SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức newton

Phương Thảo Ngày: 13-01-2023 Lớp 10

639

Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài 3: Nhị thức newton Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức newton

Bài 1 trang 47 SBT Toán 10: Khai triển các biểu thức sau:

a) ${(x + 3 y)}^{4}$ b) ${(3 - 2 x)}^{5}$ c) ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ d) ${(3 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{4}$

Phương pháp giải:

Khai triển ${(a + b)}^{5} = C_{5}^{0} a^{5} + C_{5}^{1} a^{4} b^{1} + C_{5}^{2} a^{3} b^{2} + C_{5}^{3} a^{2} b^{3} + C_{5}^{4} b^{1} a^{4} + C_{5}^{5} a^{5}$

Khai triển ${(a + b)}^{4} = C_{4}^{0} a^{4} + C_{4}^{1} a^{3} b^{1} + C_{4}^{2} a^{2} b^{2} + C_{4}^{3} a^{1} b^{3} + C_{4}^{4} b^{4}$

Lời giải:

a) ${(x + 3 y)}^{4} = C_{4}^{0} x^{4} {(3 y)}^{0} + C_{4}^{1} x^{3} {(3 y)}^{1} + C_{4}^{2} x^{2} {(3 y)}^{2} + C_{4}^{3} x^{1} {(3 y)}^{3} + C_{4}^{4} x^{0} {(3 y)}^{4}$

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 108 x^{1} y^{3} + 81 y^{4}$

b) $\begin{array}{l} {(3 - 2 x)}^{5} = C_{5}^{0} 3^{5} {(- 2 x)}^{0} + C_{5}^{1} 3^{4} {(- 2 x)}^{1} + C_{5}^{2} 3^{3} {(- 2 x)}^{2} + C_{5}^{3} 3^{2} {(- 2 x)}^{3} + C_{5}^{4} 3^{1} {(- 2 x)}^{4} + C_{5}^{5} 3^{0} {(- 2 x)}^{5} \\ = 243 - 810 x^{1} + 1080 x^{2} - 720 x^{3} + 240 x^{4} - 32 x^{5} \end{array}$

c) $\begin{array}{l} {(x - \frac{2}{x})}^{5} = C_{5}^{0} x^{5} {(- \frac{2}{x})}^{0} + C_{5}^{1} x^{4} {(- \frac{2}{x})}^{1} + C_{5}^{2} x^{3} {(- \frac{2}{x})}^{2} + C_{5}^{3} x^{2} {(- \frac{2}{x})}^{3} + C_{5}^{4} x^{1} {(- \frac{2}{x})}^{4} + C_{5}^{5} x^{0} {(- \frac{2}{x})}^{5} \\ = x^{5} - 10 x^{3} + 40 x - \frac{80}{x} + \frac{80}{x^{3}} - \frac{32}{x^{5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(3 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{4} = C_{4}^{0} {(3 \sqrt{x})}^{4} {(- \frac{1}{\sqrt{x}})}^{0} + C_{4}^{1} {(3 \sqrt{x})}^{3} {(- \frac{1}{\sqrt{x}})}^{1} + C_{4}^{2} {(3 \sqrt{x})}^{2} {(- \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} \\ + C_{4}^{3} {(3 \sqrt{x})}^{1} {(- \frac{1}{\sqrt{x}})}^{3} + C_{4}^{4} {(3 \sqrt{x})}^{0} {(- \frac{1}{\sqrt{x}})}^{4} \\ = 81 x^{2} - 108 x + \frac{2}{3} - \frac{12}{x} + \frac{1}{x^{2}} \end{array}$

Bài 2 trang 47 SBT Toán 10: Khai triển và rút gọn biểu thức $(x - 2) {(2 x + 1)}^{4}$

Phương pháp giải:

Khai triển ${(a + b)}^{4} = C_{4}^{0} a^{4} + C_{4}^{1} a^{3} b^{1} + C_{4}^{2} a^{2} b^{2} + C_{4}^{3} a^{1} b^{3} + C_{4}^{4} b^{4}$

rồi rút gọn biểu thức $(x - 2) {(2 x + 1)}^{4}$

Lời giải:

+ Khai triển:

$\begin{array}{l} {(2 x + 1)}^{4} = C_{4}^{0} {(2 x)}^{4} + C_{4}^{1} {(2 x)}^{3} + C_{4}^{2} {(2 x)}^{2} + C_{4}^{3} {(2 x)}^{1} + C_{4}^{4} {(2 x)}^{0} \\ = 16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1 \end{array}$

$\Rightarrow (x - 2) {(2 x + 1)}^{4} = (x - 2) (16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1)$

$\begin{array}{l} = 16 x^{5} - 32 x^{4} + 32 x^{4} - 64 x^{3} + 24 x^{3} - 48 x^{2} + 8 x^{2} - 16 x + x - 2 \\ = 16 x^{5} - 40 x^{3} - 40 x^{2} - 15 x - 2 \end{array}$

Bài 3 trang 47 SBT Toán 10: Tìm giá trị của tham số a để trong khai triển $(a + x) {(1 + x)}^{4}$ có một số hạng $22 x^{2}$

Phương pháp giải:

Khai triển ${(a + b)}^{4} = C_{4}^{0} a^{4} + C_{4}^{1} a^{3} b^{1} + C_{4}^{2} a^{2} b^{2} + C_{4}^{3} a^{1} b^{3} + C_{4}^{4} b^{4}$

rồi rút gọn biểu thức $(a + x) {(1 + x)}^{4}$ , tìm hệ số của $x^{2}$ .

Lời giải:

+ Khai triển:

$\begin{array}{l} {(1 + x)}^{4} = C_{4}^{0} {(x)}^{4} + C_{4}^{1} {(x)}^{3} + C_{4}^{2} {(x)}^{2} + C_{4}^{3} {(x)}^{1} + C_{4}^{4} {(x)}^{0} \\ = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1 \end{array}$

=> $(a + x) {(1 + x)}^{4} = (a + x) (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1)$

$= a x^{4} + x^{5} + 4 a x^{3} + 4 x^{4} + 6 a x^{2} + 6 x^{3} + 4 a x + 4 x^{2} + a + x$

Ta có hệ số của $x^{2}$ là $6 a + 4 = 22 \Rightarrow a = 3$

Bài 4 trang 47 SBT Toán 10: Biết rằng trong khai triển ${(a x - 1)}^{5}$ , hệ số của $x^{4}$ gấp 4 lần hệ số của $x^{2}$ . Hãy tìm giá trị của tham số a.

Phương pháp giải:

Khai triển ${(a + b)}^{5} = C_{5}^{0} a^{5} + C_{5}^{1} a^{4} b^{1} + C_{5}^{2} a^{3} b^{2} + C_{5}^{3} a^{2} b^{3} + C_{5}^{4} b^{1} a^{4} + C_{5}^{5} a^{5}$

Cho hệ số của $x^{4}$ gấp 4 lần hệ số của $x^{2}$ .

Lời giải:

Khai triển ${(a x - 1)}^{5} = C_{5}^{0} {(a x)}^{5} + C_{5}^{1} {(a x)}^{4} {(- 1)}^{1} + C_{5}^{2} {(a x)}^{3} {(- 1)}^{2} + C_{5}^{3} {(a x)}^{2} {(- 1)}^{3} + C_{5}^{4} {(a x)}^{1} {(- 1)}^{4} + C_{5}^{5} {(- 1)}^{5}$

+ Hệ số của $x^{4}$ là: $- 5 a^{4}$

+ Hệ số của $x^{2}$ là: $- 10 a^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 5 a^{4} = 4. (- 10 a^{2}) \Rightarrow - 5 a^{4} + 40 a^{2} = 0 \Rightarrow - 5 a^{2} (a^{2} - 8) = 0 \\ \Rightarrow a^{2} = 8 \Rightarrow a = \pm 2 \sqrt{2} \end{array}$

Bài 5 trang 47 SBT Toán 10: Biết rằng trong khai triển của ${(a x + \frac{1}{x})}^{4}$ , số hạng không chứa $x$ là 24. Hãy tìm giá trị của tham số $a$ .

Phương pháp giải:

Khai triển ${(a + b)}^{4} = C_{4}^{0} a^{4} + C_{4}^{1} a^{3} b^{1} + C_{4}^{2} a^{2} b^{2} + C_{4}^{3} a^{1} b^{3} + C_{4}^{4} b^{4}$

Số hạng không chứa $x$ là số hạng có số mũ của $x$ bằng 0

Lời giải:

Khai triển ${(a x + \frac{1}{x})}^{4}$ có số hạng tổng quát: $C_{4}^{k} {(a x)}^{4 - k} {(\frac{1}{x})}^{k} = C_{4}^{k} a^{4 - k} x^{4 - 2 k}$

Số hạng không chứa $x$ khi $4 - 2 k = 0 \Rightarrow k = 2$

$\Rightarrow$ Hệ số của khai triển là $C_{4}^{2} a^{2} = 24 \Rightarrow 6 a^{2} = 24 \Rightarrow a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2$

Vậy $a = 2$ .

Bài 6 trang 47 SBT Toán 10: Cho biểu thức $A = {(2 + x)}^{4} + {(2 - x)}^{4}$

a) Khai trển và rút gọn biểu thức A

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tính gần đúng $A = 2, 05^{4} + 1, 95^{4}$

Phương pháp giải:

Khai triển ${(a + b)}^{4} = C_{4}^{0} a^{4} + C_{4}^{1} a^{3} b^{1} + C_{4}^{2} a^{2} b^{2} + C_{4}^{3} a^{1} b^{3} + C_{4}^{4} b^{4}$

Lời giải:

a) + Khai triển:

$\begin{array}{l} {(2 + x)}^{4} = C_{4}^{0} 2^{4} + C_{4}^{1} 2^{3} x^{1} + C_{4}^{2} 2^{2} x^{2} + C_{4}^{3} 2^{1} x^{3} + C_{4}^{4} x^{4} \\ = 16 + 32 x + 24 x^{2} + 8 x + x^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(2 - x)}^{4} = C_{4}^{0} 2^{4} + C_{4}^{1} 2^{3} {(- x)}^{1} + C_{4}^{2} 2^{2} {(- x)}^{2} + C_{4}^{3} 2^{1} {(- x)}^{3} + C_{4}^{4} {(- x)}^{4} \\ = 16 - 32 x + 24 x^{2} - 8 x + x^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = {(2 + x)}^{4} + {(2 - x)}^{4} \\ = 16 + 32 x + 24 x^{2} + 8 x + x^{4} + 16 - 32 x + 24 x^{2} - 8 x + x^{4} \\ = 32 + 48 x^{2} + 2 x^{4} \end{array}$