Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 25: Nhị thức Newton sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton

Câu hỏi trang 72 Toán 10

HĐ1 trang 72 SGK Toán 10 Tập 2: Hãy xây dựng sơ đồ của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:

Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H 8.6);

Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;

Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhân của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

 Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d).

Lời giải:

 Tổng các tích nhân được bằng với kết quả khai triển của tích (a+b).(c+d)= a.c+a.d+b.c+b.d

HĐ2 trang 72 SGK Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H 8.7) của tích (a+b).(a+b).(a+b).

 Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng $a^3,a^{2}b,a{b}^2,b^3?$

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển $(a+b{)}^3.$

Lời giải:

Các đơn thức còn thiếu hàng trên lần lượt là: b, a, b, a, b. Hàng dưới lần lượt là: $a^{2}b,a{b}^2,a^{2}b,a{b}^2,a{b}^2$

Ta có: $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

Các hệ số nhận được khi khai triển là bằng nhau.

Câu hỏi trang 73 Toán 10

HĐ3 trang 73 SGK Toán 10 Tập 2: Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển $(a+b{)}^4$  được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm $2^4$ (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x. y. z. t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a. a. b. a, thu gọn là $a^{3}b$. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với  $a^{3}b$ trong tổng là $C_4^1$.

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.

$a^4;a^{3}b;a^2{b}^2;a{b}^3;b^4?$

Lời giải:

Số đơn thức đồng dạng với $a^4$ trong tổng là  $C_4^0=1$

 Số đơn thức đồng dạng với $a^{3}b$ trong tổng là  $C_4^4=1$

 Số đơn thức đồng dạng với $a^2{b}^2$ trong tổng là  $C_4^2=6$

 Số đơn thức đồng dạng với $a{b}^3$ trong tổng là  $C_4^3=1$

 Số đơn thức đồng dạng với $b^4$ trong tổng là $C_4^4=1$

Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 10 Tập 2: Khai triển $(x-2{)}^4$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức khai triển $(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$ với a= x, b= -2.

Lời giải:

$(x-2{)}^4=x^4+4.x^3.(-2)+6.x^2.(-2{)}^2+4.x.(-2{)}^3+(-2{)}^4$

$=x^4-8x^3+24x^2-32x+16$

Câu hỏi trang 74 Toán 10

HĐ4 trang 74 SGK Toán 10 Tập 2: Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển $(a+b{)}^5$, ta thu được một tổng gồm $2^5$ đơn thức có dạng x. y. z. t. u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a. b. a. b. b, thu gọn là $a^2{b}^3$. Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, z, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với $a^{3}b$ trong tổng là $C_5^3$.

 Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.

$a^5;a^{4}b;a^3{b}^2;a^2{b}^3;a{b}^4;b^5?$

Lời giải:

 Số đơn thức đồng dạng với $a^5$ trong tổng là $C_5^0=1$

 Số đơn thức đồng dạng với $a^{4}b$trong tổng là $C_5^1=5$

 Số đơn thức đồng dạng với $a^3{b}^2$ trong tổng là $C_5^2=10$

 Số đơn thức đồng dạng với $a^2{b}^3$ trong tổng là $C_5^3=10$

 Số đơn thức đồng dạng với $a{b}^4$trong tổng là $C_5^4=5$

 Số đơn thức đồng dạng với $b^5$ trong tổng là $C_5^5=1$

Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 10 Tập 2: Khai triển $(3x-2{)}^5$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức khai triển $(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$với a= 3x, b= -2

Lời giải:

 Ta có

 $\begin{array}{l}(3x-2{)}^5=(3x{)}^5+5.(3x{)}^4.(-2)+10.(3x{)}^3.(-2{)}^2\\ +10.(3x{)}^2.(-2{)}^3+5.3x.(-2{)}^4+(-2{)}^5\\ =243x^5-810x^4+1080x^3-720x^2+240x-32\end{array}$

Vận dụng trang 74 SGK Toán 10 Tập 2: a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1+0,05{)}^4$ để tính giá trị gần đúng của $1,{05}^4$.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1,{05}^4$ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Phương pháp giải:

a)     Áp dụng công thức khai triển

 $(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

b)    Lấy kết quả tính bằng máy tính trừ đi kết quả câu a để tính sai số tuyệt đối.

Lời giải:

a)     Giá trị gần đúng của $1,{05}^4$ là: $1^4+{4.1}^3.0,05=1,2$

b)    $1,{05}^4=1,2155$

Sai số tuyệt đối là: 1,2155-1,2=0,0155

Bài 8.12 trang 74 SGK Toán 10 Tập 2: Khai triển các đa thức:

a) $(x-3{)}^4;$

b) $(3x-2y{)}^4;$

c) $(x+5{)}^4+(x-5{)}^4;$

d) $(x-2y{)}^5$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức khai triển $$\begin{gathered} {(a+b)}^4 = a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2 + 4a{b}^3+b^4 và \\ {(a+b)}^5 = a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2 + 10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5 \end{gathered}$$

Lời giải:

a)     $\begin{array}{l}(x-3{)}^4=x^4+4x^3.(-3)+6x^2.(-3{)}^2+4x.(-3{)}^3+(-3{)}^4\\ =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{array}$

b)     $(3x-2y{)}^4=81x^4-216x^{3}y+216x^2{y}^2-96x{y}^3+16y^4$

c)      

 $\begin{array}{l}(x+5{)}^4+(x-5{)}^4=x^4+20x^3+150x^2+500x+625\\ +x^4-20x^3+150x^2-500x+625\\ =2x^4+300x^2+1250\end{array}$

d)    $(x-2y{)}^5=x^5-10x^{4}y+40x^3{y}^2-80x^2{y}^3+80x{y}^4-32y^5$

Bài 8.13 trang 74 SGK Toán 10 Tập 2: Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x-1{)}^5.$

Phương pháp giải:

 Áp dụng công thức khai triển ${(a+b)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

Lời giải:

 Hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x-1{)}^5$ là: $C_5^1{.3}^4.(-1)=-405$

Bài 8.14 trang 74 SGK Toán 10 Tập 2: Biểu diễn $(3+\sqrt{2}{)}^5-(3-\sqrt{2}{)}^5$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là các số nguyên.

Phương pháp giải:

 Áp dụng công thức khai triển ${(a+b)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

Lời giải:

$\begin{array}{l}(3+\sqrt{2}{)}^5-(3-\sqrt{2}{)}^5\\ =3^5+{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{10.3}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+5.3{\left(\sqrt{2}\right)}^4+{\sqrt{2}}^5\\ -\left[3^5-{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3{\left(\sqrt{2}\right)}^2-{10.3}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+5.3{\left(\sqrt{2}\right)}^4-{\sqrt{2}}^5\right]\\ =2\left({5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+{\sqrt{2}}^5\right)\\ =810\sqrt{2}+360\sqrt{2}+8\sqrt{2}\\ =1178\sqrt{2}\end{array}$

Câu hỏi trang 75 Toán 10

Bài 8.15 trang 75 SGK Toán 10 Tập 2: a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1+0,02{)}^5$ để tính giá trị gần đúng của $1,{02}^5$.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1,{02}^5$ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức khai triển

$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

Lấy kết quả tính bằng máy tính trừ đi kết quả câu a để tính sai số tuyệt đối.

Lời giải:

a)     Giá trị gần đúng của $1,{02}^5$ là:

$1^5+{5.1}^4.0,02=1,1$

b)    $1,{02}^5=1,104$

Sai số tuyệt đối là: 1,104 - 1,1 = 0,004

Bài 8.16 trang 75 SGK Toán 10 Tập 2: Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%

a)     Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

b)    Với $r=1,5\mathrm{\%}$, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của $(1+0,015{)}^5,$ hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức khai triển

$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

Lời giải:

a) - Số dân tỉnh đó sau 1 năm là: $800+800.r\mathrm{\%}=800.\left(1+r\mathrm{\%}\right)$

- Số dân tỉnh đó sau 2 năm là: $\begin{array}{l}800+800r\mathrm{\%}+(800+800r\mathrm{\%}).r\mathrm{\%}\\ =800+1600.r\mathrm{\%}+800.(r\mathrm{\%}{)}^2=800.(1+2r\mathrm{\%}+(r\mathrm{\%}{)}^2)\\ =800(r\mathrm{\%}+1{)}^2\end{array}$

 - Số dân tỉnh đó sau 5 năm là:   $800.(1+r?\mathrm{\%}{)}^5$

b) Ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa với $r\mathrm{\%}=1,5\mathrm{\%}$là:

$800.(1+0,015{)}^5=800.(1+{5.1}^4.0,015)=860$ (nghìn người)