Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức Newton

Hoàng Huyền Trang Ngày: 11-02-2023 Lớp 10

1.2 K

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3. Nhị thức Newton sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức Newton

Câu hỏi trang 33 Toán 10

HĐ Khởi động trang 33 Toán 10 Tập 2: Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển

HĐ Khởi động trang 33 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có công thức khai triển của biểu thức ${(a + b)}^{n}$ với $n > 3$ là

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{n} = a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + . . . + C_{n}^{n - 2} a^{2} b^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} \end{array}$

HĐ Khám phá trang 33 Toán 10 Tập 2: a) Xét công thức khai triển ${(a + b)}^{2} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên

iii) Tính giá trị của $C_{3}^{0}, C_{3}^{1}, C_{3}^{2}, C_{3}^{3}$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của ${(a + b)}^{4}$

${(a + b)}^{4} = (a + b) {(a + b)}^{3} = ? = ? a^{4} + ? a^{3} b + ? a^{2} b^{2} + ? a b^{3} + ? b^{4}$

Tính giá trị của $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của ${(a + b)}^{5}$ . Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải

i) Các số hạng của khai triển trên là: $a^{3}, 3 a^{2} b, 3 a b^{2}, b^{3}$

ii) Các hệ số của khai triển trên là: $1; 3; 3; 1$

iii) Tính các giá trị $C_{3}^{0}, C_{3}^{1}, C_{3}^{2}, C_{3}^{3}$ ta được

$C_{3}^{0} = 1, C_{3}^{1} = 3, C_{3}^{2} = 3, C_{3}^{3} = 1$

Các giá trị của $C_{3}^{0}, C_{3}^{1}, C_{3}^{2}, C_{3}^{3}$ bằng với các hệ số của khai triển đã cho

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{4} = (a + b) {(a + b)}^{3} = (a + b) (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) \\ = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} \end{array}$

Tính giá trị của $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ ta được

$C_{4}^{0} = 1, C_{4}^{1} = 4, C_{4}^{2} = 6, C_{4}^{3} = 4, C_{4}^{4} = 1$

Vậy ta được khai triển là:

${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$

Dự đoán công thức ${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

Tính lại ta có

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{5} = {(a + b)}^{2} {(a + b)}^{3} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) \\ = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5} \end{array}$

Vậy công thức dự đoán là chính xác.

Câu hỏi trang 35 Toán 10

Thực hành 1 trang 35 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau

a) ${(x - 2)}^{4}$

b) ${(x + 2 y)}^{5}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải

a) ${(x - 2)}^{4}$

$\begin{array}{l} = x^{4} + 4 x^{3} . (- 2) + 6 x^{2} . {(- 2)}^{2} + 4 x {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4} \\ = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 \end{array}$

b) ${(x + 2 y)}^{5}$

$\begin{array}{l} = x^{5} + 5. x^{4} . (2 y) + 10. x^{3} . {(2 y)}^{2} + 10. x^{2} . {(2 y)}^{3} + 5. x . {(2 y)}^{4} + 1. {(2 y)}^{5} \\ = x^{5} + 10 x^{4} y + 40 x^{3} y^{3} + 80 x^{2} y^{3} + 80 x y^{4} + 32 y^{5} \end{array}$

Thực hành 2 trang 35 Toán 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng

a) $C_{4}^{0} + 2 C_{4}^{1} + 2^{2} C_{4}^{2} + 2^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} = 81$

b) $C_{4}^{0} - 2 C_{4}^{1} + 2^{2} C_{4}^{2} - 2^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} = 1$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải

$\begin{array}{l} C_{4}^{0} + 2 C_{4}^{1} + 2^{2} C_{4}^{2} + 2^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} \\ = 1^{4} . C_{4}^{0} + 1^{3} .2 C_{4}^{1} + 1^{2} {.2}^{2} C_{4}^{2} + {1.2}^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} \\ = {(1 + 2)}^{4} = 3^{4} \end{array}$

$= 81$ (đpcm)

$\begin{array}{l} C_{4}^{0} - 2 C_{4}^{1} + 2^{2} C_{4}^{2} - 2^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} \\ = 1^{4} . C_{4}^{0} - 1^{3} .2 C_{4}^{1} + 1^{2} {.2}^{2} C_{4}^{2} - {1.2}^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} \\ = {(1 - 2)}^{4} = {(- 1)}^{4} \end{array}$

$= 1$ (đpcm)

Vận dụng trang 35 Toán 10 Tập 2: Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong các số vé đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải

Mỗi lựa chọn mua vé của khách hàng đó là một tổ hợp chập k của 4 $(0 \leq k \leq 4)$ . Do đó, tổng số lựa chọn mua vé của khách hàng là

$\begin{array}{l} C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4} \\ = C_{4}^{0} {.1}^{4} + C_{4}^{1} {.1}^{3} .1 + C_{4}^{2} {.1}^{2} {.1}^{2} + C_{4}^{3} .1 {.1}^{3} + C_{4}^{4} {.1}^{4} \\ = {(1 + 1)}^{4} = 2^{4} \\ = 16 \end{array}$

Vậy có tất cả 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

Bài 1 trang 35 Toán 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) ${(3 x + y)}^{4}$

b) ${(x - \sqrt{2})}^{5}$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Bài 1 trang 35 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

a) ${(3 x + y)}^{4} = {(3 x)}^{4} + 4. {(3 x)}^{3} y + 6. {(3 x)}^{2} y^{2} + 4. (3 x) y^{3} + y^{4}$

$= 81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}$

b) $\begin{array}{l} {(x - \sqrt{2})}^{5} = {(x + (- \sqrt{2}))}^{5} = x^{5} + 5. x^{4} . (- \sqrt{2}) + 10. x^{3} . {(- \sqrt{2})}^{2} + 10. x^{2} . {(- \sqrt{2})}^{3} + 5. x . {(- \sqrt{2})}^{4} + 1. {(- \sqrt{2})}^{5} \\ = x^{5} - 5 \sqrt{2} . x^{4} + 20 x^{3} - 20 \sqrt{2} . x^{2} + 20 x - 4 \sqrt{2} \end{array}$

Bài 2 trang 35 Toán 10 Tập 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) ${(2 + \sqrt{2})}^{4}$

b) ${(2 + \sqrt{2})}^{4} + {(2 - \sqrt{2})}^{4}$

c) ${(1 - \sqrt{3})}^{5}$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Bài 2 trang 35 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

$\begin{array}{l} {(2 + \sqrt{2})}^{4} = 2^{4} + {4.2}^{3} . (\sqrt{2}) + {6.2}^{2} . {(\sqrt{2})}^{2} + 4.2. {(\sqrt{2})}^{3} + {(\sqrt{2})}^{4} \\ = [2^{4} + {6.2}^{2} . {(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{4}] + [{4.2}^{3} . (\sqrt{2}) + 4.2. {(\sqrt{2})}^{3}] \\ = 68 + 48 \sqrt{2} \end{array}$

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

${(2 + \sqrt{2})}^{4} = 2^{4} + {4.2}^{3} . (\sqrt{2}) + {6.2}^{2} . {(\sqrt{2})}^{2} + 4.2. {(\sqrt{2})}^{3} + {(\sqrt{2})}^{4}$

${(2 - \sqrt{2})}^{4} = {(2 + (- \sqrt{2}))}^{4} = 2^{4} + {4.2}^{3} . (- \sqrt{2}) + {6.2}^{2} . {(- \sqrt{2})}^{2} + 4.2. {(- \sqrt{2})}^{3} + {(- \sqrt{2})}^{4}$

Từ đó,

$\begin{array}{l} {(2 + \sqrt{2})}^{4} + {(2 - \sqrt{2})}^{4} = 2 [2^{4} + {6.2}^{2} . {(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{4}] \\ = 2 (16 + 48 + 4) = 136 \end{array}$

c) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

$\begin{array}{l} {(1 - \sqrt{3})}^{5} = {(1 + (- \sqrt{3}))}^{5} = 1 + 5. (- \sqrt{3}) + 10. {(- \sqrt{3})}^{2} + 10. {(- \sqrt{3})}^{3} + 5. {(- \sqrt{3})}^{4} + 1. {(- \sqrt{3})}^{5} \\ = [1 + 10. {(- \sqrt{3})}^{2} + 5. {(- \sqrt{3})}^{4}] + [5. (- \sqrt{3}) + 10. {(- \sqrt{3})}^{3} + 1. {(- \sqrt{3})}^{5}] \\ = 76 - 44 \sqrt{3} \end{array}$

Bài 3 trang 35 Toán 10 Tập 2: Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển ${(3 x - 2)}^{5}$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhị thức Newton

$(a x + b)^{5} = a^{5} x^{5} + 5 a^{4} x^{4} . b + 10 a^{3} x^{3} . b^{2} + 10 a^{2} x^{2} . b^{3} + 5 a x . b^{4} + b^{5}$

Hệ số của $x^{3}$ trong khai triển là $10 a^{3} b^{2}$ .

Lời giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có

Hệ số $x^{3}$ là hệ số của số hạng $C_{5}^{3} {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} = 1080 x^{3}$

Vậy hệ số của $x^{3}$ là 1080.

Bài 4 trang 35 Toán 10 Tập 2: Cho $A = {a_{1}; a_{2}; a_{3}; a_{4}; a_{5}}$ là một tổ hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng tổ hợp con có số lẻ $(1, 3, 5)$ phần tử của A bằng tập hợp con có số chẵn $(0, 2, 4)$ phần tử của A

Phương pháp giải

Bước 1: Tính các tổ hợp con

Bước 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải

Số tổ hợp con có x phần tử là số tổ hợp chập x của 5.

=> Số tổ hợp con có lẻ phần tử là: $C_{5}^{1} + C_{5}^{3} + C_{5}^{5} = 5 + 10 + 1 = 16$

Số tổ con có chẵn phần tử là: $C_{5}^{0} + C_{5}^{2} + C_{5}^{4} = 1 + 10 + 5 = 16$

$\Rightarrow C_{5}^{0} + C_{5}^{2} + C_{5}^{4} = C_{5}^{1} + C_{5}^{3} + C_{5}^{5}$ (đpcm).

Bài 5 trang 35 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng $C_{5}^{0} - C_{5}^{1} + C_{5}^{2} - C_{5}^{3} + C_{5}^{4} - C_{5}^{5} = 0$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Hoặc $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Lời giải

$\begin{array}{l} C_{5}^{0} - C_{5}^{1} + C_{5}^{2} - C_{5}^{3} + C_{5}^{4} - C_{5}^{5} \\ = C_{5}^{0} {.1}^{5} - C_{5}^{1} {.1}^{4} .1 + C_{5}^{2} {.1}^{3} {.1}^{2} - C_{5}^{3} {.1}^{2} {.1}^{3} + C_{5}^{4} .1 {.1}^{4} - C_{5}^{5} {.1}^{5} \\ = {(1 - 1)}^{5} = 0^{5} \\ = 0 \end{array}$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Cách 2:

Ta có: $C_{5}^{0} = C_{5}^{5 - 0} = C_{5}^{5}$

Tương tự: $C_{5}^{1} = C_{5}^{5 - 1} = C_{5}^{4}; C_{5}^{2} = C_{5}^{5 - 2} = C_{5}^{3};$

$\Rightarrow C_{5}^{0} - C_{5}^{1} + C_{5}^{2} - C_{5}^{3} + C_{5}^{4} - C_{5}^{5} = (C_{5}^{0} - C_{5}^{5}) + (C_{5}^{4} - C_{5}^{1}) + (C_{5}^{2} - C_{5}^{3}) = 0$ (đpcm).