SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Phương Thảo Ngày: 15-02-2023 Lớp 10

531

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Câu hỏi trang 100 SBT Toán 10

Bài 1 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác vuông cân ABC có $A B = A C = a$ .

Tính các tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{C B}$

Lời giải:

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B} . \vec{A C}) = a . a . \cos 90^{\circ} = 0$

Từ A kẻ $\vec{A D} = \vec{C B} \Rightarrow \hat{C A D} = 135^{\circ}; A D = B C = a \sqrt{2}$ , ta có:

$\vec{A C} . \vec{C B} = \vec{A C} . \vec{A D} = A C . C B . \cos (\vec{A C}, \vec{A D}) = a . a \sqrt{2} . \cos 135^{\circ} = - a^{2}$

Bài 2 trang 100 SBT Toán 10: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho $A D = 2 a, A B = a$ . Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích vô hướng $\vec{a_{1}} . \vec{a_{2}} = | \vec{a_{1}} | . | \vec{a_{2}} | . \cos (\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}})$

Lời giải:

ABCD là hình chữ nhật có tâm O và $A D = 2 a, A B = a$ nên ta có:

$A O = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Áp dụng định lí côsin ta tính được $\cos \hat{O A B} = \frac{A B^{2} + A O^{2} - O B^{2}}{2. A B . O A} = \frac{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2}}{2 a . \frac{a \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\begin{array}{l} \vec{A B} . \vec{A O} = | \vec{A B} | . | \vec{A O} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A O}) \\ = A B . A O . \cos \hat{O A B} = a . \frac{a \sqrt{5}}{5} . \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{A B} . \vec{A D} = | \vec{A B} | . | \vec{A D} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A D}) \\ = A B . A D . \cos \hat{D A B} = a .2 a . \cos 90^{\circ} = 0 \end{array}$

Câu hỏi trang 101 SBT Toán 10

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính $A B = 2 R$ . Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau tại I như hình 5.

a) Chứng minh: $\vec{A I} . \vec{A M} = \vec{A I} . \vec{A B}; \vec{B I} . \vec{B N} = \vec{A B} . \vec{B A}$

b) Tính $\vec{A I} . \vec{A M} + \vec{B I} . \vec{B N}$ theo R

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A I} . \vec{A M} = | \vec{A I} | . | \vec{A M} | . \cos (\vec{A I}, \vec{A M}) \\ = A I . A M . \cos 0^{\circ} = A I . A M \end{array}$ (*)

Mặt khác $A M = A B . \cos \hat{M A B}$ , thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A I} . \vec{A M} = A I . A M = A I . A B . \cos \hat{M A B} \\ = | \vec{A I} | . | \vec{A B} | . \cos (\vec{A I}, \vec{A B}) = \vec{A I} . \vec{A B} \end{array}$ (đpcm)

$\begin{array}{l} \vec{B I} . \vec{B N} = | \vec{B I} | . | \vec{B N} | . \cos (\vec{B I}, \vec{B N}) \\ = B I . B N . \cos 0^{\circ} = B I . B N \end{array}$ (**)

Mặt khác $B N = B A . \cos \hat{N B A}$ , thay vào (**) ta có:

$\begin{array}{l} \vec{B I} . \vec{B N} = B I . B N = B I . B A . \cos \hat{N B A} \\ = | \vec{B I} | . | \vec{B A} | . \cos (\vec{B I}, \vec{B A}) = \vec{B I} . \vec{B A} \end{array}$ (đpcm)

b) Từ kết quả của câu a) ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A I} . \vec{A M} + \vec{B I} . \vec{B N} = \vec{A I} . \vec{A B} + \vec{B I} . \vec{B A} = \vec{A I} . \vec{A B} + \vec{B I} . (- \vec{A B}) \\ = \vec{A I} . \vec{A B} - \vec{A B} . \vec{B I} = \vec{A B} (\vec{A I} - \vec{B I}) = \vec{A B} (\vec{A I} + \vec{I B}) = {\vec{A B}}^{2} \\ = A B^{2} = {(2 R)}^{2} = 4 R^{2} \end{array}$

Vậy $\vec{A I} . \vec{A M} + \vec{B I} . \vec{B N} = 4 R^{2}$

Bài 4 trang 101 SBT Toán 10: Tính công sinh ra bởi một lực $\vec{F}$ có độ lớn 60N kéo theo một vật di chuyển một vectơ $\vec{d}$ có độ dài 200 m. Cho biết $(\vec{F}, \vec{d}) = 60^{\circ}$

Lời giải:

Ta có công thức tính công sinh ra bởi lực $\vec{F}$ là $A = \vec{F} \vec{d} = | \vec{F} | | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d}) \Rightarrow A = 60.200. \cos 60^{\circ} = 6000$

Vậy độ lớn công sinh ra bởi lực $\vec{F}$ là 6000 J

Bài 5 trang 101 SBT Toán 10: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 6 và 8 và có tích vô hướng là 24. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Ta có $\vec{a_{1}} . \vec{a_{2}} = | \vec{a_{1}} | . | \vec{a_{2}} | . \cos (\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}) \Rightarrow 24 = 6.8. \cos (\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}})$