Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của điểm M

Mai Hương Ngày: 25-01-2024 Lớp 8

226

Với giải Bài 25 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 5: Hình chữ nhật giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của điểm M

Bài 25 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ . Lấy điểm $M$ thuộc cạnh huyền $B C$ . Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ trên đường thẳng $A B, A C$ .

a) Tứ giác $A D M E$ là hình gì? Vì sao?

b) Gọi $I$ là trung điểm của $D E$ . Chứng minh ba điểm $A, I, M$ thẳng hàng

c) Chứng minh khi điểm $M$ thay đổi vị trí trên cạnh $B C$ thì chu vi của tứ giác $A D M E$ không đổi.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 5 (Cánh diều): Hình chữ nhật (ảnh 5)

a) Tứ giác $A D M E$ có $\hat{D A E} = \hat{A E M} = \hat{M D A} = 90^{\circ}$ nên $A D M E$ là hình chữ nhật.

b) Do $A D M E$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $D E$ và $A M$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $I$ là trung điểm của $D E$ , suy ra $I$ là trung điểm của $A M$ . Vậy ba điểm $A < I, M$ thẳng hàng.

c) Do $A D M E$ là hình chữ nhật nên $D M / / A C$ . Suy ra $\hat{B M D} = \hat{A C B}$ (hai góc so le trong). Mà $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 45^{\circ}$ (vì tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ , suy ra $\hat{B M D} = \hat{A B C} = 45^{\circ}$ . Do đó, tam giác $B D M$ cân tại $D$ . Suy ra $B D = D M$ .

Chu vi hình chữ nhật $A D M E$ là: $2 (A D + D M) = 2 (A D + B D) = D M$

Mà $A B$ không đổi nên chu vi của tứ giác $A D M E$ không đổi.

Sách bài tập Toán 8 Bài 5 (Cánh diều): Hình chữ nhật (ảnh 6)

Do $A D M E$ là hình chữ nhật nên $A M = D E$

Suy ra $D E$ có độ dài nhỏ nhất khi $A M$ có độ dài nhỏ nhất. vậy $M$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $B C$ .

Trong tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ ta có

$A C = A B = 2 c m$ và $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 8$

Suy ra $B C = \sqrt{8} c m$

$Δ A B M = Δ A C M$ (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra $B M = C M = \frac{B C}{2} = \sqrt{2} c m$

Tam giác $A B M$ vuông tại $M$ có $\hat{A B M} = 45^{\circ}$ nên $\hat{B A M} = \hat{A B M} = 45^{\circ}$ . Suy ra tam giác $A B M$ vuông cân tại $M$ . Do đó $A M = B M = \sqrt{2} c m$ . Vậy $D E = \sqrt{2} c m$ .