iff -4<x<0\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left(-4;0\right)$.

Câu 2 (VD) - Bất phương trình

Phương pháp:

Đưa biểu thức về dạng $f\left(x\right)-g\left(x\right)\ge 0$.

$P\left(x\right)\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$

Cách giải:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=2x^2-mx+3m-2$ và $y=g\left(x\right)=m{x}^2-2x+4m-5$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Theo đề bài, ta có:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\\ \iff 2x^2-mx+3m-2\\ \ge m{x}^2-2x+4m-5\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\\ \iff 2x^2-mx+3m-2-m{x}^2\\ +2x-4m+5\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\\ \iff \left(2-m\right)x^2+\left(2-m\right)x-m\\ +3\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$

TH1 : $2-m=0\iff m=2$

Bất phương trình trở thành $-2+3\ge 0\iff 1\ge 0$ (luôn đúng)

TH2 : $2-m\ne 0\iff m\ne 2$

 Để$\left(2-m\right)x^2+\left(2-m\right)x-m+3\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$$\iff \{\begin{array}{l}2-m>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}m<2\\ {\left(2-m\right)}^2-4.\left(2-m\right).\left(-m+3\right)\le 0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m<2\\ -3m^2+16m-20\le 0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m<2\\ [\begin{array}{l}m\ge {\displaystyle \frac{10}{3}}\\ m\le 2\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}m<2\\ m\ge {\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}m<2\\ m\le 2\end{array}\end{array}\iff m<2\end{array}$

Kết hợp hai trường hợp trên, ta được $m\le 2$

Vậy $m<2$ thì $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Câu 3 (VD) - Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Phương pháp:

Tính nửa chu vi của tam giác $ABC$.

Áp dụng các công thức:

+ Công thức Hê-rông $S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

+ $S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$, $S_{\mathrm{\Delta }ABC}=p.r$

Cách giải:

Cho tam giác $ABC$ với $AB=3,AC=7,BC=8$. Hãy tính diện tích tam giác và các bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác $ABC$.

Đặt $a=BC=8,b=AC=7,c=AB=3$.

$p_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}={\displaystyle \frac{8+7+3}{2}}=9$

Áp dụng công thức Hê-rông ta có:  $S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$$=\sqrt{9.\left(9-8\right).\left(9-7\right).\left(9-3\right)}$

Ta lại có:

$S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$$\Rightarrow R={\displaystyle \frac{abc}{4S_{\mathrm{\Delta }ABC}}}$$={\displaystyle \frac{\mathrm{3.7.8}}{\mathrm{4.6.}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{7}{\sqrt{3}}}$

$S_{\mathrm{\Delta }ABC}=p.r$$\Rightarrow r={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}{p}}$$={\displaystyle \frac{6.\sqrt{3}}{9}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$

Câu 4 (VD) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

a) $\left(d\right)\mathrm{\perp }\left(d^{\prime }\right)\iff {\overrightarrow{n}}_{d^{\prime }}.{\overrightarrow{n}}_d=0$

$\Rightarrow \left(d\right)$ đi qua $A\left(-1;2\right)$ nhận ${\overrightarrow{n}}_d$ là VTPT

b) Giả sử $\left(d\right)\cap \left(d^{\prime }\right)=H$$\Rightarrow$ $H$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{x}_H=1+t\\ y_H=2+t\\ x_H+y_H-1=0\end{array}$.

c) $M\in \left(d\right):\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}$ $\Rightarrow M\left(1+t;2+t\right)$sau đó áp dụng công thức tính độ dài véc tơ để tìm tọa độ điểm M .

Cách giải:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left(-1;2\right)$, $B\left(3;1\right)$ và đường thẳng $\left(d\right):\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}$ ($t$ là tham số)

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $\left(d\right)$.

$\left(d\right):\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}$$\Rightarrow {\overrightarrow{u}}_d=\left(1;1\right)$

Vì $\left(d\right)\mathrm{\perp }\left(d^{\prime }\right)$$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{d^{\prime }}={\overrightarrow{u}}_d=\left(1;1\right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$ đi qua $A\left(-1;2\right)$ có VTPT ${\overrightarrow{n}}_{d^{\prime }}=\left(1;1\right)$ là :

$\begin{array}{l}1.\left(x+1\right)+1.\left(y-2\right)=0\\ \iff x+y-1=0\end{array}$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $\left(d^{\prime }\right):x+y-1=0$.

b) Tìm tọa độ điểm $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $\left(d\right)$.

Theo đề bài, $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $\left(d\right)$ nên $\left(d\right)$ là đường trung trực của $A{A}^{\prime }$.

$\Rightarrow \left(d\right)\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }$ mà $A\in \left(d^{\prime }\right)$ và $\left(d\right)\mathrm{\perp }\left(d^{\prime }\right)$

$\Rightarrow A^{\prime }\in \left(d^{\prime }\right)$

Giả sử $\left(d\right)\cap \left(d^{\prime }\right)=H$$\Rightarrow$ $H$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$.

Tọa độ điểm $H\left(x_H;y_H\right)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}_H=1+t\\ y_H=2+t\\ x_H+y_H-1=0\end{array}\\ \Rightarrow \left(1+t\right)+\left(2+t\right)-1=0\\ \iff 2t+2=0\\ \iff t=-1\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_H=1+\left(-1\right)\\ y_H=2+\left(-1\right)\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{x}_H=0\\ y_H=1\end{array}$$\Rightarrow H\left(0;1\right)$

Vì $H$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ nên

$\{\begin{array}{l}{x}_A=2x_H-x_{A^{\prime }}\\ y_A=2y_H-y_{A^{\prime }}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{x}_A=1\\ y_A=2\end{array}$ $\Rightarrow A^{\prime }\left(1;0\right)$

c) Tìm tọa độ điểm $M$ trên $\left(d\right)$ sao cho $M$ cách $B$ một khoảng bằng $\sqrt{5}$.

$M\in \left(d\right):\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}$$\Rightarrow M\left(1+t;2+t\right)$

Có $B\left(3;1\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\left(2-t;-1-t\right)$.

Theo đề bài, ta có: $MB=\sqrt{5}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow M{B}^2=5\\ \iff {\left(2-t\right)}^2+{\left(-1-t\right)}^2=5\\ \iff 2t^2-2t=0\\ \iff 2t\left(t-1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}t=0\\ t-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}t=0\\ t=1\end{array}\end{array}$

+) Với $t=0\Rightarrow M\left(1;2\right)$

+) Với $t=1\Rightarrow M\left(2;3\right)$

Vậy $M\left(1;2\right)$ hoặc $M\left(2;3\right)$thì $M$ cách $B$ một khoảng bằng $\sqrt{5}$.

Câu 5 (VD) - Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai

Phương pháp:

+ Tìm ĐKXĐ

+ Biến đổi phương trình đã cho về dạng ${\left(2x-\sqrt{x+3}\right)}^2+{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)}^2=0$.

Cách giải:

ĐKXĐ:$\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ 2x-1\ge 0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge -3\\ x\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\iff x\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\begin{array}{l}4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}\\ =4x^2+3x+3\\ \iff 4x^2-2.2x.\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2\\ -x-3-2\sqrt{2x-1}+3x+3=0\\ \iff 4x^2-2.2x.\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2\\ +2x-2\sqrt{2x-1}=0\\ \iff 4x^2-2.2x.\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2\\ +2x-1-2\sqrt{2x-1}+1=0\\ \iff 4x^2-2.2x.\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2\\ +{\left(\sqrt{2x-1}\right)}^2-\mathrm{2.1.}\sqrt{2x-1}+1=0\\ \iff {\left(2x-\sqrt{x+3}\right)}^2+{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)}^2=0\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(2x-\sqrt{x+3}\right)}^2\ge 0\\ {\left(\sqrt{2x-1}-1\right)}^2\ge 0\end{array}\}$$\Rightarrow {\left(2x-\sqrt{x+3}\right)}^2+{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)}^2\ge 0$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi:

 $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x-\sqrt{x+3}=0\\ \sqrt{2x-1}-1=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{\left(2x\right)}^2={\left(\sqrt{x+3}\right)}^2\\ {\left(\sqrt{2x-1}\right)}^2=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}4x^2-x-3=0\\ 2x=2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x=1\\ x=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\\ x=1\end{array}\\ \iff x=1\left(tm\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.

Xem thêm đề thi các môn lớp 10 bộ sách Cánh diều hay, có đáp án chi tiết:

Top 10 đề thi giữa Học kì 2 Ngữ văn 10 (Cánh diều 2024) có đáp án

Top 10 đề thi giữa Học kì 2 Vật lí 10 (Cánh diều 2024) có đáp án

Top 50 Đề thi Giữa học kì 2 Hóa học 10 (Cánh diều 2024) tải nhiều nhất

Top 50 Đề thi Giữa học kì 2 Lịch sử 10 (Cánh diều 2024) tải nhiều nhất

Top 10 đề thi giữa Học kì 2 Sinh học 10 (Cánh diều 2024) có đáp án