Với giải Bài 21 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD, BE cắt nhau tại O

Bài 21 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD, BE cắt nhau tại O. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng AE, EC;

b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười);

d) Diện tích tam giác DOE.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AC² + AB² = 6² + 8² = 100, suy ra BC = 10 (cm).

Xét ∆ABC có BE là phân giác góc ABC nên $\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ (tính chất đường phân giác).

Suy ra $\frac{AE}{4}=\frac{EC}{5}=\frac{AE+EC}{4+5}=\frac{AC}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Vậy $AE=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ (cm); $EC=5\cdot \frac{2}{3}=\frac{10}{3}$ (cm).

b) Kẻ OH ⊥ AC tại H. Khi đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AC là độ dài đoạn thẳng OH.

Ta có OH ⊥ AC, AB ⊥ AC nên OH // AB.

Xét ∆ABE với OH // AB, ta có: $\frac{HO}{AB}=\frac{EO}{EB}$ (định lí Thalès) (1).

Xét ∆AEB có AO là phân giác của góc CAB nên $\frac{OE}{OB}=\frac{AE}{AB}=\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra $\frac{OE}{OB+OE}=\frac{1}{3+1}$ hay $\frac{EO}{EB}=\frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $\frac{HO}{AB}=\frac{1}{4}$, suy ra $OH=\frac{1}{4}\cdot AB=\frac{1}{4}\cdot 8=2$ (cm).

c) Kẻ DK ⊥ AC, DI ⊥ AB, suy ra $\widehat{DKA}=\widehat{DIA}=90°.$

Tứ giác AKDI có $\widehat{DKA}=\widehat{DIA}=\widehat{KAI}=90°$ nên AKDI là hình chữ nhật

Lại có đường chéo AD là phân giác $\widehat{KAI}$ nên AKDI là hình vuông.

Suy ra AK = DK = DI.

Ta có S_∆ABC = S_∆ADC + S_∆ADB nên $\frac{AC\cdot AB}{2}=\frac{AC\cdot DK}{2}+\frac{AB\cdot DI}{2}$

Hay AC.AB = AC.DK + AB.DI = (AB + AC).DK (do DK = DI).

Từ đó, ta có: $DK=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}=\frac{8\cdot 6}{8+6}=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}.$

Xét ∆AKC vuông tại K có AD² = AK² + DK² (định lí Pythagore)

Suy ra AD² = AK² + DK² = DK² + DK² = 2DK²

Do đó $AD=DK\sqrt{2}=\frac{24\sqrt{2}}{7}\approx 4,8$ (cm).

d) Ta có: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$ (cm²).

Mà $\frac{S_{\Delta BCE}}{S_{\Delta BAC}}=\frac{\frac{1}{2}BA\cdot EC}{\frac{1}{2}BA\cdot AC}=\frac{EC}{AC}=\frac{10}{3}:6=\frac{5}{9}$

Do đó $S_{\Delta BCE}=\frac{5}{9}\cdot S_{\Delta BAC}=\frac{5}{9}\cdot 24=\frac{40}{3}$ (cm²).

Tương tự, ta có: $\frac{S_{\Delta BDE}}{S_{\Delta BCE}}=\frac{DB}{CB}$

Xét ∆ABC có AD là đường phân giác của góc CAB nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra $\frac{DB}{DC+DB}=\frac{AB}{AC+AB}$ hay $\frac{DB}{CB}=\frac{8}{8+6}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$

Nên $\frac{S_{\Delta BDE}}{S_{\Delta BCE}}=\frac{DB}{CB}=\frac{4}{7}.$

Suy ra $S_{\Delta \text{BDE }}=\frac{4}{7}{S}_{\Delta BCE}=\frac{4}{7}\cdot \frac{40}{3}=\frac{160}{21}$ (cm²)

Lại có $\frac{S_{\Delta ODE}}{S_{\Delta BDE}}=\frac{OE}{BE}=\frac{1}{4}$

Suy ra $S_{\Delta DOE}=\frac{1}{4}\cdot S_{\Delta BDE}=\frac{1}{4}\cdot \frac{160}{21}=\frac{40}{21}$ (cm²).