SBT Toán 11 trang 51 Tập 1 (Cánh Diều)

Ngọc Nguyễn Ngày: 04-12-2023 Lớp 11

196

Với Giải trang 51 Tập 1 SBT Toán lớp 11 trong Bài 2: Cấp số cộng Sách bài tập Toán lớp 11 Cánh Diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 51 Tập 1 (Cánh Diều)

Bài 26 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số cộng có u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁ = 234.

a) Tính u₂ + u₈ + u₁₄ + u₂₀.

b) Tìm u₁, d, biết u₁₀ = 37.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁

= u₁ + (u₁ + 4d) + (u₁ + 8d) + (u₁ + 12d) + (u₁ + 16d) + (u₁ + 20d)

= 6u₁ + 60d

Mà u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁ = 234 nên 6u₁ + 60d = 234 ⇔ u₁ + 10d = 39.

Lại có u₂ + u₈ + u₁₄ + u₂₀ = (u₁ + d) + (u₁ + 7d) + (u₁ + 13d) + (u₁ + 19d)

= 4u₁ + 40d = 4(u₁ + 10d) = 4 . 39 = 156.

Vậy u₂ + u₈ + u₁₄ + u₂₀ = 156.

b) Ta có u₁ + 10d = (u₁ + 9d) + d = u₁₀ + d = 39.

Mà u₁₀ = 37 nên suy ra d = 39 – u₁₀ = 39 – 37 = 2.

Do đó, u₁ = 39 – 10d = 39 – 10 . 2 = 19.

Vậy u₁ = 19 và d = 2.

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = – 2, $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{1 - u_{n}}$ với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_{n} = \frac{u_{n} + 1}{u_{n}}$ với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

c) Tính tổng $S = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{20}}$ .

Lời giải:

a) Ta có $v_{n} = \frac{u_{n} + 1}{u_{n}} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ , $v_{n + 1} = 1 + \frac{1}{u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{\frac{u_{n}}{1 - u_{n}}} = 1 + \frac{1 - u_{n}}{u_{n}} = \frac{1}{u_{n}}$ .

Khi đó, $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{u_{n}} - (1 + \frac{1}{u_{n}}) = - 1$ không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $v_{1} = 1 + \frac{1}{u_{1}} = 1 + \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$ và công sai d = – 1.

b) Ta có $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d = \frac{1}{2} + (n - 1) . (- 1) = \frac{1}{2} - n + 1 = \frac{3}{2} - n$ .

Vì $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ nên $1 + \frac{1}{u_{n}} = \frac{3}{2} - n$ $\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n}} = \frac{1}{2} - n$ $\Leftrightarrow u_{n} = \frac{2}{1 - 2 n}$ .

Vậy $v_{n} = \frac{3}{2} - n$ và $u_{n} = \frac{2}{1 - 2 n}$ .

c) Từ $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ , suy ra $\frac{1}{u_{n}} = v_{n} - 1$ .

Khi đó ta có $S = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{20}}$

= (v₁ – 1) + (v₂ – 1) + (v₃ – 1) + ... + (v₂₀ – 1)

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀) – 20.

Mà v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (v_n) nên

v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ = Cho dãy số (un) biết u1 = – 2 trang 51 SBT Toán 11 .

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Bài 28 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?

Lời giải:

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = $\frac{(1 + 12) .12}{2} + 11$ = 89 (tiếng chuông).

Bài 29 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ..., lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp.

SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Cấp số cộng (ảnh 15)