Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Hoán vị

HĐ1 trang 66 SGK Toán 10 Tập 2: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng, từ trái sang phải, để tham gia một cuộc phỏng vấn.

a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?

Lời giải:

a)     Ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự

-  Hà, Mai, Nam, Đạt.

-  Hà, Mai, Đạt, Nam

- Hà, Đạt, Mai, Nam

  Chú ý: Có thể chọn các cách xếp khác, không nhất thiết phải giống trên.

b)    Ta thực hiện các bước:

- Chọn bạn đứng đầu có 4 cách

- Chọn bạn đứng thứ hai có 3 cách

- Chọn bạn đứng thứ ba có 2 cách

- Chọn bạn đứng cuối có 1 cách

Vậy có 4.3.2 = 24  cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn.

Câu hỏi trang 67 Toán 10

Luyện tập 1 trang 67 SGK Toán 10 Tập 2: Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Phương pháp giải:

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là n!

Lời giải:

Số cách sắp xếp 6 vận động viên vào 6 đường chạy là số hoán vị của 6 phần tử.

=> Số cách xếp các vận động viên vào các đường chạy đó là:

  6!= 720 cách

2. Chỉnh hợp

HĐ2 trang 67 SGK Toán 10 Tập 2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung đủ tiêu chuẩn tham gia cuộc thi hùng biện của trường.

a)     Giáo viên cần chọn ra hai bạn phụ trách nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai bạn từ 4 bạn trên?

b)    Có bao nhiêu cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trường, một bạn làm nhóm phó?

Lời giải:

a)      Bước 1: Chọn 1 bạn từ 4 bạn trên: có 4 cách

Bước 2: Chọn 1 bạn từ 3 bạn còn lại

Do hai bạn có vai trò như nhau nên ta chia kết quả cho 2 để loại trường hợp trùng.

Có 4.2: 2 = 6 cách chọn hai bạn từ 4 bạn trên.

b)    Chọn nhóm trưởng: có 4 cách

Chọn nhóm phó: có 3 cách

Theo quy tắc nhân , có 4.3 = 12 cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trường, một bạn làm nhóm phó.

Câu hỏi trang 68 Toán 10

Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 10 Tập 2: Trong một giải đua ngựa gồm 12 con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến 3 con ngựa: con nhanh nhất, con nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả xảy ra?

Lời giải:

Mỗi cách chọn lần lượt 3 trong số 12 con ngựa để trao giải nhất, nhì, ba là một chỉnh hợp chập 3 của 12.

Có số kết quả xảy ra là: $A_{12}^3$= 1 320 (kết quả)

3. Tổ hợp

HĐ3 trang 68 SGK Toán 10 Tập 2: Trở lại HĐ2

a)     Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b.

b)    Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu HĐ2a.

Lời giải:

a)     Hai bạn được chọn ở HĐ2a có vai trò như nhau, nói cách khác là không quan trọng thứ tự chọn.

Còn ở HĐ2b thì hai bạn có có vai trò khác nhau, nói cách khác là có xếp thứ tự lần lượt là lớp trưởng và lớp phó.

b)    Số cách chọn 2 bạn (có xếp thứ tự) là 12 cách chọn.

Nhưng ở HĐ2a thì hai bạn có vai trò như nhau nên ta chia kết quả cho 2, tức là có 6 cách chọn (khi không xếp thứ tự)

Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 10 Tập 2: Trong ngân hàng đề kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có 20 câu lí thuyết và 40 câu bài tập. Người ta chọn ra 2 câu lí thuyết và 3 câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm 5 câu hỏi theo cách chọn như trên?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải:

Số cách chọn 2 trong 20 câu lí thuyết là:  $C_{20}^2$

Số cách chọn ra 3 trong 40 câu bài tập là: $C_{40}^3$

=> Số cách lập đề thi gồm 5 câu hỏi như trên là:  $C_{20}^2.C_{40}^3=1877200$

Câu hỏi trang 70 Toán 10

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Vận dụng trang 70 SGK Toán 10 Tập 2: Một câu lạc bộ có 20 học sinh.

a)     Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?

b)    Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 Phó ban, 4 thành viên khác vào ban quản lí?

Phương pháp giải:

a)     Áp dụng công thức tổ hợp.

b)    Áp dụng quy tắc nhân và công thức tổ hợp.

Lời giải:

a)     Số cách chọn 6 trong 20 học sinh vào Ban quản lí là: $C_{20}^6=38760$

b)    - chọn Trưởng ban có 20 cách.

- chọn 1 Phó ban có 19 cách.

- chọn 4 trong 18 thành viên còn lại vào ban quản lí có: $C_{18}^4$

Vậy có tất cả số cách là: $20.19.C_{18}^4=1162800$

5. Sử dụng máy tính cầm tay

Bài tập

Bài 8.6 trang 70 SGK Toán 10 Tập 2: Một họa sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải:

Mỗi cách xếp 10 bức tranh thành một hàng ngang là một hoán vị của 10.

Số cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh là 10!= 3 628 800

Bài 8.7 trang 70 SGK Toán 10 Tập 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải:

 Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 ta chọn:

-  Chữ số hàng trăm có 4 cách ( khác 0)

-  Chữ số hàng nghìn có 4 cách.

-  Chữ số hàng đơn vị có 3 cách

Vậy có thể lập được 4. 4. 3= 48 số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.

Bài 8.8 trang 70 SGK Toán 10 Tập 2: Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổ hợp.

Lời giải:

Có tất cả 99 số nguyên dương nhỏ hơn 100.

Số cách chọn một tập hợp gồm hai trong 99 số đó là:  $C_{99}^2=4581$

Số cách chọn một tập hợp gồm ba số trong 99 số đó là: $C_{99}^3=156849$

Bài 8.9 trang 70 SGK Toán 10 Tập 2: Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?

Phương pháp giải:

 Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải:

 Số cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu là: 5. 7 = 35 (cách)

Câu hỏi trang 71 Toán 10

Bài 8.10 trang 71 SGK Toán 10 Tập 2: Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.

a)     Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?

b)    Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?

c)     Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải:

a)     Số cách chọn 4 bạn trong 10 bạn nam là: $C_{10}^4=210$

b)    Số cách chọn 4 bạn trong tổng 17 bạn (không phân biệt nam, nữ) là: $C_{17}^4=2380$

c)     Số cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ là: $C_{10}^2.C_7^2=45.21=945$

Bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 Tập 2: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức chỉnh hợp và quy tắc nhân.

Lời giải:

-  Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 0.

Mỗi cách chọn 3 số (có xếp thứ tự ) trong 9 số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 9.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại là  $A_9^3=504$

-  Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 5.

Số cách chọn chữ số hàng nghìn là 8 ( khác 0)

Số cách chọn 2 trong chữ số (có xếp thứ tự) trong 8 số còn lại là: $A_8^2=56$

Vậy có: 504+ 8. 56= 952 số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau.