Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng

Phương Thảo Ngày: 01-11-2022 Lớp 10

796

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 5 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10: Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} = \vec{0}$

Lời giải:

Không mất tính tổng quát giả sử $O A = O B = O C = O D = O E = 1$

Ta có: $\hat{A O B} = \hat{B O C} = \hat{C O D} = \hat{D O E} = \hat{E O A} = 360^{\circ} : 5 = 72^{\circ}$

+ Dựng hình bình hành OEHB.

Vì OE=OB nên OEHB là hình thoi, suy ra H thuộc tia phân giác của $\hat{E O B}$ hay H thuộc OA.

$\Rightarrow \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O E}) = \vec{O A} + \vec{O H} = \vec{O M}$ với M thuộc OA sao cho OM = OH +OA.

+ Tính OM:

Xét tam giác OHE, ta có:

$\hat{H O E} = 72; O E = H E = 1$ $\Rightarrow \hat{O H E} = 72^{o} \Rightarrow \hat{O E H} = 180^{\circ} - 72^{o} - 72^{o} = 36^{\circ}$

Áp dụng định lí cosin: $O H^{2} = O E^{2} + E H^{2} - 2. O E . O H . \cos E$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow O H^{2} = 1 + 1 - 2. \cos 36^{\circ} \approx 0, 382 \\ \Rightarrow O H = 0, 618 \\ \Rightarrow O M = O H + O A = 0, 618 + 1 = 1, 618 \end{array}$

+ Dựng hình bình hành OCKD, ta có: $\vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O K}$

Vì OC=OD nên OCKD là hình thoi => OK là tia phân giác của $\hat{C O D}$

$\Rightarrow \hat{C O K} = \frac{1}{2} \hat{C O D} = \frac{1}{2} {.72}^{o} = 36^{o}$

$\Rightarrow \hat{K O A} = \hat{K O C} + \hat{C O B} + \hat{B O A} = 36^{\circ} + 72^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$

Hay K, O, A thẳng hàng, do đó K, O, M thẳng hàng (do M thuộc OA).

+Tính OK:

Xét tam giác OCK, ta có:

$\begin{array}{l} O C = C K = 1; \hat{C O K} = 36^{o} \Rightarrow \hat{C K O} = 36^{o} \\ \Rightarrow \hat{O C K} = 180^{o} - 36^{o} - 36^{o} = 108^{o} \\ \Rightarrow O K^{2} = O C^{2} + C K^{2} - 2. O C . C K . \cos \hat{O C K} \\ \Leftrightarrow O K^{2} = 1 + 1 - 2. \cos 108^{o} \approx 2, 618 \\ \Rightarrow O K = 1, 618 = O M \end{array}$

Vậy O là trung điểm KM hay $\vec{O K} + \vec{O M} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} = (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E}) + (\vec{O C} + \vec{O D}) \\ = \vec{O M} + \vec{O K} = \vec{0} (d p c m) \end{array}$