12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án

12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Nguyễn Lê Khánh Vy Ngày: 02-12-2023 Lớp 11

287

Toptailieu.vn xin giới thiệu 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác có đáp án - Toán 11 sách Cánh diều. Bài viết gồm 12 câu hỏi trắc nghiệm với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài trắc nghiệm Toán 11. Bên cạnh đó là phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác đầy đủ và chính xác nhất. Mời các bạn đón xem:

12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 1. Rút gọn $M = \sin (x - y) \cos y + \cos (x - y) \sin y .$

A. $M = \cos x .$ B. $M = \sin x .$

C. $M = \sin x \cos 2 y .$ D. $M = \cos x \cos 2 y .$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $s i n (a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a$ , ta được

$M = \sin (x - y) \cos y + \cos (x - y) \sin y = \sin [(x - y) + y] = \sin x .$

Câu 2. Giá trị của biểu thức $\cos \frac{π}{30} \cos \frac{π}{5} + \sin \frac{π}{30} \sin \frac{π}{5}$ là

A. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ B. $- \frac{\sqrt{3}}{2} .$ C. $\frac{\sqrt{3}}{4} .$ D. $\frac{1}{2} .$

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\cos \frac{π}{30} \cos \frac{π}{5} + \sin \frac{π}{30} \sin \frac{π}{5} = \cos (\frac{π}{30} - \frac{π}{5}) = \cos (- \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Câu 3. Rút gọn biểu thức $M = \cos^{4} 15 ° - \sin^{4} 15 ° .$

A. $M = 1.$ B. $M = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ C. $M = \frac{1}{4} .$ D. $M = 0.$

Đáp án đúng là: B

Ta có $M = \cos^{4} 15 ° - \sin^{4} 15 ° = {(\cos^{2} 15 °)}^{2} - {(\sin^{2} 15 °)}^{2}$

$= (\cos^{2} 15 ° - \sin^{2} 15 °) (\cos^{2} 15 ° + \sin^{2} 15 °)$

$= \cos^{2} 15 ° - \sin^{2} 15 ° = \cos (2.15 °) = \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Câu 4. Giá trị của biểu thức $P = \frac{\sin \frac{5 π}{18} \cos \frac{π}{9} - \sin \frac{π}{9} \cos \frac{5 π}{18}}{\cos \frac{π}{4} \cos \frac{π}{12} - \sin \frac{π}{4} \sin \frac{π}{12}}$ là

A. 1. B. $\frac{1}{2}$ . C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\{\begin{cases} \sin a . \cos b - \cos a . \sin b = \sin (a - b) \\ \cos a . \cos b - \sin a . \sin b = \cos (a + b) \end{cases} .$

Khi đó $\sin \frac{5 π}{18} \cos \frac{π}{9} - \sin \frac{π}{9} \cos \frac{5 π}{18} = \sin (\frac{5 π}{18} - \frac{π}{9}) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} .$

Và $\cos \frac{π}{4} \cos \frac{π}{12} - \sin \frac{π}{4} \sin \frac{π}{12} = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{12}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} .$

Vậy $P = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1.$

Câu 5. Giá trị nào sau đây của $x$ thỏa mãn $\sin 2 x . \sin 3 x = \cos 2 x . \cos 3 x$ ?

A. $18 ° .$ B. $30 ° .$ C. $36 ° .$ D. $45 ° .$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\cos a . \cos b - \sin a . \sin b = \cos (a + b)$ , ta được

$\sin 2 x . \sin 3 x = \cos 2 x . \cos 3 x \Leftrightarrow \cos 2 x . \cos 3 x - \sin 2 x . \sin 3 x = 0$

$\Leftrightarrow \cos 5 x = 0 \Leftrightarrow 5 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{10} + k \frac{π}{5} .$

Câu 6. Trong $Δ A B C$ , nếu $\frac{\sin B}{\sin C} = 2 \cos A$ thì $Δ A B C$ là tam giác có tính chất nào sau đây?

A. Cân tại B. B. Cân tại A .

C. Cân tại C. D. Vuông tại B.

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\frac{\sin B}{\sin C} = 2 \cos A \Rightarrow \sin B = 2 \sin C . \cos A . = \sin (C + A) + \sin (C - A)$

Mặt khác

$A + B + C = π \Rightarrow B = π - (A + C) \Rightarrow \sin B = \sin (A + C)$ .

Do đó, ta được $\sin (C - A) = 0 \Rightarrow A = C$

Câu 7. Cho góc $α$ thỏa mãn $\sin 2 α = - \frac{4}{5}$ và $\frac{3 π}{4} < α < π$ . Tính $P = \sin α - \cos α$ .

A. $P = \frac{3}{\sqrt{5}} .$ B. $P = - \frac{3}{\sqrt{5}} .$

C. $P = \frac{\sqrt{5}}{3} .$ D. $P = - \frac{\sqrt{5}}{3} .$

Đáp án đúng là: A

Vì $\frac{3 π}{4} < α < π$ suy ra $\{\begin{cases} \sin α > 0 \\ \cos α < 0 \end{cases}$ nên $\sin α - \cos α > 0$

Ta có ${(\sin α - \cos α)}^{2} = 1 - \sin 2 α = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$ .

Suy ra $\sin α - \cos α = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Do $\sin α - \cos α > 0$ nên $\sin α - \cos α = \frac{3}{\sqrt{5}}$ . Vậy $P = \frac{3}{\sqrt{5}} .$

Câu 8. Biểu thức $P = \sin (x + \frac{π}{3}) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức $\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}$ , ta có

$\sin (x + \frac{π}{3}) - \sin x = 2 \cos (x + \frac{π}{6}) \sin \frac{π}{6} = \cos (x + \frac{π}{6}) .$

Ta có $- 1 \leq \cos (x + \frac{π}{6}) \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq P \leq 1 \overset{P \in ℤ}{\to} P \in (- 1; 0; 1) .$

Câu 9. Khi $α = \frac{π}{6}$ thì biểu thức $A = \frac{s i n^{2} 2 α + 4 s i n^{4} α - 4 \sin^{2} α . \cos^{2} α}{4 - \sin^{2} 2 α - 4 \sin^{2} α}$ có giá trị bằng:

A. $\frac{1}{3}$ . B. $\frac{1}{6}$ . C. $\frac{1}{9}$ . D. $\frac{1}{12}$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có

$A = \frac{s i n^{2} 2 α + 4 s i n^{4} α - 4 \sin^{2} α . \cos^{2} α}{4 - \sin^{2} 2 α - 4 \sin^{2} α} = \frac{4 s i n^{4} α}{4 (1 - \sin^{2} α) - 4 \sin^{2} α . \cos^{2} α}$

$= \frac{s i n^{4} α}{\cos^{2} α (1 - \sin^{2} α)} = \frac{s i n^{4} α}{\cos^{4} α} = \tan^{4} a .$

Do đó giá trị của biểu thức A tại $α = \frac{π}{6}$ là $\tan^{4} (\frac{π}{6}) = {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{4} = \frac{1}{9}$ .

Câu 10. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. $\cos 6 a = \cos^{2} 3 a - \sin^{2} 3 a .$ B. $\cos 6 a = 1 - 2 \sin^{2} 3 a .$

C. $\cos 6 a = 1 - 6 \sin^{2} a .$ D. $\cos 6 a = 2 \cos^{2} 3 a - 1.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức

$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$ , ta được $\cos 6 a = \cos^{2} 3 a - \sin^{2} 3 a = 2 \cos^{2} 3 a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} 3 a$

Câu 11. Nếu $\tan (a + b) = 7, \tan (a - b) = 4$ thì giá trị đúng của $\tan 2 a$ là

A. $- \frac{11}{27} .$ B. $\frac{11}{27}$ C. $- \frac{13}{27} .$ D. $\frac{13}{27}$

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\tan 2 a = \tan [(a + b) + (a - b)] = \frac{\tan (a + b) + \tan (a - b)}{1 + \tan (a + b) . \tan (a - b)} = \frac{7 + 4}{1 - 7.4} = - \frac{11}{27} .$

Câu 12. Đẳng thức nào sau đây đúng:

A. $\cot a + \cot b = \frac{\sin (b - a)}{\sin a . \sin b} .$ B. < $\cos^{2} a = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 a) .$

C. $\sin (a + b) = \frac{1}{2} \sin 2 (a + b) .$ D. $\tan (a + b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos a . \cos b} .$

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án:

- Đáp án A.

Ta có

$\cot a + \cot b = \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\cos b}{\sin b} = \frac{\cos a . \sin b + \sin a . \cos b}{\sin a . \sin b} = \frac{\sin (a + b)}{\sin a . \sin b}$