Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton sách Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh Diều Bài 4: Nhị thức Newton

Câu hỏi trang 18 Toán 10

Câu hỏi khởi động trang 18 Toán lớp 10 Tập 2: Làm thế nào để khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng?

Lời giải:

Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 4; n = 5.

Hoạt động trang 18 Toán lớp 10 Tập 2: Ta đã biết (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a² . b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³.

a) Tính  .

b) Chọn số thích hợp cho trong khai triển sau:

Lời giải:

a) Ta có: $C_3^0=1,C_3^1=3,C_3^2=3,C_3^3=1$

b) Vì (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a² . b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³

và theo câu a) ta có: $C_3^0=1,C_3^1=3,C_3^2=3,C_3^3=1$ .

Vậy ta điền được như sau:

Câu hỏi trang 19 Toán 10

Luyện tập 1 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 + x)⁴.

Lời giải:

Ta có: (2 + x)⁴ = 2⁴ + 4 . 2³ . x + 6 . 2² . x² + 4 . 2 . x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Luyện tập 2 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 − 3y)⁴.

Lời giải:

Ta có: (2 – 3y)⁴ = [2 + (– 3y)]⁴

= 2⁴ + 4 . 2³ . (– 3y) + 6 . 2² . (– 3y)² + 4 . 2 . (– 3y)³ + (– 3y)⁴

= 16 – 96y + 216y² – 216y³ + 81y⁴.

Luyện tập 3 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Tính:

a) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$ ;

b) $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5$ .

Lời giải:

a) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$

$=C_4^0.1^4+C_4^1.1^3.1+C_4^2{.1}^2{.1}^2+C_4^3{\mathrm{.1.1}}^3+C_4^4{.1}^4$

= (1 + 1)⁴

= 2⁴ = 16.

b) $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5$

= $C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.\left(-1\right)+C_5^2{.1}^3.{\left(-1\right)}^2+C_5^3{.1}^2.{\left(-1\right)}^3+C_5^4\mathrm{.1.}{\left(-1\right)}^4+C_5^5.{\left(-1\right)}^5$

= [1 + (– 1)]⁵

= 0⁵ = 0

Bài tập

Bài 1 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + 1)⁴;

b) (3y – 4)⁴;

c) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^4$ ;

d) ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^4$ .

Lời giải:

a) (2x + 1)⁴ = (2x)⁴ + 4 . (2x)³ . 1 + 6 . (2x)² . 1² + 4 . (2x) . 1³ + 1⁴

= 16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1.

b) (3y – 4)⁴ = [3y + (– 4)]⁴

= (3y)⁴ + 4 . (3y)³ . (– 4) + 6 . (3y)² . (– 4)² + 4 . (3y) . (– 4)³ + (– 4)⁴

= 81y⁴ – 432y³ + 864y² – 768y + 256.

c) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^4=x^4+4.x^3.\frac{1}{2}+6.x^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+4.x.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

$=x^4+2x^3+\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$.

d) ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^4={\left(x+\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}^4$

$=x^4+4.x^3.\left(-\frac{1}{3}\right)+6.x^2.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+4.x.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^4$

$=x^4-\frac{4}{3}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2-\frac{4}{27}x+\frac{1}{81}$.

Bài 2 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x + 1)⁵;

b) (x – 3y)⁵.

Lời giải:

a) (x + 1)⁵ = x⁵ + 5 . x⁴ . 1 + 10 . x³ . 1² + 10 . x² . 1³ + 5 . x . 1⁴ + 1⁵

= x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1.

b) (x – 3y)⁵ = [x + (– 3y)]⁵

= x⁵ + 5 . x⁴ . (– 3y) + 10 . x³ . (– 3y)² + 10 . x² . (– 3y)³ + 5 . x . (– 3y)⁴ + (– 3y)⁵

= x⁵ – 15x⁴y + 90x³y² – 270x²y³ + 405xy⁴ – 243y⁵.

Bài 3 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Xác định hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵.

Lời giải:

Số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là $C_5^1.{\left(3x\right)}^4.2$ .

Ta có: $C_5^1.{\left(3x\right)}^4.2=\mathrm{5.81.2.}{x}^4=810x^4$ .

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là 810.

Bài 4 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Cho ${\left(1-\frac{1}{2}x\right)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$.

Tính:

a) a₃;

b) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅.

Lời giải:

Áp dụng nhị thức Newton ta có:

a) a₃ chính là hệ số của x³ trong khai triển biểu thức ${\left(1-\frac{1}{2}x\right)}^5$.

Do đó, $a_3=-\frac{5}{4}$ .

b) Tương tự câu a, ta có: $a_0=1,a_1=-\frac{5}{2},a_2=\frac{5}{2},a_4=\frac{5}{16},a_5=-\frac{1}{32}$.

Do đó, a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = $1+\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)+\frac{5}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)$ .

Vậy a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ $=\frac{1}{32}$ .

Bài 5 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?

Lời giải:

Mỗi cách trích ra một tập con gồm a phần tử trong 5 phần tử của A chính là một tổ hợp chập a của 5, hay số tập con gồm a phần tử của A là $C_5^a$ .

Số tập hợp con có 0 phần tử của A là $C_5^0$ .

Số tập hợp con có 1 phần tử của A là $C_5^1$ .

Số tập hợp con có 2 phần tử của A là $C_5^2$ .

Số tập hợp con có 3 phần tử của A là $C_5^3$ .

Số tập hợp con có 4 phần tử của A là $C_5^4$ .

Số tập hợp con có 5 phần tử của A là $C_5^5$ .

Do đó, số tập hợp con của A là: $C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=32$ .

Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.