SBT Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5

Mai Hương Ngày: 26-01-2024 Lớp 8

164

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu lời giải SBT Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi vở bài tập Toán 8 Bài tập cuối chương 5 từ đó học tốt môn Toán 8.

SBT Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5

Bài 37 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $A B C D$ có $\hat{A} = 3 \hat{B}$ . Số đo các góc của hình bình hành $A B C D$ là:

A. $\hat{A} = \hat{C} = 120^{\circ}, \hat{B} = \hat{D} = 60^{\circ}$ .

B. $\hat{A} = \hat{D} = 45^{\circ}, \hat{B} = \hat{C} = 135^{\circ}$ .

C. $\hat{A} = \hat{C} = 135^{\circ}, \hat{B} = \hat{D} = 45^{\circ}$ .

D. $\hat{A} = \hat{D} = 135^{\circ}, \hat{B} = \hat{D} = 45^{\circ}$ .

Lời giải:

Xét hình bình hành $A B C D$ , ta có:

$\hat{A} = \hat{C}; \hat{D} = \hat{B}$

Mà $\hat{A} = 3 \hat{B}$ nên $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{\circ} \Leftrightarrow \hat{3 B} + \hat{B} + 3 \hat{B} + \hat{B} = 360^{\circ}$

Suy ra $\hat{B} = \hat{D} = 45^{\circ}; \hat{A} = \hat{C} = \frac{360^{\circ} - 45^{\circ} .2}{2} = 135^{\circ}$

→ Đáp án đúng là đáp án C.

Bài 38 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $A B C D$ có độ dài bằng 8 cm. Độ dài đường chéo $A C$ là:

Lời giải:

Xét tam giác vuông cân $A B C$ ta có:

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ suy ra $A C^{2} = 8^{2} + 8^{2} = 128$

Vậy độ dài đường chéo $A C = \sqrt{128} = 8 \sqrt{2} c m$

→ Đáp án đúng là đáp án B.

Bài 39 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác $A B C D$ có $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C D, D A$ . Điều kiện của tứ giác $A B C D$ để tứ giác $E F G H$ là hình chữ nhật là:

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 1)

Nối $A C, B D$

Xét tam giác $A B C D$ có $E, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, A D$ nên $E H$ là đường trung bình của tam giác $A B D$ .

Suy ra $E H / / B D, E H = \frac{1}{2} B D$ (1)

Tương tự xét tam giác $C B D$ có $F, G$ lần lượt là trung điểm của $B C, C D$ nên $F g$ là đường trung bình của tam giác $C B D$ suy ra $F G / / B D, F G = \frac{1}{2} B D$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $E H / / F G; E H = F G$ nên $E F G H$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để hình bình hành $E F G H$ là hình chữ nhật thì $\hat{E H G} = 90^{\circ}$ hay $E H ⊥ H G$

Lại có $H G / / A C$ (do $H G$ là đường trung bình của tam giác $D A C$ ) nên $E H ⊥ A C$ mà $E H ⊥ B D$ (cmt) nên $A C ⊥ B D$ .

Vậy tứ giác $A B C D$ cần có $A C ⊥ B D$ thì $E F G H$ là hình chữ nhật.

→ Đáp án đúng là đáp án C.

Bài 40 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Một công ti dự định làm một đường ống dẫn từ một nhà máu ở địa điểm $C$ trên bờ đến một địa điểm $B$ trên biển. Khoảng cách giữa địa điểm $A$ trên đảo với địa điểm $B$ , địa điểm $C$ lần lượt là $9 k m$ , $15 k m$ ; $A B$ vuông góc với $B C$ (minh họa ở Hình 27). Giá làm 1 km đường ống là 5 000 đô la Mỹ. Hỏi chi phí làm đường ống từ địa điểm $C$ đến địa điểm $B$ là bao nhiêu đồng? Biết 1 đô la Mỹ bằng 23 635 đồng.

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 2)

Lời giải:

Trong tam giác $A B C$ vuông tại $B$ ta có: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ (theo định lí Pythagore).

Suy ra $B C^{2} = A C^{2} - A B^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144$ . Do đó $B C = \sqrt{144} = 12 (k m)$

Chi phí làm đường ống từ địa điểm $C$ đến địa điểm $B$ là:

$5000.23635.12 = 1418100000$ (đồng)

Bài 41 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có đường cao $A H$ . Kẻ $H J$ vuông góc với $A B$ tại $J$ và $H K$ vuông góc với $A C$ tại $K$ . Trên tia $H J$ lấy điểm $D$ sao cho $D J = J H$ . Trên tia $H K$ lấy điểm $E$ sao cho $E K = K H$ .

a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $D E$ .

b) Tứ giác $A J H K$ là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh $B C = B D + C E$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 3)

a) Xét $Δ A D J$ vuông tại $J$ và $Δ A H J$ vuông tại $J$ có:

$D J = H J$ (gt), $A J$ là cạnh chung

Do đó $Δ A D J = Δ A H J$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $A D = A H$ (hai cạnh tương ứng) và $\hat{J A D} = \hat{J A H}$ (hai góc tương ứng)

Tương tự ta cũng chứng minh được $Δ A H K = Δ A E k$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $A H = A E$ (hai cạnh tương ứng) và $\hat{K A H} = \hat{K A E}$ (hai góc tương ứng)

Ta có:

$\hat{J A D} + \hat{J A H} + \hat{K A H} + \hat{K A E} = 2 (\hat{J A H} + \hat{K A H}) = 2. \hat{J A K} = {2.90}^{\circ} = 180^{\circ}$

Hay $\hat{D A E} = 180^{\circ}$ nên ba điểm $D, A, E$ thẳng hàng

Lại có $A D = A H$ và $A H = A E$ nên $A D = A E$

Do đó $A$ là trung điểm của $D E$ .

b) Ta có $A B ⊥ H E$ tại $K$ nên $\hat{A J H} = 90^{\circ}$

$A C ⊥ H E$ tại $K$ nên $\hat{A K H} = 90^{\circ}$

Xét tứ giác $A J K H$ có:

$\hat{A J H} = \hat{J A K} = \hat{A K H} = 90^{\circ}$ nên là hình chữ nhật.

c) Xét tam giác $B D J$ vuông tại $J$ và tam giác $B H J$ vuông tại $J$ có:

$D J = H J$ (gt), $B J$ là cạnh chung

Do đó $Δ B D J = Δ B H J$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $B D = B H$ (hai cạnh tương ứng)

Tương tự, ta cũng có $Δ C H K = Δ C E K$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $C H = C E$ (hai cạnh tương iwnsg)

Khi đó $B C = B H + C H = B D + C E$

Vậy $B C = B D + C E$ .

Bài 42 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân $A B C D$ có $A B / / C D, \hat{D} = 45^{\circ}$ . Kẻ $A H$ vuông góc với $C D$ tại $H$ . Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $C D$ sao cho $H E = D H$ .

a) Chứng minh tứ giác $A B C E$ là hình bình hành.

b) Đường thẳng qua $D$ song song với $A E$ cắt $A H$ tại $F$ . Tứ giác $A D F E$ là hình gì? Vì sao?

c) Tìm điều kiện của hình thang cân $A B C D$ để $E$ là trung điểm của $B F$ (bỏ qua giả thiết $\hat{D} = 45^{\circ}$ ).

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 4)

a) $Δ A D H = Δ A E H$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra $A D = A E$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác $A B C E$ , ta có:

$A B / / E C$

Vì $A D = A E$ mà $A D = B C$ nên $A E = B C$

Vậy tứ giác $A B C E$ là hình bình hành.

b) Xét tam giác $A H E$ và $F H D$ , ta có:

$\hat{A E H} = \hat{F D H}$ (so le trong); $\hat{A H E} = \hat{F H D} = 90^{\circ}$ ; $D H = H E$

Suy ra $Δ A H E = Δ D H D$ (g.c.g)

Suy ra $A H = H F$

Xét tứ giác $A D E F$ , ta có:

$H D = H E; H A = H F$

Mà $A F ⊥ D E$

Suy ra tứ giác $A D E F$ là hình thoi.

c) Để $E$ là trung điểm của $B F$ thì $B E = F E$ và ba điểm $B, E, F$ thẳng hàng.

Khi bỏ qua giả thiết $\hat{A D C} = 45^{\circ}$ thì ta chứng minh được tứ giác $A D E F$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $A D E F$ là hình bình hành.

Do $A B C E$ và $A D E F$ đều là hình bình hành nên $A E = B C, A E / / B C$ và $A E = D F . A E / / D F$

Suy ra $B C = D F$ và $B C / / D F$

Tứ giác $B C F D$ có $B C = D F$ và $B C / / D F$ nên $B C F D$ là hình bình hành.

Mà $E$ là trung điểm của $B F$ , suy ra $E$ là trung điểm của $C D$ hay $E C = E D = \frac{1}{2} C D$ .

Mặt khác, $A B = E C$ (vì $A B C E$ là hình bình hành), suy ra $A B = \frac{1}{2} C D$

Dễ thấy nếu hình thang cân $A B C D (A B / / C D)$ có $A B = \frac{1}{2} C D$ thì $E$ là trung điểm của $B F$ .

Vậy điều kiện của hình thang cân $A B C D (A B / / C D)$ để $E$ là trung điểm của $B F$ là $A B = \frac{1}{2} C D$ .

Bài 43 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $A B C D$ có $B C = 2 A B$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B C, A D$

a) Chứng minh tứ giác $M B N D$ là hình bình hành.

b) Gọi $P$ là giao điểm của $A M$ và $B N, Q$ là giao điểm của $C N$ và $D M$ . Chứng minh tứ giác $P M Q N$ là hình chữ nhật.

c) Tìm điều kiện của hình bình hành $A B C D$ để tứ giác $P M Q N$ là hình vuông.

d) Tính diện tích của tứ giác $P M Q N$ , biết $A B = 2 c m, \hat{M A D} = 30^{\circ}$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 5)

a) Do $A B C D$ là hình bình hành nên $B C / / A D$ và $B C = A D$

Mà $M \in B C, N \in A D$ nên $M B / / N D$

Lại có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B C, A D$ nên $M B = M C = \frac{1}{2} B C, N A = N D = \frac{1}{2} A$

Do đó $M B = M C = N A = N D$

Tứ goác $M B N D$ có $M B / / N D$ và $M B = N D$ nên là hình bình hành.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được $M A N C$ là hình bình hành.

Do $M B N D, M A N C$ đều là hình bình hành nên $P N / / M Q, P M / / N Q$ . Suy ra tứ giác $P M Q N$ là hình bình hành.

$Δ A B N = Δ M B N$ (c.g.c). Suy ra $A B = M N$ .

Tứ giác $A B M N$ có $A B = B M - M N = A N$ nên $A B M N$ là hình thoi. Suy ra $A M ⊥ B n$

Hình bình hành $P M Q N$ có $\hat{M P N} = 90^{\circ}$ nên $P M Q N$ là hình chữ nhật.

c) Để hình chữ nhật $P M Q N$ là hình vuông thì $P M = P N$ .

Mà $A B M N$ là hình thoi nên $A B M N$ là hình bình hành. Suy ra $A M, B N$ cắt nhau tại trung điểm $P$ của mỗi đường. mà $P M = P N$ , suy ra $A M = B N$

Hình bình hành $A B M N$ có $A M = B N$ nên $A B M N$ là hình chữ nhật

Suy ra $\hat{A B M} = 90^{\circ}$ hay $\hat{A B C} = 90^{\circ}$

Hình bình hành $A B C D$ có $\hat{A B C} = 90^{\circ}$ nên $A B C D$ là hình chữ nhật.

Dễ thấy, nếu hình bình hành $A B C D$ là hình chữ nhật và $B C = 2 A B$ thì $P M Q N$ là hình vuông.

Vậy điều kiện của hình bình hành $A B C D$ để $P M Q N$ là hình vuông là hình bình hành $A B C D$ là hình chữ nhật có $B C = 2 A B$ .

d) Ta có: $B M = A B$ nên $B M = 2 c m$

Do $A B M N$ là hình thoi nên $A M$ là tia phân giác của $\hat{B A N}$

Suy ra $\hat{B A N} = 2 \hat{M A D} = 60^{\circ}$

Tam giác $A B N$ có $A B = A N$ và $\hat{B A N} = 60^{\circ}$ nên tam giác $A B N$ đều.

Suy ra $B N = A N = A B = 2 c m$

Do $P$ là trung điểm của $B N$ nên $B P = N P = \frac{B N}{2} = 1 c m$

Trong tam giác $B M P$ vuông tại $P$ , ta có: $B M^{2} = B P^{2} + M P^{2}$

Suy ra $M P^{2} = B M^{2} - B P^{2} = 3$ . Do đó $M P = \sqrt{3}$ cm

Do $P M Q N$ là hình chữ nhật nên diện tích của $P M Q N$ là:

$M P . N P = \sqrt{3} .1 = \sqrt{3} (c m^{2})$ .

Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $A B C D$ . Lấy điểm $M$ thuộc đường chéo $B D$ . Kẻ $M E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ , $M F$ vuông góc với $A D$ tại $F$ .

a) Chứng minh: $D E = C F; D E ⊥ C F$ .

b) Chứng minh ba đường thẳng $D E, B F, C M$ cùng đi qua một điểm.

c) Xác định vị trí của điểm $M$ trên đường chéo $B D$ để diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 6)

Gọi $H$ là giao điểm của $D E$ và $C F$ , $K$ là giao điểm của $C M$ và $E F$ .

Do $A B C D$ là hình vuông nên ta có:

$\hat{D A B} = 90^{\circ}, C D = D A, \hat{A D B} = \hat{A B D} = \hat{D B C} = 45^{\circ}$

a) Ta chứng minh được tam giác $F D M$ vuông cân tại $F$ .

Suy ra $F M = D F$

Tứ giác $A E M F$ có $\hat{M F A} = \hat{F A E} = \hat{A E M} = 90^{\circ}$ nên $A E M F$ là hình chữ nhật. Suy ra $A E = F M$ .

Do đó $A E = D F$ (vì cùng bằng $F M$ )

$Δ A D E = Δ D C F$ (c.g.c). Suy ra $D E = C F$ , $\hat{A E D} = \hat{D F C}$ .

Trong tam giác $A D E$ vuông tại $A$ , ta có: $\hat{A E D} + \hat{A D E} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{D F C} + \hat{A D E} = 90^{\circ}$ hay $\hat{D F H} + \hat{F H D} = 90^{\circ}$ . Từ đó ta tính được $\hat{D H F} = 90^{\circ}$ . Vậy $D E ⊥ C F$ .

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được $B F ⊥ C E$ .

$Δ A B M = Δ C B M$ (c.g.c). Suy ra $A M = C M$ . Mà $E F = A M$ (vì $A E M F$ là hình chữ nhật) suy ra $E F = C M$ .

$Δ D E F = Δ F C M$ (c.c.c). Suy ra $\hat{D E F} = \hat{F C M}$ hay $\hat{F E H} = \hat{F C K}$

Trong tam giác $H E F$ vuông tại $H$ , ta có $\hat{F E H} + \hat{E F H} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{F C K} + \hat{E F H} = 90^{\circ}$ hay $\hat{F C K} + \hat{K F C} = 90^{\circ}$ . Từ đó, ta tính được $\hat{C K F} = 90^{\circ}$ . Do đó, $C K ⊥ E F$ .

Trong tam giác $C E F$ , ta có: $D E ⊥ C F, B F ⊥ C E, C M ⊥ E F$ nên ba đường thẳng $D E, B F, C M$ là các đường cao của tam giác $C E F$ . Vậy ba đường thẳng $D E, B F, C M$ cùng đi qua một điểm.

c) Chu vi của hình chữ nhật $A E M F$ là: $2 (A E + A F) = 2 (D F + A F) = 2 A D$

Mà $A D$ không đổi nên chu vi của hình chữ nhật $A E M F$ không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất khi $A E M F$ là hình vuông. Suy ra $M E = M F$ .