Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:
Nội dung bài viết
Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ
1. GÓC GIỮA HAI VECTO
HĐ Khám phá 1 trang 98 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).
a) Tính ^IDC.
b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C
c) Tìm hai vectơ có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ →IBvà →AB
Lời giải
a) I là tâm của ABCD, suy ra ^IDC=45∘
b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là →DI
Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là →DC
c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ →IB là →DI
Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ →AB là →DC
(→AB,→AC),(→AB,→BC),(→AH,→BC),(→BH,→BC),(→HB,→BC).
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định hai vectơ cần tìm góc
Bước 2: Đưa 2 vectơ về cùng điểm đầu (chung gốc)
Bước 3: Xác định góc giữa 2 vectơ, chẳng hạn: (→AB,→AC)=^BAC
Lời giải
+) (→AB,→AC)=^ABC=60∘
+) Dựng hình bình hành ABCD, ta có: →AD=→BC
⇒(→AB,→BC)=(→AB,→AD)=^BAD=120∘
+), Ta có: ABC là tam giác đều, H là trung điểm BC nên AH⊥BC
(→AH,→BC)=(→AH,→AD)=^HAD=90∘
+) Hai vectơ →BH và →BCcùng hướng nên (→BH,→BC)=0∘
+) Hai vectơ →HB và →BCngược hướng nên (→HB,→BC)=180∘
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
Lời giải
Theo giả thiết ta có: A=|→F|.|→d|.cos(→F,→d)
⇒A=10.100.cos45∘=500√2(J)
Vậy công sinh bởi lực →F là 500√2 (J)
Thực hành 2 trang 100 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng √2.
Tính các tích vô hướng: →AB.→AC,→AC.→BC,→BA.→BC
Phương pháp giải:
Bước 1: Vận dụng công thức →AB.→AC=|→AB|.|→AC|.cos(→AB,→AC)
Bước 2: Xác định độ dài cạnh AB, AC và góc giữa hai vecto (→AB,→AC)=^BAC
Lời giải
+) Ta có: AB⊥AC⇒→AB⊥→AC⇒→AB.→AC=0
+) →AC.→BC=|→AC|.|¯BC|.cos(→AC,→BC)
Ta có: BC=√AB2+AC2=√2⇔√2AC2=√2⇒AC=1
⇒→AC.→BC=1.√2.cos(45∘)=1
+) →BA.→BC=|→BA|.|→BC|.cos(→BA,→BC)=1.√2.cos(45∘)=1
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức →a.→b=|→a|.|→b|.cos(→a,→b)⇒cos(→a,→b)=→a.→b|→a|.|→b|
Lời giải
Ta có: →a.→b=|→a|.|→b|.cos(→a,→b)
⇔12√2=3.8.cos(→a,→b)⇔cos(→a,→b)=√22
⇒(→a,→b)=45∘
Vậy góc giữa hai vectơ →a và →b là 45∘
Phương pháp giải:
Công thức tính công: A=→F.→d
Tích vô hướng: →F.→d=|→F|.|→d|.cos(→F,→d)
Lời giải
Gọi vectơ dịch chuyển của vật là →d, ta có |→d|=50.
Theo giả thiết →F và →d cùng hướng nên (→F,→d)=0∘
Công sinh ra bởi lực →Fđược tính bằng:
A=→F.→d=|→F|.|→d|.cos(→F,→d)=20.50.cos0∘=1000 (J)
3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Thực hành 4 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ →i,→j vuông góc có cùng độ dài bằng 1.
a) Tính (→i+→j)2;(→i−→j)2;(→i+→j)(→i−→j).
b) Cho →a=2→i+2→j,→b=3→i−3→j. Tính tích vô hướng →a.→b và tính góc (→a,→b)
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ
Lời giải
a) Ta có hai vectơ →i và →j vuông góc nên →i.→j=0
+) (→i+→j)2=(→i)2+(→j)2+2→i.→j=|→i|2+|→j|2=1+1=2
+) (→i+→j)2=(→i)2+(→j)2−2→i.→j=|→i|2+|→j|2=1+1=2
+) (→i+→j)(→i−→j)=(→i)2−(→j)2=|→i|2−|→j|2=1−1=0
b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:
→a.→b=(2→i+2→j).(3→i−3→j)=2.3.(→i+→j).(→i−→j)=6.0=0
→a.→b=0⇒→a⊥→b⇒(→a,→b)=90∘
Phương pháp giải:
Sử dụng kết quả của ví dụ 4 trang 101 c2=a2+b2−2bc.cosC
Lời giải
Từ điểm cuối của vectơ →μ1 vẽ vectơ →μ3=→μ2
Suy ra →μ=→μ1+→μ2=→μ1+→μ3⇒|→μ|=|→μ1+→μ3|
Ta có: (→μ1,→μ2)=120∘⇒(→μ1,→μ3)=60∘
⇒|→μ|2=|→μ1|2+|→μ3|2−2|→μ1||→μ3|cos(→μ1,→μ3)
=1,62+1,62−2.1,6.1,6.cos60∘=6425
⇒|→μ|=√6425=1,6
Vậy độ dài của →μ là 1,6 đơn vị
Bài tập
Bài 1 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
→AB.→AD,→AB.→AC,→AC.→CB,→AC.→BD
Phương pháp giải
Bước 1: Sử dụng công thức →a.→b=|→a|.|→b|cos(→a,→b)
Bước 2: Tính |→a|,|→b| và góc (→a,→b)
Lời giải
Ta có: AC=BD=√AB2+BC2=√a2+a2=a√2
+) AB⊥AD⇒→AB⊥→AD⇒→AB.→AD=0
+) →AB.→AC=|→AB|.|→AC|.cos(→AB,→AC)=a.a.cos45∘=a2√22
+) →AC.→CB=|→AC|.|→CB|.cos(→AC,→CB)=a√2.a.cos135∘=−a2
+) AC⊥BD⇒→AC⊥→BD⇒→AC.→BD=0
Chú ý
→a⊥→b⇔→a.→b=0
Bài 2 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:
a) →AB.→AO;
b) →AB.→AD.
Phương pháp giải
a) Bước 1: Tính đường chéo AC, BD
Bước 2: Xác định số đo góc ^OAB
Bước 3: Sử dụng công thức →a.→b=|→a|.|→b|cos(→a,→b)
b) Sử dụng công thức →a.→b=|→a|.|→b|cos(→a,→b)
Lời giải
a)AC=BD=√AB2+AD2=√(2a)2+a2=a√5
cos(→AB,→AO)=cos^OAB=cos^CAB=ABAC=2aa√5=2√55
→AB.→AO=|→AB|.|→AO|.cos(→AB,→AO)=AB.12AC.cos(→AB,→AO)=2a.12.a√5.2√55=2a2
b) AB⊥AD⇒→AB⊥→AD⇒→AB.→AD=0
a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;
b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định góc giữa hai vectơ: →avà →b cùng hướng thì (→a,→b)=0∘
Nếu →avà →b ngược hướng thì (→a,→b)=180∘
Bước 2: Sử dụng công thức →a.→b=|→a|.|→b|cos(→a,→b)
Lời giải
a) Ta có:
Ta thấy hai vectơ →OA và →OB cùng hướng nên (→OA,→OB)=0∘
⇒→OA.→OB=|→OA|.|→OB|.cos(→OA,→OB)=a.b.cos0∘=ab
b) Ta có:
Ta thấy hai vectơ →OA và →OB ngược hướng nên (→OA,→OB)=180∘
⇒→OA.→OB=|→OA|.|→OB|.cos(→OA,→OB)=a.b.cos180∘=−ab
Phương pháp giải
Sử dụng hằng đẳng thức a2−b2=(a−b)(a+b) phân tích →MO2−→OA2
Lời giải
Ta có: →OA+→OB=→0⇔−→OA=→OB
⇒→MO2−→OA2=(→MO−→OA)(→MO+→OA)=(→MO+→OB)(→MO+→OA)=→MB.→MA(đpcm)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính công: A=→F.→d→F
Lời giải
Công sinh bởi lực →F được tính bằng công thức
A=→F.→d=|→F|.|→d|.cos(→F,→d)=90.100.cos60∘=4500 (J)
Vậy công sinh bởi lực →F có độ lớn bằng 4500 (J)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức →a.→b=|→a|.|→b|cos(→a,→b)
Lời giải
Ta cho: |→a|=3;|→b|=4 và →a.→b=−6
Ta có công thức:
→a.→b=|→a|.|→b|.cos(→a,→b)=3.4.cos(→a,→b)
→a.→b=−6⇒3.4.cos(→a,→b)=−6⇒cos(→a,→b)=−12
⇒(→a,→b)=120∘
Lý thuyết Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ
1. GÓC GIỮA HAI VECTO
Cho hai vecto →u và →v khác →0. Góc giữa hai vecto →u và →v , kí hiệu (→u,→v)
a) Cách xác định góc:
Chọn điểm A bất kì, vẽ →AB=→u và →AC=→v. Khi đó (→u,→v)=^BAC.
b) Các trường hợp đặc biệt:
+) (→u,→0)=α tùy ý, với 0∘≤α≤180∘
+) (→u,→v)=90∘⇔→u⊥→v hoặc →v⊥→u. Đặc biệt: →0⊥→u∀→u
+) (→u,→v)=0∘⇔→u,→v cùng hướng
+) (→u,→v)=180∘⇔→u,→v ngược hướng
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
+) Tích vô hướng của hai vecto →u,→v: →u.→v=|→u|.|→v|.cos(→u,→v)
+) →u.→v=0⇔→u⊥→v
+) →u.→u=→u2=|→u|.|→u|.cos0∘=|→u|2
3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Cho 3 vecto →u,→v,→w bất kì và mọi số thực k, ta có:
→u.→v=→v.→u→u.(→v+→w)=→u.→v+→u.→w(k→u).→v=k.(→u.→v)=→u.(k→v)
Hệ quả
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.