Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức Newton

1.3 K

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3. Nhị thức Newton sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức Newton

Câu hỏi trang 33 Toán 10

HĐ Khởi động trang 33 Toán 10 Tập 2: Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển

HĐ Khởi động trang 33 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải 

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có công thức khai triển của biểu thức (a+b)n với n>3 là

(a+b)n=an+C1nan1b+C2nan2b2+...+Cn2na2bn2+Cn1nabn1+Cnnbn=nk=0Cknankbk

HĐ Khám phá trang 33 Toán 10 Tập 2: a) Xét công thức khai triển (a+b)2=a3+3a2b+3ab2+b3

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên

iii) Tính giá trị của C03,C13,C23,C33 (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của  (a+b)4

(a+b)4=(a+b)(a+b)3=?=?a4+?a3b+?a2b2+?ab3+?b4

Tính giá trị của C04,C14,C24,C34,C44 để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a+b)5. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải 

a)

i) Các số hạng của khai triển trên là: a3,3a2b,3ab2,b3

ii) Các hệ số của khai triển trên là: 1;3;3;1

iii) Tính các giá trị C03,C13,C23,C33 ta được

C03=1,C13=3,C23=3,C33=1

Các giá trị của C03,C13,C23,C33 bằng với các hệ số của khai triển đã cho

b)

(a+b)4=(a+b)(a+b)3=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Tính giá trị của C04,C14,C24,C34,C44 ta được

C04=1,C14=4,C24=6,C34=4,C44=1

Vậy ta được khai triển là:

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

c)

Dự đoán công thức (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Tính lại ta có

(a+b)5=(a+b)2(a+b)3=(a2+2ab+b2)(a3+3a2b+3ab2+b3)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Vậy công thức dự đoán là chính xác.

Câu hỏi trang 35 Toán 10

Thực hành 1 trang 35 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau

a) (x2)4

b) (x+2y)5

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải 

a) (x2)4

=x4+4x3.(2)+6x2.(2)2+4x(2)3+(2)4=x48x3+24x232x+16

b) (x+2y)5

=x5+5.x4.(2y)+10.x3.(2y)2+10.x2.(2y)3+5.x.(2y)4+1.(2y)5=x5+10x4y+40x3y3+80x2y3+80xy4+32y5

Thực hành 2 trang 35 Toán 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng

a) C04+2C14+22C24+23C34+24C44=81

b) C042C14+22C2423C34+24C44=1

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải 

a)

C04+2C14+22C24+23C34+24C44=14.C04+13.2C14+12.22C24+1.23C34+24C44=(1+2)4=34

=81 (đpcm)

b)

C042C14+22C2423C34+24C44=14.C0413.2C14+12.22C241.23C34+24C44=(12)4=(1)4

=1 (đpcm)

Vận dụng trang 35 Toán 10 Tập 2: Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong các số vé đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải 

Mỗi lựa chọn mua vé của khách hàng đó là một tổ hợp chập của 4 (0k4). Do đó, tổng số lựa chọn mua vé của khách hàng là

          C04+C14+C24+C34+C44=C04.14+C14.13.1+C24.12.12+C34.1.13+C44.14=(1+1)4=24=16

Vậy có tất cả 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

Bài 1 trang 35 Toán 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x+y)4

b) (x2)5

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Bài 1 trang 35 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải 

a) (3x+y)4=(3x)4+4.(3x)3y+6.(3x)2y2+4.(3x)y3+y4

=81x4+108x3y+54x2y2+12xy3+y4

b) (x2)5=(x+(2))5=x5+5.x4.(2)+10.x3.(2)2+10.x2.(2)3+5.x.(2)4+1.(2)5=x552.x4+20x3202.x2+20x42

Bài 2 trang 35 Toán 10 Tập 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) (2+2)4

b) (2+2)4+(22)4

c) (13)5

Phương pháp giải 

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Bài 2 trang 35 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

          (2+2)4=24+4.23.(2)+6.22.(2)2+4.2.(2)3+(2)4=[24+6.22.(2)2+(2)4]+[4.23.(2)+4.2.(2)3]=68+482

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

          (2+2)4=24+4.23.(2)+6.22.(2)2+4.2.(2)3+(2)4

         (22)4=(2+(2))4=24+4.23.(2)+6.22.(2)2+4.2.(2)3+(2)4

Từ đó,

          (2+2)4+(22)4=2[24+6.22.(2)2+(2)4]=2(16+48+4)=136

c) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

         (13)5=(1+(3))5=1+5.(3)+10.(3)2+10.(3)3+5.(3)4+1.(3)5=[1+10.(3)2+5.(3)4]+[5.(3)+10.(3)3+1.(3)5]=76443

Bài 3 trang 35 Toán 10 Tập 2: Tìm hệ số của x cubed trong khai triển left parenthesis 3 x minus 2 right parenthesis to the power of 5

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhị thức Newton

not stretchy left parenthesis a x plus b not stretchy right parenthesis to the power of 5 equals a to the power of 5 x to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 x to the power of 4. b plus 10 a cubed x cubed. b squared plus 10 a squared x squared. b cubed plus 5 a x. b to the power of 4 plus b to the power of 5

Hệ số của x cubed trong khai triển là 10 a cubed b squared.

Lời giải 

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có

Hệ số x cubed là hệ số của số hạng C subscript 5 superscript 3 left parenthesis 3 x right parenthesis cubed left parenthesis negative 2 right parenthesis squared equals 1080 x cubed

Vậy hệ số của x cubed là 1080.

Bài 4 trang 35 Toán 10 Tập 2: Cho A equals left curly bracket a subscript 1 semicolon a subscript 2 semicolon a subscript 3 semicolon a subscript 4 semicolon a subscript 5 right curly bracket là một tổ hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng tổ hợp con có số lẻ left parenthesis 1 comma 3 comma 5 right parenthesis phần tử của bằng tập hợp con có số chẵn left parenthesis 0 comma 2 comma 4 right parenthesis phần tử của A

Phương pháp giải

Bước 1: Tính các tổ hợp con

Bước 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải 

Số tổ hợp con có x phần tử là số tổ hợp chập x của 5.

=> Số tổ hợp con có lẻ phần tử là: C subscript 5 superscript 1 plus C subscript 5 superscript 3 plus C subscript 5 superscript 5 equals 5 plus 10 plus 1 equals 16

     Số tổ con có chẵn phần tử là: C subscript 5 superscript 0 plus C subscript 5 superscript 2 plus C subscript 5 superscript 4 equals 1 plus 10 plus 5 equals 16

not stretchy rightwards double arrow C subscript 5 superscript 0 plus C subscript 5 superscript 2 plus C subscript 5 superscript 4 equals C subscript 5 superscript 1 plus C subscript 5 superscript 3 plus C subscript 5 superscript 5 (đpcm).

Bài 5 trang 35 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng C subscript 5 superscript 0 minus C subscript 5 superscript 1 plus C subscript 5 superscript 2 minus C subscript 5 superscript 3 plus C subscript 5 superscript 4 minus C subscript 5 superscript 5 equals 0

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Hoặc C subscript n superscript k equals C subscript n superscript n minus k end superscript

Lời giải 

table attributes columnalign left columnspacing 1em rowspacing 4 pt end attributes row cell C subscript 5 superscript 0 minus C subscript 5 superscript 1 plus C subscript 5 superscript 2 minus C subscript 5 superscript 3 plus C subscript 5 superscript 4 minus C subscript 5 superscript 5 end cell row cell equals C subscript 5 superscript 0.1 to the power of 5 minus C subscript 5 superscript 1.1 to the power of 4.1 plus C subscript 5 superscript 2.1 cubed.1 squared minus C subscript 5 superscript 3.1 squared.1 cubed plus C subscript 5 superscript 4.1.1 to the power of 4 minus C subscript 5 superscript 5.1 to the power of 5 end cell row cell equals left parenthesis 1 minus 1 right parenthesis to the power of 5 equals 0 to the power of 5 end cell row cell equals 0 end cell end table

Vậy ta có điều phải chứng minh

Cách 2:

Ta có: C subscript 5 superscript 0 equals C subscript 5 superscript 5 minus 0 end superscript equals C subscript 5 superscript 5

Tương tự: Error converting from MathML to accessible text.

not stretchy rightwards double arrow C subscript 5 superscript 0 minus C subscript 5 superscript 1 plus C subscript 5 superscript 2 minus C subscript 5 superscript 3 plus C subscript 5 superscript 4 minus C subscript 5 superscript 5 equals left parenthesis C subscript 5 superscript 0 minus C subscript 5 superscript 5 right parenthesis plus left parenthesis C subscript 5 superscript 4 minus C subscript 5 superscript 1 right parenthesis plus left parenthesis C subscript 5 superscript 2 minus C subscript 5 superscript 3 right parenthesis equals 0(đpcm).

Đánh giá

0

0 đánh giá