Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông gọc với AD tại F

Mai Hương Ngày: 25-01-2024 Lớp 8

Với giải Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài tập cuối chương 5 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông gọc với AD tại F

Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $A B C D$ . Lấy điểm $M$ thuộc đường chéo $B D$ . Kẻ $M E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ , $M F$ vuông góc với $A D$ tại $F$ .

a) Chứng minh: $D E = C F; D E ⊥ C F$ .

b) Chứng minh ba đường thẳng $D E, B F, C M$ cùng đi qua một điểm.

c) Xác định vị trí của điểm $M$ trên đường chéo $B D$ để diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 6)

Gọi $H$ là giao điểm của $D E$ và $C F$ , $K$ là giao điểm của $C M$ và $E F$ .

Do $A B C D$ là hình vuông nên ta có:

$\hat{D A B} = 90^{\circ}, C D = D A, \hat{A D B} = \hat{A B D} = \hat{D B C} = 45^{\circ}$

a) Ta chứng minh được tam giác $F D M$ vuông cân tại $F$ .

Suy ra $F M = D F$

Tứ giác $A E M F$ có $\hat{M F A} = \hat{F A E} = \hat{A E M} = 90^{\circ}$ nên $A E M F$ là hình chữ nhật. Suy ra $A E = F M$ .

Do đó $A E = D F$ (vì cùng bằng $F M$ )

$Δ A D E = Δ D C F$ (c.g.c). Suy ra $D E = C F$ , $\hat{A E D} = \hat{D F C}$ .

Trong tam giác $A D E$ vuông tại $A$ , ta có: $\hat{A E D} + \hat{A D E} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{D F C} + \hat{A D E} = 90^{\circ}$ hay $\hat{D F H} + \hat{F H D} = 90^{\circ}$ . Từ đó ta tính được $\hat{D H F} = 90^{\circ}$ . Vậy $D E ⊥ C F$ .

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được $B F ⊥ C E$ .

$Δ A B M = Δ C B M$ (c.g.c). Suy ra $A M = C M$ . Mà $E F = A M$ (vì $A E M F$ là hình chữ nhật) suy ra $E F = C M$ .

$Δ D E F = Δ F C M$ (c.c.c). Suy ra $\hat{D E F} = \hat{F C M}$ hay $\hat{F E H} = \hat{F C K}$

Trong tam giác $H E F$ vuông tại $H$ , ta có $\hat{F E H} + \hat{E F H} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{F C K} + \hat{E F H} = 90^{\circ}$ hay $\hat{F C K} + \hat{K F C} = 90^{\circ}$ . Từ đó, ta tính được $\hat{C K F} = 90^{\circ}$ . Do đó, $C K ⊥ E F$ .

Trong tam giác $C E F$ , ta có: $D E ⊥ C F, B F ⊥ C E, C M ⊥ E F$ nên ba đường thẳng $D E, B F, C M$ là các đường cao của tam giác $C E F$ . Vậy ba đường thẳng $D E, B F, C M$ cùng đi qua một điểm.

c) Chu vi của hình chữ nhật $A E M F$ là: $2 (A E + A F) = 2 (D F + A F) = 2 A D$

Mà $A D$ không đổi nên chu vi của hình chữ nhật $A E M F$ không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất khi $A E M F$ là hình vuông. Suy ra $M E = M F$ .