Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Top 30 Đề thi Học kì 2 Toán 10 (Cánh diều 2024) có đáp án gồm các đề thi được tuyển chọn và tổng hợp từ các đề thi môn Toán THPT trên cả nước có hướng dẫn giải chi tiết giúp học sinh làm quen với các dạng đề, ôn luyện để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời các bạn đón xem:

Top 30 Đề thi Học kì 2 Toán 10 (Cánh diều 2024) có đáp án

Đề thi Học kì 2 Toán 10 Cánh diều (Có đáp án) - Đề số 01

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 2 Toán 10

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

PHẦN 1. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Chọn đáp án đúng trong mỗi câu sau:

Câu 1 (NB). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-5t\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$

A. $\overrightarrow{u}=\left(3;1\right)$.

B. $\overrightarrow{u}=\left(-5;2\right)$.

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right).$                 

D. $\overrightarrow{u}=\left(2;-5\right).$

Câu 2 (TH). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường elip $\left(E\right):\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ có 2 tiêu điểm là $F_1,F_2$. M là điểm thuộc elip $\left(E\right)$. Giá trị của biểu thức $M{F}_1+M{F}_2$ bằng:

A. $5$.

B. $6.$

C. $3.$

D. $2.$.

Câu 3 (TH). Cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\sin \alpha <0,\cos \alpha <0.$

B. $\sin \alpha <0,\cos \alpha >0.$                

C. $\sin \alpha >0,\cos \alpha <0.$

D. $\sin \alpha >0,\cos \alpha >0.$

Câu 4 (TH). Tập nghiệm của bất phương trình $x^2-7x+6>0$ là:

A. $\left(-\mathrm{\infty };1\right)\cap \left(6;+\mathrm{\infty }\right).$

B. $\left(-6,-1\right).$

C. $\left(1;6\right).$

D. $\left(-\mathrm{\infty };1\right)\cup \left(6;+\mathrm{\infty }\right).$

Câu 5 (VD). Biểu thức $\frac{1}{2}\sin \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha$ bằng

A. $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right).$

B. $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right).$

C. $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right).$

D. $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right).$

Câu 6 (NB). Biểu thức $\sin \left(-\alpha \right)$ bằng

A. $-\sin \alpha .$

B. $\sin \alpha .$

C. $\cos \alpha .$

D. $-\cos \alpha .$

Câu 7 (TH). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tâm của đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x+6y-1=0$ có tọa độ là:

A. $\left(2;3\right).$

B. $\left(2;-3\right).$

C. $\left(-2;3\right).$

D. $\left(-2;-3\right).$

Câu 8 (VD). Cho đồ thị của hàm số $y=ax+b$ có đồ thị là hình bên. Tập nghiệm của bất phương trình $ax+b>0$ là:

A. $\left(-\frac{b}{a};+\mathrm{\infty }\right).$

B. $\left(-\mathrm{\infty };\frac{b}{a}\right).$      

C. $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{a}\right).$

D. $\left(\frac{b}{a};+\mathrm{\infty }\right).$

Câu 9 (TH). Vectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $2x-4y+1=0$ ?

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right).$

B. $\overrightarrow{n}=\left(2;-4\right).$

C. $\overrightarrow{n}=\left(2;4\right).$

D. $\overrightarrow{n}=\left(-1;2\right).$

Câu 10 (TH). Biểu thức $\cos \left(\alpha +2\pi \right)$ bằng:

A. $-\sin \alpha .$

B. $\sin \alpha .$

C. $\cos \alpha .$

D. $-\cos \alpha .$

Câu 11 (VD). Tập nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}2x-6<0\\ 3x+15>0\end{array}$ là:

A. $\left(-5;-3\right).$

B. $\left(-3;5\right).$

C. $\left(3;5\right).$

D. $\left(-5;3\right).$

Câu 12 (NB). Số giầy bán được trong một quý của một cửa hàng bán giầy được thống kê trong bảng sau đây

Mốt của bảng trên là:

A. $39.$                      

B. $93.$                  

C. $639.$                

D. $35.$

PHẦN 2. PHẦN TỰ LUẬN ( 5 điểm)

Câu 1 (VD) (3,5 điểm).

1) Tìm m thỏa mãn bất phương trình $x^2+2mx-m+2>0$ nghiệm đúng với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

2) Giải bất phương trình $\sqrt{x+9}<x+3$

3) Cho các góc $\alpha ,\beta$ thỏa mãn $0<\alpha <\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ và $\sin \alpha =\frac{1}{3},\sin \beta =\frac{2}{3}$. Tính $\sin \left(\alpha +\beta \right)$  

Câu 2 (VD) (3,0 điểm).

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(-1;2\right)$ và $B\left(1;5\right)$. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $I\left(2;3\right)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:3x-4y-4=0$. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và lập phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:x-y-1=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:x+my+2=0$. Xác định giá trị của m biết rằng góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng ${45}^o$.

Câu 3 (VDC) (0,5 điểm).

Cho x thỏa mãn ${\left({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\right)}^2=\frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $\cos 8x$.

Lời giải chi tiết

PHẦN 1. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Phương pháp:

Đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ nhận $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$ làm VTCP

Cách giải:

Vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-5\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-5t\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$

Chọn D.

Câu 2:

Phương pháp:

Elip $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có 2 tiêu điểm là $F_1,F_2$ là tập hợp các điểm M sao cho $M{F}_1+M{F}_2=2a$

Cách giải:

Ta có: $M{F}_1+M{F}_2=2a=2.3=6.$

Chọn B.

Câu 3:

Phương pháp:

Dựa vào đường tròn đơn vị.

Cách giải:

Với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\Rightarrow$ Điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III

$\Rightarrow \sin \alpha <0,\cos \alpha <0$

Chọn A.

Câu 4:

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai: Trong trái, ngoài cùng.

Cách giải:

$\begin{array}{l}{x}^2-7x+6>0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x-6\right)>0\\ \iff [\begin{array}{l}x>6\\ x<1\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT là $\left(-\mathrm{\infty };1\right)\cup \left(6;+\mathrm{\infty }\right).$

Chọn D.

Câu 5:

Phương pháp:

Sử dụng công thức: $\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sin \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha \\ =\sin \alpha .\cos \frac{\pi }{3}+\cos \alpha .\sin \frac{\pi }{3}\\ =\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

Chọn B.

Câu 6:

Phương pháp:

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan.

Cách giải:

Ta có: $\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha$  

Chọn A.

Câu 7:

Phương pháp:

Phương trình đường tròn $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ có tâm $I\left(a;b\right)$

Cách giải:

Đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x+6y-1=0$ có tâm $I\left(2;-3\right)$

Chọn B.

Câu 8:

Phương pháp:

Nhìn đồ thị xét dấu của a,b từ đó áp dụng quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất: “Phải cùng, trái khác”.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục Oy tại một điểm có tung độ dương $\Rightarrow b>0.$

Và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương $\Rightarrow -\frac{b}{a}>0\iff \frac{b}{a}<0\iff a<0.$

$\Rightarrow ax+b>0\iff ax>-b\iff x<\frac{-b}{a}.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{a}\right).$

Chọn C.

Câu 9:

Phương pháp:

Đường thẳng $ax+by+c=0$ nhận $\overrightarrow{n}=\left(a,b\right)$ làm VTPT.

$\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{n^{\prime }}$ thì $\overrightarrow{n}//\overrightarrow{n^{\prime }}$

Cách giải:

Đường thẳng $2x-4y+1=0$ nhận $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-4\right)$ làm VTPT

$\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}=\left(1;-2\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{n_1}\\ \overrightarrow{n_3}=\left(-1;2\right)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{n_1}\end{array}$

Do đó các véc tơ $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3}$ đều là VTPT của đường thẳng.

Vậy chỉ có vecto $\overrightarrow{n}=\left(2;4\right)$ không là VTPT của đường thẳng đã cho.

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp:

Góc quét một số chẵn lần $\pi$ sẽ trở về điểm ban đầu.

Cách giải:

Ta có: $\cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \alpha$  

Chọn C.

Câu 11:

Phương pháp:

Giải từng BPT sau đó kết hợp nghiệm của hệ.

Cách giải:

$\{\begin{array}{l}2x-6<0\\ 3x+15>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<3\\ x>-5\end{array}$$\iff -5<x<3$

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-5;3\right).$

Chọn D.

Câu 12:

Phương pháp:

Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số.

Cách giải:

Dựa vào bảng số liệu ta thấy Mốt là 39.

Chọn A.

PHẦN 2. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1.

Phương pháp:

1) Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ có biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì với mọi $x,f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu $\mathrm{\Delta }=0$thì $f\left(x\right)$ có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$, với mọi $x\ne -\frac{b}{2a},f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu $\mathrm{\Delta }>0$,$f\left(x\right)$có 2 nghiệm $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng  $\left(x_1;x_2\right)$ và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng $\left(x_1;x_2\right).$

2) $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)<g^2\left(x\right)\end{array}$

3) Áp dụng công thức ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ để tính $\cos \alpha ,\cos \beta$, từ đó tính $\sin \left(\alpha +\beta \right)$ bằng công thức cộng.

Cách giải:                                  

1) Tìm m thỏa mãn bất phương trình $x^2+2mx-m+2>0$ nghiệm đúng với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2+m-2$

Bất phương trình $x^2+2mx-m+2>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\\ \iff m^2+m-2<0\\ \iff \left(m+2\right)\left(m-1\right)<0\\ \iff -2<m<1\end{array}$

Vậy với $-2<m<1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2) Giải bất phương trình $\sqrt{x+9}<x+3$

$\begin{array}{l}\sqrt{x+9}<x+3\\ \iff \{\begin{array}{l}x+9\ge 0\\ x+3>0\\ x+9<x^2+6x+9\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge -9\\ x>-3\\ x^2+5x>0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x>-3\\ [\begin{array}{l}x>0\\ x<-5\end{array}\end{array}\iff x>0\end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT là $\left(0;+\mathrm{\infty }\right).$

3) Cho các góc $\alpha ,\beta$ thỏa mãn $0<\alpha <\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ và $\sin \alpha =\frac{1}{3},\sin \beta =\frac{2}{3}$. Tính $\sin \left(\alpha +\beta \right)$

Ta có $\sin \alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{9}$ $\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

Do $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ $\Rightarrow \cos \alpha >0$ $\Rightarrow \cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ta có $\sin \beta =\frac{2}{3}\Rightarrow {\sin }^2\beta =\frac{4}{9}$ $\Rightarrow {\cos }^2\beta =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

Do $\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ $\Rightarrow \cos \beta <0\Rightarrow \cos \beta =-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Vậy

$\begin{array}{l}\sin \left(\alpha +\beta \right)\\ =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ =\frac{1}{3}.\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)+\frac{2\sqrt{2}}{3}.\frac{2}{3}\\ =\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{9}\end{array}$

Câu 2.

Phương pháp:

1) Xác định VTCP để viết phương trình tham số, VTPT để viết phương trình tổng quát

2) Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0$ và điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$ $\Rightarrow d_{\left(M_0;\mathrm{\Delta }\right)}=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O,R\right)\iff d\left(O,\mathrm{\Delta }\right)=R$

Phương trình đường tròn tâm $I\left(a;b\right),$ bán kính $R:{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2.$

3) Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 VTPT (VTCP) của 2 đường thẳng đó

$\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$

Cách giải:

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(-1;2\right)$ và $B\left(1;5\right)$. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;3\right)$ là một VTCP của đường thẳng AB.

$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$ là một VTPT của đường thẳng AB.

Ta có: $A\left(-1;2\right)\in AB$

$\Rightarrow$ Phương trình tham số của đường thẳng AB: $\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2+3t\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB: $3\left(x+1\right)-2\left(y-2\right)=0$ $\iff 3x-2y+7=0$

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $I\left(2;3\right)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:3x-4y-4=0$. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và lập phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

Ta có: $d\left(I,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|3.2-4.3-4\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc đường tròn $\left(I,R\right)\iff R=d\left(I,\mathrm{\Delta }\right)=2$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=4.$

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:x-y-1=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:x+my+2=0$. Xác định giá trị của m biết rằng góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng ${45}^o$.

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}_1$ nhận $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1\right)$ là một VTPT

          ${\mathrm{\Delta }}_2$ nhận $\overrightarrow{n_2}=\left(1;m\right)$ là một VTPT

Góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng ${45}^o$$\iff$ $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \frac{\left|1.1+\left(-1\right).m\right|}{\sqrt{1+1}.\sqrt{1+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \frac{\left|1-m\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{1+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \left|1-m\right|=\sqrt{1+m^2}\\ \iff 1-2m+m^2=1+m^2\\ \iff 2m=0\iff m=0.\end{array}$

 Vậy với $m=0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 3.

Phương pháp:

Từ dữ kiện đề bài tính $\cos 2x$ từ đó áp dụng công thức góc nhân đôi để tính $\cos 8x$

Cách giải:

Cho x thỏa mãn ${\left({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\right)}^2=\frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $\cos 8x$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{3}={\left({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\right)}^2\\ ={\left[\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)\right]}^2\\ ={\left(\cos 2x.1\right)}^2\\ ={\cos }^{2}2x\\ \Rightarrow {\cos }^{2}2x=\frac{1}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos 8x=2{\cos }^{2}4x-1\\ =2{\left(2{\cos }^{2}2x-1\right)}^2-1\\ =2{\left(2.\frac{1}{3}-1\right)}^2-1\\ =2{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2-1=-\frac{7}{9}\end{array}$

Vậy $\cos 8x=-\frac{7}{9}.$

Đề thi Học kì 2 Toán 10 Cánh diều (Có đáp án) - Đề số 02

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 2 Toán 10

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

PHẦN 1 – TRẮC NGHIỆM (6 điểm)

Câu 1: (VD) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}$ với $x>1$ là:

A. $2\sqrt{2}$

B. $2$        

C. $\frac{5}{2}$  

D. 4

Câu 2: (VD) Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}2x+1>3x-2\\ -x-3<0\end{array}$ là: 

A. $9$                                   B. $7$

C. $5$                                   D. vô số

Câu 3: (VD) Khoảng cách từ điểm $M\left(0;1\right)$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }:5x-12y-1=0$ là:

A.  $\sqrt{13}$                             B. $1$

C. $3$                                   D. $\frac{11}{13}$ 

Câu 4: (NB) Biết $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$, mệnh đề nào sau đây đúng:

A. $\cos \left(A+C\right)=\cos B$

B. $\tan \left(A+C\right)=-\tan B$

C. $\cot \left(A+C\right)=\cot B$         

D. $\sin \left(A+C\right)=-\sin B$

Câu 5: (VDC) Cho ba điểm $A\left(-6;3\right)$, $B\left(0;-1\right)$, $C\left(3;2\right)$. $M(a;b)$là điểm nằm trên đường thẳng $d:2x-y+3=0$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $5(a+b)=28$

B. $5(a+b)=-28$

C. $5(a+b)=2$

D. $5(a+b)=-2$

Câu 6: (TH) Thống kê điểm kiểm tra 15’ môn Toán của một lớp 10 trường THPT M.V. Lômônôxốp được ghi lại như sau:

Số trung vị của mẫu số liệu trên là:

A. 8                             B. 6

C. 7                             D. 9

Câu 7: (VD) Tìm côsin góc giữa $2$ đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:x+2y-7=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:2x-4y+9=0.$

A. $\frac{2}{\sqrt{5}}$                        B. $-\frac{3}{5}$

C. $-\frac{2}{\sqrt{5}}$                    D. $\frac{3}{5}$

Câu 8: (TH) Cho elip $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$, khẳng định nào sau đây sai ?

A. Tiêu cự của elip bằng $2$

B. Tâm sai của elip là $e=\frac{1}{5}$

C. Độ dài trục lớn bằng $2\sqrt{5}$

D. Độ dài trục bé bằng $4$

Câu 9: (TH) Đường tròn tâm $I(3;-1)$ và bán kính $R=2$ có phương trình là:

A. $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=4$

B. $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=2$      

C. $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$

D. $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=2$

Câu 10: (VD) Cho hai điểm $A(1;2),B(-3;1)$, đường tròn (C) có tâm nằm trên trục Oy và đi qua hai điểm A, B có bán kính bằng:

A. $\sqrt{17}$

B. $\frac{\sqrt{85}}{2}$

C. $\frac{85}{4}$       

D. $17$

Câu 11: (VD) Cho đường tròn $(C):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25.$ Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $B\left(-1;1\right)$ là:

A. $x-2y-3=0$

B. $3x-4y-7=0$

C. $x-2y+3=0$

D. $3x-4y+7=0$

Câu 12: (VD) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(3;-1\right)$ và $B\left(-6;2\right)$là:

A. $x+3y=0$

B. $x+3y-6=0$

C. $3x-y=0$      

D. $3x-y-10=0$

Câu 13: (VD) Phương trình tham số của đường thẳng qua $M\left(-2;3\right)$ và song song với đường thẳng $\frac{x-7}{-1}=\frac{y+5}{5}$ là:

A. $\{\begin{array}{l}x=-2-t\\ y=3+5t\end{array}$

B. $\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=5+3t\end{array}$

C. $\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=2+5t\end{array}$      

D. $\{\begin{array}{l}x=3+5t\\ y=2-t\end{array}$

Câu 14: (TH) Miền nghiệm của bất phương trình $5\left(x+2\right)-9<2x-2y+7$ không chứa điểm nào trong các điểm sau?

A. $\left(2;3\right)$

B. $\left(-2;1\right)$

C. $\left(2;-1\right)$

D. $\left(0;0\right)$

Câu 15: (VD) Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{x-1}{x-3}>1$ là:

A. $\mathrm{\varnothing }$

B. $\mathbb{R}$

C. $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

D. $\left(-\mathrm{\infty };5\right)$

Câu 16: (TH) Giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình $1-\sqrt{13+3x^2}>2x$ là:

A. $x=\frac{3}{2}$

B. $x=-\frac{3}{2}$

C. $x=\frac{7}{2}$

D. $x=-\frac{7}{2}$

Câu 17: (VD) Cho ba số $a,b,c$dương. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

B. $(1+2b)(2b+3a)(3a+1)\ge 48ab$                    

C. $(1+2a)(2a+3b)(3b+1)\ge 48ab$

D. $\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge 8$

Câu 18: (VD) Giải bất phương trình$\left|2x+5\right|\le x^2+2x+4$ được các giá trị $x$ thỏa mãn:

A. $x\le -1$ hoặc $x\ge 1$

B. $-1\le x\le 1$

C. $x\le 1$

D. $x\ge 1$

Câu 19: (TH) Điều tra về số tiền mua đồ dùng học tập trong một tháng của 40 học sinh, ta có mẫu số liệu như sau (đơn vị: nghìn đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu là:

A. 22,5                        B. 25

C. 25,5                        D. 27

Câu 20: (VD) Bất phương trình $\frac{x-1}{x^2+4x+3}\le 0$ có tập nghiệm là:

A. $\left[-3;-1\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$

B. $\left(-\mathrm{\infty };-3\right)\cup \left(-1;1\right]$

C. $\left(-\mathrm{\infty };-3\right]\cup \left[-1;1\right]$

D. $\left(-3;-1\right)\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$

Câu 21: (VD) Cho $\tan \alpha =3.$ Giá trị của biểu thức $A=\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$ là:

A. $\frac{7}{3}$                           B. $\frac{5}{3}$                           C. $7$                                   D. $5$

Câu 22: (VD) Tam thức $f(x)=x^2-12x-13$ nhận giá trị âm khi và chỉ khi:

A. $-1<x<13$  

B.$-13<x<1$

C. $x<-1$  hoặc $x>13$

D. $x<-13$ hoặc $x>1$

Câu 23: (TH) Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương?

A. $\sqrt{x-1}\ge x$ và $\left(2x+1\right)\sqrt{x-1}\ge x\left(2x+1\right)$.

B. $2x-1+\frac{1}{x-3}<\frac{1}{x-3}$và $2x-1<0$.

C. $x^2\left(x+2\right)<0$và $x+2<0$. 

D. $x^2\left(x+2\right)>0$ và $\left(x+2\right)>0$

Câu 24: (NB) Cho đường thẳng $\left(d\right)$ có phương trình tổng quát: $3x-2y+2019=0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. $\left(d\right)$có vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$

B. $\left(d\right)$có vectơ chỉ phương  $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$

C. $\left(d\right)$song song với đường thẳng $\frac{x+5}{2}=\frac{y-1}{3}$

D. $\left(d\right)$có hệ số góc $k=-2$

PHẦN 2 – TỰ LUẬN  (4 điểm) Học sinh làm bài ra giấy kiểm tra.

Bài 1 (VD): (1,0 điểm) Giải bất phương trình: $\frac{3x^2-8x-3}{2x-1}\ge 0$.

Bài 2 (VD): (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình $3x^2+2\left(m-1\right)x+m+5>0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

Bài 3 (VD): (0,5 điểm) Cho $\tan \alpha =-\sqrt{5}\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$, Tính $\cos \alpha$ và $\sin 2\alpha$.

Bài 4 (VD): (1,5 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm$A\left(-1;2\right)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x+3y+5=0$.

a) (0,5 điểm) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$.

b) (0,5 điểm) Viết phương trình đường tròn tâm $A\left(-1;2\right)$ và tiếp xúc với $\mathrm{\Delta }$.

c) (0,5 điểm) Tìm điểm M trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ sao cho tam giác OAM có diện tích bằng 4 (đvdt).

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Phương pháp: 

Biến đổi hàm số để sử dụng BĐT Cô-si làm mất x

Cách giải:

Ta có : $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}$$=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}$

Có: $x>1\Rightarrow x-1>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm $\frac{x-1}{2}$ và $\frac{2}{x-1}$ ta được:

$\begin{array}{l}\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}\\ \ge 2.\sqrt{\frac{x-1}{2}.\frac{2}{x-1}}=2\\ \Rightarrow f\left(x\right)\ge 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\end{array}$

Chọn C.

Câu 2:

Phương pháp:

Giải hệ BPT, đếm số nghiệm nguyên.

Cách giải:

$\{\begin{array}{l}2x+1>3x-2\\ -x-3<0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x<3\\ x>-3\end{array}$ $\Rightarrow -3<x<3$

Lại có $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}.$

Vậy có 5 nghiệm nguyên của hệ BPT

Chọn C.

Câu 3:

Phương pháp:

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0$ và điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$ 

$\Rightarrow d\left(M_0;\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Cách giải:

$d\left(M;\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|5.0-12.1-1\right|}{\sqrt{5^2+{12}^2}}=\frac{13}{13}=1$

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp:

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan.

Cách giải:

Ta có $\mathrm{\Delta }ABC$ $\Rightarrow A+B+C={180}^o$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow \tan \left(A+C\right)\\ =-\tan \left({180}^0-A-C\right)\\ =-\tan B\end{array}$

Vậy B đúng

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

Biến đổi hệ BPT và biện luận.

Cách giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow G\left(-1;\frac{4}{3}\right)$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|$$=3MG$

Để $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất $\iff MG$ nhỏ nhất $\iff$ M là hình chiếu của G trên d

Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng qua G vuông góc với d $\Rightarrow d\cap d^{\prime }=\left\{M\right\}$

d nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$ là VTPT $\Rightarrow \overrightarrow{n^{\prime }}=\left(1;2\right)$ là VTPT của $d^{\prime }$

$\Rightarrow$ Phương trình $d^{\prime }:\left(x+1\right)+2\left(y-\frac{4}{3}\right)=0$ $\iff x+2y-\frac{5}{3}=0$

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ : $\{\begin{array}{l}2x-y+3=0\\ x+2y-\frac{5}{3}=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{13}{15}=a\\ y=\frac{19}{15}=b\end{array}$

$\Rightarrow 5\left(a+b\right)=5\left(-\frac{13}{15}+\frac{19}{15}\right)=2$ 

Chọn C.

Câu 6:

Phương pháp:

Sắp xếp các số liệu thống kê thành dãy không tăng hoặc không giảm. Số trung vị $M_e$ là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu dãy số phần tử là chẵn.

Cách giải:

Có 7 phần tử là điểm cuả các em học sinh nên $M_e=x_4=6.$

Chọn B.

Câu 7:

Phương pháp:

$\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1;{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$  trong đó $\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$ lần lượt là VTPT hoặc VTCP của ${\mathrm{\Delta }}_1;{\mathrm{\Delta }}_2$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_1}=\left(1;2\right)$ là VTPT của ${\mathrm{\Delta }}_1$ ; $\overrightarrow{n_2}=\left(2;-4\right)$ là VTPT của ${\mathrm{\Delta }}_2$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \cos \left({\mathrm{\Delta }}_1;{\mathrm{\Delta }}_2\right)\\ =\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}\\ =\frac{\left|1.2-2.4\right|}{\sqrt{1+4}+\sqrt{4+16}}\\ =\frac{6}{\sqrt{5}.2\sqrt{5}}=\frac{3}{5}\end{array}$

Chọn D.

Câu 8:

Phương pháp:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2-b^2=c^2$

Trong đó: trục lớn $A_1{A}_2=2a$; trục nhỏ $B_1{B}_2=2b$; tiêu cự $F_1{F}_2=2c$  ; tân sai $e=\frac{c}{a}$

Cách giải:

Elip $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ có tâm sai:

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ $=\frac{\sqrt{5-4}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Vậy B sai

Chọn B.

Câu 9:

Phương pháp:

Đường tròn $\left(C\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=c$ có tâm $I\left(a;b\right)$, bán kính $R=\sqrt{c}$

Cách giải:

Đường tròn tâm $I(3;-1)$ và bán kính $R=2$ có phương trình là: $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp:

Đường tròn $\left(C\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=c$ có tâm $I\left(a;b\right)$, bán kính $R=\sqrt{c}$

Cách giải:

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm nằm trên trục Oy$\Rightarrow I\left(0;b\right)$ là tâm của đường tròn.

$\Rightarrow \left(C\right)$ có phương trình dạng: $x^2+{\left(y-b\right)}^2=c$

Vì $A,B\in \left(C\right)$ ta có hệ: $\{\begin{array}{l}1+{\left(2-b\right)}^2=c\\ 9+{\left(1-b\right)}^2=c\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}1+{\left(2-b\right)}^2=c\\ 9+{\left(1-b\right)}^2=1+{\left(2-b\right)}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}1+{\left(2-b\right)}^2=c\\ \left(1-b-2+b\right)\left(1-b+2-b\right)+8=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}1+{\left(2-b\right)}^2=c\\ -3+2b+8=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}c=\frac{85}{4}\\ b=-\frac{5}{2}\end{array}\\ \Rightarrow R=\sqrt{c}=\frac{\sqrt{85}}{2}.\end{array}$  

Chọn B.

Câu 11:

Phương pháp:

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với đường tròn $\left(O,R\right)$ tại $A\in \left(O,R\right)\iff OA\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$ tại A

Cách giải:

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(2;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{IB}=\left(-3;4\right)$ 

d  là tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại B $\Rightarrow IB\mathrm{\perp }d\Rightarrow \overrightarrow{IB}$ là 1 VTPT của d

$\Rightarrow$  Phương trình d: $-3\left(x+1\right)+4\left(y-1\right)=0$ $\iff 3x-4y+7=0$

Chọn D.

Câu 12:

Phương pháp:

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left(x_0;y_0\right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ có phương trình tổng quát: $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0.$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-9;3\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left(3;9\right)$  là VTPT của đường thẳng AB

$\Rightarrow AB:3\left(x-3\right)+9\left(y+1\right)=0$  $\iff 3x+9y=0$ $\iff x+3y=0$

Chọn A.

Câu 13:

Phương pháp:

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left(x_0;y_0\right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}.$

Cách giải:

Ta có đường thẳng $\frac{x-7}{-1}=\frac{y+5}{5}$ có VTCP là  $\overrightarrow{u}=\left(-1;5\right)$

Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng trên nên nhận $\overrightarrow{u}=\left(-1;5\right)$ là VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng qua $M\left(--2;3\right)$ và song song với đường thẳng $\frac{x-7}{-1}=\frac{y+5}{5}$ là:

$\{\begin{array}{l}x=-2-t\\ y=3+5t\end{array}$

Chọn A.

Câu 14:

Phương pháp:

Rút gọn và thay tọa độ các điểm để kiểm chứng

Cách giải:

$\begin{array}{l}5\left(x+2\right)-9<2x-2y+7\\ \iff 5x+10-9<2x-2y+7\\ \iff 3x+2y-6<0\end{array}$

Ta có: $3.2+2.3-6=6>0$ nên điểm $\left(2;3\right)$ không thuộc miền nghiệm của BPT trên

Chọn A.

Câu 15:

Phương pháp:

Giải bất phương trình.

 Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x-1}{x-3}>1\\ \iff \frac{x-1-x+3}{x-3}>0\\ \iff \frac{2}{x-3}>0\\ \iff x-3>0\\ \iff x>3\end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT là $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

Chọn C.

Câu 16:

Phương pháp:

Thay giá trị của x vào BPT để kiểm chứng

Cách giải:

Ta có: $1-\sqrt{13+3.{\left(-\frac{7}{2}\right)}^2}$ $\approx -6,05>2.\left(-\frac{7}{2}\right)=-7$

Vậy $x=-\frac{7}{2}$ thỏa mãn bất phương trình $1-\sqrt{13+3x^2}>2x$

Chọn D.

Chú ý khi giải: HS có thể giải bất phương trình bằng cách đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế.

$\begin{array}{l}1-\sqrt{13+3x^2}>2x\\ \iff 1-2x>\sqrt{13+3x^2}\\ \iff \{\begin{array}{l}1-2x>0\\ 1-4x+4x^2>13+3x^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x<\frac{1}{2}\\ x^2-4x-12>0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x<\frac{1}{2}\\ [\begin{array}{l}x>6\\ x<-2\end{array}\end{array}\iff x<-2\\ \Rightarrow x=-\frac{7}{2}\left(tm\right)\end{array}$

Câu 17:

Phương pháp:

Thay giá trị a,b,c bất kỳ để kiểm chứng

Cách giải:

Thay $a=1;b=2;c=3$ vào BPT

$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}$$\ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

$\Rightarrow \frac{4}{5}\ge \frac{11}{12}$ vô lý

Vậy A sai.

Chọn A.

Câu 18:

Phương pháp:

$\left|f\left(x\right)\right|\le g\left(x\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ -g\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right)\end{array}$

Cách giải:

$\begin{array}{l}\left|2x+5\right|\le x^2+2x+4\\ \iff \{\begin{array}{l}-x^2-2x-4\le 2x+5\\ 2x+5\le x^2+2x+4\end{array}\\ \left(x^2+2x+4={\left(x+1\right)}^2+3>0,\mathrm{\forall }x\right)\\ \iff \{\begin{array}{l}{x}^2+4x+9\ge 0\\ x^2-1\ge 0\end{array}\\ \left(do{x}^2+4x+9={\left(x+2\right)}^2+5>0,\mathrm{\forall }x\right)\\ \iff x^2-1\ge 0\iff x^2\ge 1\\ \iff [\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\end{array}$       

Chọn A.

Câu 19:

Phương pháp:

Tìm giá trị đại diện của từng lớp và tính số trung bình

Cách giải:

Chọn B.

Câu 20:

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu giải BPT.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\frac{x-1}{x^2+4x+3}\le 0\\ \iff \frac{x-1}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\le 0\end{array}$

ĐKXĐ: $x^2+4x+3\ne 0\iff \{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x\ne -3\end{array}$

Đặt $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^2+4x+3}$ . Ta có bảng:

Vậy $f\left(x\right)\le 0\iff x\in \left(-\mathrm{\infty };-3\right)\cup \left(-1;1\right]$

Chọn B.

Câu 21:

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu của P cho $\cos x\ne 0$

Cách giải:

Ta có $\tan \alpha =3\Rightarrow \cos x\ne 0$

Chia cả tử và mẫu của P cho $\cos x\ne 0$ ta được:

$\begin{array}{l}P=\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }\\ =\frac{\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\cos \alpha }}\\ =\frac{3\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}\\ =\frac{3.3+1}{3-1}=\frac{10}{2}=5\end{array}$

Chọn D.

Câu 22:

Phương pháp:

Giải bất phương trình $f\left(x\right)<0.$

Cách giải:

$\begin{array}{l}f(x)=x^2-12x-13<0\\ \iff \left(x+1\right)\left(x-13\right)<0\\ \iff -1<x<13\end{array}$

Chọn A.

Câu 23:

Phương pháp:

Lưu ý cách biến đổi BPT.

Cách giải:

Ta có: $x^2\left(x+2\right)>0$ và $\left(x+2\right)>0$ không tương đương vì $x=0$ ta có $x+2>0$ nhưng $x^2\left(x+2\right)=0$ 

Chọn D.

Câu 24:

Phương pháp:

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là k có dạng $y=kx+b$

Cách giải:

Đường thẳng $\left(d\right)$ có phương trình tổng quát: $3x-2y+2019=0$$\iff y=\frac{3}{2}x+\frac{2019}{2}$ có hệ số góc $k=\frac{3}{2}.$  

Chọn D.

II. TỰ LUẬN

Bài 1.

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu giải BPT

Cách giải:                                  

Giải bất phương trình: $\frac{3x^2-8x-3}{2x-1}\ge 0$.

ĐKXĐ : $2x-1\ne 0\iff x\ne \frac{1}{2}$

Đặt $f\left(x\right)=\frac{3x^2-8x-3}{2x-1}=\frac{\left(3x+1\right)\left(x-3\right)}{2x-1}$ . Ta có bảng:

Vậy $f\left(x\right)\ge 0\iff x\in \left[-\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right)\cup \left[3;+\mathrm{\infty }\right)$

Bài 2.

Phương pháp:

Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ có biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì với mọi $x,f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu $\mathrm{\Delta }=0$thì $f\left(x\right)$ có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$, với mọi $x\ne -\frac{b}{2a},f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu $\mathrm{\Delta }>0$,$f\left(x\right)$có 2 nghiệm $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng $\left(x_1;x_2\right)$ và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng $\left(x_1;x_2\right).$

Cách giải:

Tìm m để bất phương trình $3x^2+2\left(m-1\right)x+m+5>0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

Để bất phương trình $3x^2+2\left(m-1\right)x+m+5>0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(m-1\right)}^2-3.\left(m+5\right)<0\\ \iff m^2-5m-14<0\\ \iff -2<m<7\end{array}$

Vậy với $-2<m<7$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 3.

Phương pháp:

$\begin{array}{l}1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\\ \sin 2x=2\sin x\cos x\end{array}$

Cách giải:                                  

Cho $\tan \alpha =-\sqrt{5}\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$. Tính $\cos \alpha$ và $\sin 2\alpha$.

Do  $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \Rightarrow \cos \alpha <0$

Ta có:  $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =6$ $\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-\sqrt{6}}{6}$

$\begin{array}{l}\sin \alpha =\cos \alpha .\tan \alpha =\frac{\sqrt{30}}{6}\\ \Rightarrow \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}$

Bài 4.

Phương pháp:

a) Xác định VTPT và điểm đi qua.

b) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với đường tròn $\left(C\right)$ tâm I  bán kính R $\iff d\left(I;\mathrm{\Delta }\right)=R$

c) Gọi tọa độ điểm $M\left(-3t-5;t\right)\in \mathrm{\Delta }$. Tính OA. Từ giả thiết tính $d\left(M;OA\right)$ theo m. Lập phương trình tìm m từ đó suy ra tọa độ điểm M.

Cách giải:                                    

Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm$A\left(--1;2\right)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x+3y+5=0$.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$.

Vì $d\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\left(3;-1\right)$

Phương trình đường thẳng $d:3\left(x+1\right)-\left(y-2\right)=0$ $\iff 3x-y+5=0$

b) Viết phương trình đường tròn $\left(C\right)$ tâm $A\left(--1;2\right)$ và tiếp xúc với $\mathrm{\Delta }$. 

Ta có: $\left(C\right)$ tiếp xúc với $\mathrm{\Delta }$ nên $R=d\left(A;\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|-1+3.2+5\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\sqrt{10}$

Vậy phương trình đường tròn $\left(C\right)$: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=10.$ 

c) Tìm điểm M trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ sao cho tam giác OAM có diện tích bằng 4 (đvdt).

Gọi tọa độ điểm $M\left(-3t-5;t\right)\in \mathrm{\Delta }$

Ta có: $\overrightarrow{OA}=\left(-1;2\right)\Rightarrow OA=\sqrt{5};$ $\overrightarrow{n_{OA}}=\left(2;1\right)$

Phương trình đường thẳng OA: $2x+y=0$

Ta có: $S_{OAM}=\frac{1}{2}OA.d\left(M;OA\right)=4$ $\iff d\left(M;OA\right)=\frac{8}{\sqrt{5}}$

$\begin{array}{l}\iff \frac{\left|2\left(-3t-5\right)+t\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{8}{\sqrt{5}}\\ \iff \left|-5t-10\right|=8\\ \iff [\begin{array}{l}-5t-10=8\\ -5t-10=-8\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}t=-\frac{18}{5}\\ t=-\frac{2}{5}\end{array}\end{array}$

Vậy $M\left(\frac{29}{5};-\frac{18}{5}\right)$ hoặc  $M\left(-\frac{19}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

Xem thêm đề thi các môn lớp 10 bộ sách Cánh diều hay, có đáp án chi tiết: