Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Câu hỏi trang 44 SBT Toán 10

Bài 1 trang 44 SBT Toán 10: Sau khi biên soạn 9 câu hỏi trắc nghiệm, cô giáo có thể tạo ra bao nhiêu đề kiểm tra khác nhau bằng cách đảo thứ tự các câu hỏi đó.

Lời giải:

Mỗi đề kiểm tra là một cách sắp xếp 9 câu hỏi.

Mỗi cách xếp thứ tự 9 câu hỏi ta được một hoán vị của 9 câu hỏi.

=> số đề có thể ra là: 9! = 362 880

Bài 2 trang 44 SBT Toán 10: Cô giáo đã biên soạn 10 câu hỏi trắc nghiệm. Từ 10 câu hỏi này, cô giáo có thể chọn ra 6 câu hỏi và sắp xếp theo thứ tự để tạo nên một đề trắc nghiệm. Cô giáo có thể tạo bao nhiêu đề kiểm tra trắc nghiệm khác nhau?

Lời giải:

Mỗi đề là 1 cách sắp xếp 6 câu hỏi được chon từ 10 câu hỏi

=> Mỗi đề được tạo ra là một chỉnh hợp chập 6 của 10.

=> Số đề có thể tạo ra là: $A_{10}^6=\frac{10!}{4!}=151200$ đề.

Bài 3 trang 44 SBT Toán 10: Một giải đấu có 4 đội bóng A, B, C, D tham gia. Các đội đấu vòng tròn một lượt để tính điểm và xếp hàng.

a) Có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b) Có tất cả bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về đội vô địch và đội á quân?

c) Có bao nhiêu khả năng về bảng xếp hạng sau khi giải đấu kết thúc? Biết rằng không có hai đội bóng nào đồng hàng

Lời giải:

a) Cứ 2 đội bất kì thì có một trận đấu.

=> Số trận đấu là số cách chọn 2 đội từ 4 đội đó, là số tổ hợp chập 2 của 4: $C_4^2=\frac{4!}{2!2!}=6$

b) Chọn 2 đội trong 4 đội, có sắp xếp thứ tự cho 2 vị trí quán quân và á quân

=> Số kết quả của giải đấu là số chỉnh hợp chập 2 của 4: $A_4^2=\frac{4!}{2!}=12$

Cách 2: Kết quả của giải đấu thực hiện bởi 2 công đoạn:

Chọn 1 đội là quán quân: có 4 cách

Chọn 1 đội á quân: có 3 cách (do phải khác đội quán quân đã chon)

=> Vậy có 4.3 =12 kết quả có thể xảy ra

c) Các vị trí xếp hạng là khác nhau, vì không có đội nào cùng hạng, nên 4 đội tươn ứng với 4 vị trí xếp hạng

Mỗi kết quả về bảng xếp hạng là một hoán vị của 4 đội

Số kết quả của bảng xếp hạng sau khi giải đấu kết thúc là: 4! = 24

Bài 4 trang 44 SBT Toán 10: Cho 7 điểm trong mặt phẳng:

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai điểm đầu cuối là 2 trong 7 điểm đã cho?

b) Có bao nhiêu vector có điểm đầu và đầu cuối là 2 trong 7 điểm đã cho?

Lời giải:

a) Chọn 2 điểm bất kì trong số 7 điểm ta được một đoạn thẳng.

=> Số đoạn thẳng là số tổ hợp chập 2 của 7: $C_7^2=\frac{7!}{2!5!}=21$ đoạn thẳng

b) Chọn 2 trong số 7 điểm, có phân biệt điểm đầu điểm cuối ta được một vecto.

=> Số vecto là số chỉnh hợp chập 2 của 7: $A_7^2=\frac{7!}{5!}=42$ vector có hai điểm đầu cuối là 2 trong 7 điểm đã cho

Bài 5 trang 44 SBT Toán 10: Chọn 4 trong 6 giống hoa khác nhau và trồng trên 4 mảnh đất khác nhau để thử nghiệm. Có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau?

Lời giải:

Chọn 4 trong 6 giống hoa, và sắp xếp chúng vào 4 mảnh vườn khác nhau

=> Mỗi cách chọn để trồng như vậy là một chỉnh hợp chập 4 của 6: có $A_6^4=\frac{6!}{2!}=360$ cách thực hiện khác nhau

Bài 6 trang 44 SBT Toán 10: Một tổ công nhân 9 người làm vệ sinh cho một tòa nhà lớn. Cần phân công 3 người lau cửa sổ, 4 người lau sàn và 2 người lau cầu thang. Tổ có bao nhiêu cách phân công?

Lời giải:

Để phân công cần thực hiện 3 công đoạn:

+ Chọn 3 người lau cửa sổ: $C_9^3=84$ cách

+ Chọn 4 người lau sàn trong 9-3= 6 người còn lại: $C_6^4=15$ cách

+ Còn 2 người lau cầu thang: 1 cách

=> Có 84 x 15 x 1 = 1260 cách phân công

Câu hỏi trang 45 SBT Toán 10

Bài 7 trang 45 SBT Toán 10: Chọn 4 trong số 3 học sinh nam và 5 học sinh nữ tham gia một cuộc thi.

a) Nếu chọn 2 nam và 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn

b) Nếu trong số học sinh được chọn nhất thiết phải có học sinh nam A và học sinh nữ B thì có bao nhiêu cách chọn

c) Nếu phải có ít nhất một trong hai học sinh A và B được chọn, thì có bao nhiêu cách chọn?

d) Nếu trong 4 học sinh được chọn phải có cả học sinh nam và học sinh nữu thì có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

a) Có 2 công đoạn:

+ Chọn 2 nam trong 3 nam: $C_3^2=3$ cách chọn

+ Chọn 2 nữ trongg 5 nữ: $C_5^2=10$ cách chọn

=> Theo quy tắc nhân, có 3x10 = 30 cách chọn

b)

Cần chọn 4 người, trong đó đã có A và B. Vậy ta chỉ cần chọn thêm 2 trong số 3+5-2=6 học sinh còn lại.

+ Chọn 2 học sinh còn lại trong 6 học sinh còn lại: $C_6^2=15$ cách chọn

Vậy có 15 cách chọn

c) Có 3 trường hợp xảy ra: có cả A và B; chỉ có A; chỉ có B.

+ Có cả A và B: theo ý b) ta có 15 cách chọn

+ Chỉ có A:  Ta cần chọn thêm 3 bạn từ số HS còn lại (không tính cả A và B).

Tức là chọn 3 trong 6 học sinh, có $C_6^3=20$ cách chọn

+ Chỉ có B:  Ta cần chọn thêm 3 bạn từ số HS còn lại (không tính cả B và A).

Tức là chọn 3 trong 6 học sinh, có $C_6^3=20$ cách chọn

Theo quy tắc cộng, ta có 15+20+20=55 cách chọn.

d) Cần chọn 4 người, mà chỉ có 3 nam nên chắc chẵn sẽ có HS nữ.

các trường hợp có thể xảy ra là: Có 1 nam; có 2 nam; có 3 nam

+ Chọn 1 nam và 3 nữ:

Chọn 1 nam (trong 3 nam): có 3 cách

Chọn 3 nữ trong 5 nữ: có $C_5^3=10$ cách chọn

=> do đó có 3.10= 30 cách chọn 1 nam và 3 nữ

+ Chọn 2 nam và 2 nữ:

Chọn 2 nam (trong 3 nam): có $C_3^2=3$  cách

Chọn 2 nữ trong 5 nữ: có $C_5^2=10$ cách chọn

=> do đó có 3.10= 30 cách chọn 2 nam và 2 nữ

+ Chọn 3 nam và 1 nữ:

Chọn 3 nam (trong 3 nam): có 1 cách

Chọn 1 nữ trong 5 nữ: có 5 cách chọn

=> do đó có 1.5= 5 cách chọn 3 nam và 1 nữ

Vậy để chọn 4 học sinh có cả nam và nữ ta có: 30+30+5=65 cách chọn

Bài 8 trang 45 SBT Toán 10: Lấy hai số bất kỳ từ 1; 3; 5; 7; 9 và lấy hai số bất kì từ 2; 4; 6; 8 để lập các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau.

a) Lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong số đó, có bao nhiêu số có chữ số hàng nghìn và hàng đơn vị là chữ số lẻ

Lời giải:

a) Gồm 3 công đoạn:

+ Chọn 2 trong 5 số lẻ

Là số tổ hợp chập 2 của 5: $C_5^2=10$ cách chọn

+ Chọn 2 trong 4 số chẵn

Là số tổ hợp chập 2 của 4: $C_4^2=6$ cách chọn

+ Sắp xếp 4 chữ số đã chọn:

Là số hoán vị của 4: 4! = 24 cách

=> có 10x6x24 = 1440 cách sắp xếp

b) Chia thành 2 công đoạn:

+ Chọn 2 trong 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí hàng nghìn và hàng đơn vị:

Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 5, bằng: $A_5^2=20$ cách chọn

+ Chọn 2 trong 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí hàng trăm và hàng chục:

Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 4, bằng: $A_4^2=12$ cách chọn

Theo quy tắc nhân, có thể lập được: 20.12=240 số.

Bài 9 trang 45 SBT Toán 10: Cần sắp xếp thứ tự 8 tiết mục văn nghệ cho buổi biểu diễn văn nghệ của trường. Ban tổ chức dự kiến xếp 4 tiết mục ca nhạc ở vị trí thứ 1, thứ 2, thứ 5 và thứ 8; 2 tiết mục múa ở vị trí thứ 3 và thứ 6; 2 tiết mục hài ở vị trí thứ 4 và thứ 7. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

Lời giải:

Để sắp xếp 8 tiết mục, cần thực hiện 3 công đoạn:

+ Sắp xếp 4 tiết mục ca nhạc vào 4 vị trí (1, 2, 5 và 8)

Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 4 tiết mục ca nhạc => có: 4! = 24 cách sắp xếp

+ Sắp xếp 2 tiết mục múa vào 2 vị trí (3 và 6)

Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 2 tiết mục múa => có: 2! = 2 cách sắp xếp

+ Sắp xếp 2 tiết mục hài vào 2 vị trí (4 và 7)

Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 2 tiết mục hài => có: 2! = 2 cách sắp xếp

Theo quy tắc nhân, có tất cả: 24.2.2=96 cách sắp xếp