Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Hoàng Huyền Trang Ngày: 10-02-2023 Lớp 10

547

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

1. GÓC GIỮA HAI VECTO

HĐ Khám phá 1 trang 98 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a) Tính $\hat{I D C}$ .

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C

c) Tìm hai vectơ có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ $\vec{I B}$ và $\vec{A B}$

HĐ Khám phá 1 trang 98 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

a) I là tâm của ABCD, suy ra $\hat{I D C} = 45^{\circ}$

b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là $\vec{D I}$

Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là $\vec{D C}$

c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\vec{I B}$ là $\vec{D I}$

Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\vec{A B}$ là $\vec{D C}$

Câu hỏi trang 99 Toán 10

Thực hành 1 trang 99 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc:

$(\vec{A B}, \vec{A C}), (\vec{A B}, \vec{B C}), (\vec{A H}, \vec{B C}), (\vec{B H}, \vec{B C}), (\vec{H B}, \vec{B C})$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hai vectơ cần tìm góc

Bước 2: Đưa 2 vectơ về cùng điểm đầu (chung gốc)

Bước 3: Xác định góc giữa 2 vectơ, chẳng hạn: $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

Lời giải

+) $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{A B C} = 60^{\circ}$

+) Dựng hình bình hành ABCD, ta có: $\vec{A D} = \vec{B C}$

$\Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D} = 120^{\circ}$

Thực hành 1 trang 99 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

+), Ta có: ABC là tam giác đều, H là trung điểm BC nên $A H ⊥ B C$

$(\vec{A H}, \vec{B C}) = (\vec{A H}, \vec{A D}) = \hat{H A D} = 90^{\circ}$

+) Hai vectơ $\vec{B H}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng nên $(\vec{B H}, \vec{B C}) = 0^{\circ}$

Thực hành 1 trang 99 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

+) Hai vectơ $\vec{H B}$ và $\vec{B C}$ ngược hướng nên $(\vec{H B}, \vec{B C}) = 180^{\circ}$

Thực hành 1 trang 99 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

HĐ Khám phá 2 trang 99 Toán 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có cường độ là 10 N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ , biết rằng góc giữa vectơ $\vec{F}$ và hướng di chuyển là $45^{\circ}$ . (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\vec{F}$ , độ dài quãng đường và côsin các góc giữa vectơ $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{d}$ ).

HĐ Khám phá 2 trang 99 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

Theo giả thiết ta có: $A = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d})$

$\Rightarrow A = 10.100. \cos 45^{\circ} = 500 \sqrt{2} (J)$

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $500 \sqrt{2}$ (J)

Câu hỏi trang 100 Toán 10

Thực hành 2 trang 100 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$ .

Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Vận dụng công thức $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

Bước 2: Xác định độ dài cạnh AB, AC và góc giữa hai vecto $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

Lời giải

Thực hành 2 trang 100 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

+) Ta có: $A B ⊥ A C \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A C} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

+) $\vec{A C} . \vec{B C} = | \vec{A C} | . | \bar{B C} | . \cos (\vec{A C}, \vec{B C})$

Ta có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2 A C^{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow A C = 1$

$\Rightarrow \vec{A C} . \vec{B C} = 1. \sqrt{2} . \cos (45^{\circ}) = 1$

+) $\vec{B A} . \vec{B C} = | \vec{B A} | . | \vec{B C} | . \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = 1. \sqrt{2} . \cos (45^{\circ}) = 1$

Thực hành 3 trang 100 Toán 10 Tập 1: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 có tích vô hướng là $12 \sqrt{2}$ .Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Lời giải

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b})$

$\Leftrightarrow 12 \sqrt{2} = 3.8. \cos (\vec{a}, \vec{b}) \Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$

Vậy góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $45^{\circ}$

Vận dụng 1 trang 100 Toán 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\vec{F}$ . Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Phương pháp giải:

Công thức tính công: $A = \vec{F} . \vec{d}$

Tích vô hướng: $\vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d})$

Lời giải

Gọi vectơ dịch chuyển của vật là $\vec{d}$ , ta có $| \vec{d} | = 50$ .

Theo giả thiết $\vec{F}$ và $\vec{d}$ cùng hướng nên $(\vec{F}, \vec{d}) = 0^{\circ}$

Công sinh ra bởi lực $\vec{F}$ được tính bằng:

$A = \vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 20.50. \cos 0^{\circ} = 1000$ (J)

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Câu hỏi trang 101 Toán 10

Thực hành 4 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc có cùng độ dài bằng 1.

a) Tính ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ

Lời giải

a) Ta có hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nên $\vec{i} . \vec{j} = 0$

+) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {(\vec{i})}^{2} + {(\vec{j})}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} = {| \vec{i} |}^{2} + {| \vec{j} |}^{2} = 1 + 1 = 2$

+) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {(\vec{i})}^{2} + {(\vec{j})}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} = {| \vec{i} |}^{2} + {| \vec{j} |}^{2} = 1 + 1 = 2$

+) $(\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j}) = {(\vec{i})}^{2} - {(\vec{j})}^{2} = {| \vec{i} |}^{2} - {| \vec{j} |}^{2} = 1 - 1 = 0$

b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = (2 \vec{i} + 2 \vec{j}) . (3 \vec{i} - 3 \vec{j}) = 2.3. (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = 6.0 = 0$

$\vec{a} . \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$

Vận dụng 2 trang 101 Toán 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide $(S O_{2})$ có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\hat{O S O}$ gần bằng $120^{\circ}$ . Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S và nguyên tử O bằng các vectơ $\vec{μ_{1}}$ và $\vec{μ_{2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\vec{μ}$ .

Vận dụng 2 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của ví dụ 4 trang 101 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 b c . \cos C$

Lời giải

Từ điểm cuối của vectơ $\vec{μ_{1}}$ vẽ vectơ $\vec{μ_{3}} = \vec{μ_{2}}$

Suy ra $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{3}} \Rightarrow | \vec{μ} | = | \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{3}} |$

Ta có: $(\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}}) = 120^{\circ} \Rightarrow (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{3}}) = 60^{\circ}$

$\Rightarrow {| \vec{μ} |}^{2} = {| \vec{μ_{1}} |}^{2} + {| \vec{μ_{3}} |}^{2} - 2 | \vec{μ_{1}} | | \vec{μ_{3}} | \cos (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{3}})$

$= 1, 6^{2} + 1, 6^{2} - 2.1, 6.1, 6. \cos 60^{\circ} = \frac{64}{25}$

$\Rightarrow | \vec{μ} | = \sqrt{\frac{64}{25}} = 1, 6$

Vậy độ dài của $\vec{μ}$ là 1,6 đơn vị

Bài tập

Bài 1 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

$\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{C B}, \vec{A C} . \vec{B D}$

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Bước 2: Tính $| \vec{a} |, | \vec{b} |$ và góc $(\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải

Bài 1 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: $A C = B D = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

+) $A B ⊥ A D \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . \cos 45^{\circ} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

+) $\vec{A C} . \vec{C B} = | \vec{A C} | . | \vec{C B} | . \cos (\vec{A C}, \vec{C B}) = a \sqrt{2} . a . \cos 135^{\circ} = - a^{2}$

+) $A C ⊥ B D \Rightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B D} \Rightarrow \vec{A C} . \vec{B D} = 0$

Chú ý

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$

Bài 2 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$ .

Phương pháp giải

a) Bước 1: Tính đường chéo AC, BD

Bước 2: Xác định số đo góc $\hat{O A B}$

Bước 3: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

b) Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải

a) $A C = B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} = a \sqrt{5}$

$\cos (\vec{A B}, \vec{A O}) = \cos \hat{O A B} = \cos \hat{C A B} = \frac{A B}{A C} = \frac{2 a}{a \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Bài 2 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

$\begin{array}{l} \vec{A B} . \vec{A O} = | \vec{A B} | . | \vec{A O} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A O}) \\ = A B . \frac{1}{2} A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A O}) \\ = 2 a . \frac{1}{2} . a \sqrt{5} . \frac{2 \sqrt{5}}{5} = 2 a^{2} \end{array}$

b) $A B ⊥ A D \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Bài 3 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA=a, OB=b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định góc giữa hai vectơ: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{\circ}$

Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng thì $(\vec{a}, \vec{b}) = 180^{\circ}$

Bước 2: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải

a) Ta có:

Bài 3 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta thấy hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ cùng hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 0^{\circ}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = a . b . \cos 0^{\circ} = a b$

b) Ta có:

Bài 3 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Ta thấy hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = a . b . \cos 180^{\circ} = - a b$

Bài 4 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$\vec{M A} . \vec{M B} = {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ phân tích ${\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$

Lời giải

Bài 4 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0} \Leftrightarrow - \vec{O A} = \vec{O B}$

$\Rightarrow {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2} = (\vec{M O} - \vec{O A}) (\vec{M O} + \vec{O A}) = (\vec{M O} + \vec{O B}) (\vec{M O} + \vec{O A}) = \vec{M B} . \vec{M A}$ (đpcm)

Bài 5 trang 101 Toán 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực hợp $\vec{F}$ với hướng dịch chuyển là một góc $60^{\circ}$ . Tính công sinh bởi lực

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính công: $A = \vec{F} . \vec{d}$ $\vec{F}$

Lời giải

Bài 5 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ được tính bằng công thức

$A = \vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 90.100. \cos 60^{\circ} = 4500$ (J)

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ có độ lớn bằng 4500 (J)

Bài 6 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 có tích vô hướng là $- 6$ . Tính góc giữa hai vectơ đó.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải

Ta cho: $| \vec{a} | = 3; | \vec{b} | = 4$ và $\vec{a} . \vec{b} = - 6$

Ta có công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 3.4. \cos (\vec{a}, \vec{b})$

$\vec{a} . \vec{b} = - 6 \Rightarrow 3.4. \cos (\vec{a}, \vec{b}) = - 6 \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 120^{\circ}$

Lý thuyết Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

1. GÓC GIỮA HAI VECTO

Cho hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Góc giữa hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , kí hiệu $(\vec{u}, \vec{v})$

a) Cách xác định góc:

Chọn điểm A bất kì, vẽ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó $(\vec{u}, \vec{v}) = \hat{B A C}$ .

b) Các trường hợp đặc biệt:

+) $(\vec{u}, \vec{0}) = α$ tùy ý, với $0^{\circ} \leq α \leq 180^{\circ}$

+) $(\vec{u}, \vec{v}) = 90^{\circ} \Leftrightarrow \vec{u} ⊥ \vec{v}$ hoặc $\vec{v} ⊥ \vec{u}$ . Đặc biệt: $\vec{0} ⊥ \vec{u} \forall \vec{u}$

+) $(\vec{u}, \vec{v}) = 0^{\circ} \Leftrightarrow \vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng

+) $(\vec{u}, \vec{v}) = 180^{\circ} \Leftrightarrow \vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

+) Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ : $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

+) $\vec{u} . \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} ⊥ \vec{v}$

+) $\vec{u} . \vec{u} = {\vec{u}}^{2} = | \vec{u} | . | \vec{u} | . \cos 0^{\circ} = {| \vec{u} |}^{2}$

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Cho 3 vecto $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có:

$\begin{array}{l} \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} \\ \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} \\ (k \vec{u}) . \vec{v} = k . (\vec{u} . \vec{v}) = \vec{u} . (k \vec{v}) \end{array}$

Hệ quả

$\begin{array}{l} \vec{u} . (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} - \vec{u} . \vec{w} \\ {(\vec{u} + \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} + 2 \vec{u} . \vec{v} + {\vec{v}}^{2}; {(\vec{u} - \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} - 2 \vec{u} . \vec{v} + {\vec{v}}^{2} \\ (\vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) = {\vec{u}}^{2} - {\vec{v}}^{2} \end{array}$