15 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto (Chân trời sáng tạo) có đáp án

15 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto (Chân trời sáng tạo) có đáp án - Toán 10

Phương Thảo Ngày: 08-03-2024 Lớp 10

Tải xuống 14 327 3

Toptailieu.vn xin giới thiệu 15 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 10 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

18 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto (có đáp án) chọn lọc

Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = $\sqrt{2}$ , AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B D}$ .

A. 89°;

B. 92°;

C. 109°;

D. 91°.

Đáp án: C

15 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Tam giác ACD vuông tại D: $\cos \hat{C A D} = \frac{A D}{A C}$ .

Tam giác ABC vuông tại B: $\cos \hat{C A B} = \frac{A B}{A C}$ .

Ta có $\vec{A C} . \vec{B D} = \vec{A C} . (\vec{A D} - \vec{A B}) = \vec{A C} . \vec{A D} - \vec{A C} . \vec{A B}$ .

$= A C . A D . \cos \hat{C A D} - A C . A B . \cos \hat{C A B}$

$= A C . A D . \frac{A D}{A C} - A C . A B . \frac{A B}{A C}$

= AD² – AB² = 1 – 2 = –1.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = $\sqrt{2}$ và AC = BD.

Tam giác ACD vuông tại D: AC² = AD² + CD² (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow A C^{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = 3$

$\Rightarrow A C = \sqrt{3}$ .

Do đó BD = AC = $\sqrt{3}$ .

Lại có: $\vec{A C} . \vec{B D} = A C . B D . \cos (\vec{A C}, \vec{B D})$

$\Leftrightarrow - 1 = \sqrt{3} . \sqrt{3} . \cos (\vec{A C}, \vec{B D})$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{B D}) = \frac{- 1}{3}$ .

$\Rightarrow (\vec{A C}, \vec{B D}) \approx 109 ° 28^{'}$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 2. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính $(\vec{A H}, \vec{B A})$ .

A. 30°;

B. 60°;

C. 120°;

D. 150°.

Đáp án: D

15 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Vẽ $\vec{A E} = \vec{B A}$ .

Khi đó ta có $(\vec{A H}, \vec{B A}) = (\vec{A H}, \vec{A E}) = \hat{H A E} = α$ .

Tam giác ABC đều có AH là đường cao.

Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.

Tam giác ABC đều, suy ra $\hat{B A C} = 60 °$ .

Do đó $\hat{H A B} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .60 ° = 30 °$ .

Ta có: $\hat{H A E} + \hat{H A B} = 180 °$ (hai góc kề bù)

$\Leftrightarrow \hat{H A E} = 180 ° - 30 ° = 150 °$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 3. Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác $\vec{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\vec{a} . \vec{b} = (\vec{a}) . (\vec{b})$ ;

B. $\vec{a} . \vec{b} = 0$ ;

C. $\vec{a} . \vec{b} = - 1$ ;

D. $\vec{a} . \vec{b} = - (\vec{a}) . (\vec{b})$ .

Đáp án: A

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = (\vec{a}) . (\vec{b}) . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Vì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác $\vec{0}$ nên $(\vec{a}, \vec{b}) = 0 °$ , suy ra $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = 1$ .

Ta suy ra $\vec{a} . \vec{b} = (\vec{a}) . (\vec{b})$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 4. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $(\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{A B} = 0$ là:

A. Tam giác OAB đều;

B. Tam giác OAB cân tại O;

C. Tam giác OAB vuông tại O;

D. Tam giác OAB vuông cân tại O.

Đáp án: B

Ta có $(\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow (\vec{O A} + \vec{O B}) . (\vec{O B} - \vec{O A}) = 0$

$\Leftrightarrow {\vec{O B}}^{2} - {\vec{O A}}^{2} = 0$

⇔ OB² – OA² = 0

⇔ OB = OA.

Do đó tam giác OAB cân tại O.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 5. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $(\vec{a}) = 3$ , $(\vec{b}) = 2$ và $\vec{a} . \vec{b} = - 3$ . Xác định góc α giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

A. α = 30°;

B. α = 45°;

C. α = 60°;

D. α = 120°.

Đáp án: D

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = (\vec{a}) . (\vec{b}) . \cos (\vec{a}, \vec{b})$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{(\vec{a}) . (\vec{b})} = \frac{- 3}{3.2} = \frac{- 1}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$ .

Câu 6. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. $\vec{M N} (\vec{N P} + \vec{P Q}) = \vec{M N} . \vec{N P} + \vec{M N} . \vec{P Q}$ ;

B. $\vec{M P} . \vec{M N} = - \vec{M N} . \vec{M P}$ ;

C. $\vec{M N} . \vec{P Q} = \vec{P Q} . \vec{M N}$ ;

D. $(\vec{M N} - \vec{P Q}) (\vec{M N} + \vec{P Q}) = M N^{2} - P Q^{2}$ .

Đáp án: B

Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.

Đáp án B sai. Sửa lại: $\vec{M P} . \vec{M N} = \vec{M N} . \vec{M P}$ .

Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.

Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.

Câu 7. Cho AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính $\vec{C A} . \vec{C B}$ .

A. $\vec{C A} . \vec{C B}$ = 13;

B. $\vec{C A} . \vec{C B}$ = 15;

C. $\vec{C A} . \vec{C B}$ = 17;

D. $\vec{C A} . \vec{C B}$ = 19.

Đáp án: B

Ta có 2 + 3 = 5 (cm). Ta suy ra AB + BC = AC.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

(A, B, C không thể là ba đỉnh của tam giác vì không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\hat{A C B} = 0 °$ . Do đó $(\vec{C A}, \vec{C B}) = \hat{A C B} = 0 °$ .

Khi đó $\vec{C A} . \vec{C B} = C A . C B . \cos (\vec{C A}, \vec{C B}) = 3.5. \cos 0 ° = 15$ .

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $P = \vec{A C} . (\vec{C D} + \vec{C A})$ .

A. P = – 1;

B. P = 3a²;

C. P = – 3a²;

D. P = 2a².

Đáp án: C

Tam giác ABC vuông tại B: AC² = AB² + BC² (Định lý Pytago)

⇔ AC² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow A C = a \sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên $\hat{A C D} = 45 °$ .

Ta có $P = \vec{A C} . (\vec{C D} + \vec{C A}) = - \vec{C A} . (\vec{C D} + \vec{C A}) = - \vec{C A} . \vec{C D} - {\vec{C A}}^{2}$

$= - C A . C D . \cos (\vec{C A}, \vec{C D}) - C A^{2} = - a \sqrt{2} . a . \cos 45 ° - 2 a^{2} = - 3 a^{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 9. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng $(\vec{A B}, \vec{D C}) + (\vec{A D}, \vec{C B}) + (\vec{C O}, \vec{D C})$ .

A. 45°;

B. 405°;

C. 315°;

D. 225°.

Đáp án: C

15 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Ta có $\vec{A B}, \vec{D C}$ cùng hướng nên $(\vec{A B}, \vec{D C}) = 0 °$ .

Ta có $\vec{A D}, \vec{C B}$ ngược hướng nên $(\vec{A D}, \vec{C B}) = 180 °$ .

Vẽ $\vec{C E} = \vec{D C}$ . Khi đó ta có $(\vec{C O}, \vec{D C}) = (\vec{C O}, \vec{C E}) = \hat{O C E}$ .

Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên $\hat{O C B} = 45 °$ .

Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)

Suy ra BC ⊥ CE, do đó $\hat{B C E} = 90 °$ .

Ta có $\hat{O C E} = \hat{O C B} + \hat{B C E} = 45 ° + 90 ° = 135 °$ .

Vậy $(\vec{A B}, \vec{D C}) + (\vec{A D}, \vec{C B}) + (\vec{C O}, \vec{D C}) = 0 ° + 180 ° + 135 ° = 315 °$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 10. Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ .

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = 2 a^{2}$ ;

B. $\vec{A B} . \vec{A C} = - \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ ;

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = - \frac{a^{2}}{2}$ ;

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{a^{2}}{2}$ .

Đáp án: D

Ta có $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = \hat{A}$ .

Tam giác ABC đều nên $\hat{A} = 60 °$ .

Do đó $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{A} = 60 °$ .

Suy ra $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . \cos 60 ° = \frac{a^{2}}{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 11.Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính $P = (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C}$ .

A. P = b² – c²;

B. $P = \frac{b^{2} + c^{2}}{2}$ ;

C. $P = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{3}$ ;

D. $P = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2}$ .

Đáp án: A

Ta có $P = (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= (\vec{A C} + \vec{A B}) (\vec{A C} - \vec{A B}) = {\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = A C^{2} - A B^{2} = b^{2} - c^{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tính $\vec{A B} . \vec{B D}$ .

A. $\vec{A B} . \vec{B D}$ = 62;

B. $\vec{A B} . \vec{B D}$ = 64;

C. $\vec{A B} . \vec{B D}$ = –62;

D. $\vec{A B} . \vec{B D}$ = –64.

Đáp án: D

Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ $\vec{A B}, \vec{B D}$ theo các vectơ vuông góc với nhau.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB ⊥ BC.

Suy ra $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$ .

Do đó $\vec{A B} . \vec{B C} = 0$ .

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{B C}$ .

Ta có $\vec{A B} . \vec{B D} = \vec{A B} . (\vec{B A} + \vec{B C}) = \vec{A B} . \vec{B A} + \vec{A B} . \vec{B C}$

$= - \vec{A B} . \vec{A B} + 0 = - {\vec{A B}}^{2} = - A B^{2} = - 64$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 13. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\vec{M A} . \vec{B C} = 0$ là:

A. một điểm;

B. đường thẳng;

C. đoạn thẳng;

D. đường tròn.

Đáp án: B

Ta có $\vec{M A} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow \vec{M A} ⊥ \vec{B C} \Leftrightarrow M A ⊥ B C$ .

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 14. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a. Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$ .

A. $\vec{A B} . \vec{B C} = - a^{2}$ ;

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = a^{2}$ ;

C. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ >;

D. $\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Đáp án: A

15 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Vẽ $\vec{B D} = \vec{A B}$ .

Ta có $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{B D}, \vec{B C}) = \hat{C B D}$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra $\hat{A B C} = 45 °$ .

Ta có $\hat{A B C} + \hat{C B D} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Khi đó ta được $\hat{C B D} = 180 ° - 45 ° = 135 °$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Pytago)

⇔ BC² = 2a²

$\Rightarrow B C = a \sqrt{2}$ .

Do đó $\vec{A B} . \vec{B C} = A B . B C . \cos (\vec{A B}, \vec{B C}) = a . a \sqrt{2} . \cos 135 ° = - a^{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 15. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\vec{M A} (\vec{M B} + \vec{M C}) = 0$ là:

A. một điểm;

B. đường thẳng;

C. đoạn thẳng;

D. đường tròn.

Đáp án: D

Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra $\vec{M B} + \vec{M C} = 2 \vec{M I}$ .

Ta có $\vec{M A} (\vec{M B} + \vec{M C}) = 0 \Leftrightarrow \vec{M A} .2 \vec{M I} = 0 \Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M I} = 0 \Leftrightarrow \vec{M A} ⊥ \vec{M I}$ (*)

Biểu thức (*) chứng tỏ MA ⊥ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông.

Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính AI.

Vậy ta chọn đáp án D.

Tài liệu có 14 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Giải bài tập Toán 10

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tài liệu cùng môn học

Toán Lớp 7 pdf

Lý thuyết Ôn tập chương 7 (Cánh Diều) Toán 7 Giang Tiêu đề (copy ở trên xuống) - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.

679 47 14

Toán Lớp 7 pdf

Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 Giang Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.

582 12 6

Toán Lớp 7 pdf

Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 Giang Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.

659 12 9

Toán Lớp 7 pdf

Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 Giang Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.

648 13 8