Xét công thức khai triển (a+b)2=a3+3a2b+3ab2+b3

Hoàng Huyền Trang Ngày: 04-10-2022 Lớp 10

412

Với giải HĐ Khám phá trang 33 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 3. Nhị thức Newton giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Xét công thức khai triển (a+b)²=a³+3a²b+3ab²+b³

HĐ Khám phá trang 33 Toán 10 Tập 2: a) Xét công thức khai triển ${(a + b)}^{2} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên

iii) Tính giá trị của $C_{3}^{0}, C_{3}^{1}, C_{3}^{2}, C_{3}^{3}$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của ${(a + b)}^{4}$

${(a + b)}^{4} = (a + b) {(a + b)}^{3} = ? = ? a^{4} + ? a^{3} b + ? a^{2} b^{2} + ? a b^{3} + ? b^{4}$

Tính giá trị của $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của ${(a + b)}^{5}$ . Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải

i) Các số hạng của khai triển trên là: $a^{3}, 3 a^{2} b, 3 a b^{2}, b^{3}$

ii) Các hệ số của khai triển trên là: $1; 3; 3; 1$

iii) Tính các giá trị $C_{3}^{0}, C_{3}^{1}, C_{3}^{2}, C_{3}^{3}$ ta được

$C_{3}^{0} = 1, C_{3}^{1} = 3, C_{3}^{2} = 3, C_{3}^{3} = 1$

Các giá trị của $C_{3}^{0}, C_{3}^{1}, C_{3}^{2}, C_{3}^{3}$ bằng với các hệ số của khai triển đã cho

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{4} = (a + b) {(a + b)}^{3} = (a + b) (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) \\ = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} \end{array}$

Tính giá trị của $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ ta được

$C_{4}^{0} = 1, C_{4}^{1} = 4, C_{4}^{2} = 6, C_{4}^{3} = 4, C_{4}^{4} = 1$

Vậy ta được khai triển là:

${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$

Dự đoán công thức ${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

Tính lại ta có

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{5} = {(a + b)}^{2} {(a + b)}^{3} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) \\ = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5} \end{array}$