Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 101 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Giang Ngày: 10-02-2023 Lớp 10

279

Với giải Câu hỏi trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo trong Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 101 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Thực hành 4 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc có cùng độ dài bằng 1.

a) Tính ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ

Lời giải

a) Ta có hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nên $\vec{i} . \vec{j} = 0$

+) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {(\vec{i})}^{2} + {(\vec{j})}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} = {| \vec{i} |}^{2} + {| \vec{j} |}^{2} = 1 + 1 = 2$

+) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {(\vec{i})}^{2} + {(\vec{j})}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} = {| \vec{i} |}^{2} + {| \vec{j} |}^{2} = 1 + 1 = 2$

+) $(\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j}) = {(\vec{i})}^{2} - {(\vec{j})}^{2} = {| \vec{i} |}^{2} - {| \vec{j} |}^{2} = 1 - 1 = 0$

b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = (2 \vec{i} + 2 \vec{j}) . (3 \vec{i} - 3 \vec{j}) = 2.3. (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = 6.0 = 0$

$\vec{a} . \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$

Vận dụng 2 trang 101 Toán 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide $(S O_{2})$ có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\hat{O S O}$ gần bằng $120^{\circ}$ . Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S và nguyên tử O bằng các vectơ $\vec{μ_{1}}$ và $\vec{μ_{2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\vec{μ}$ .

Vận dụng 2 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của ví dụ 4 trang 101 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 b c . \cos C$

Lời giải

Từ điểm cuối của vectơ $\vec{μ_{1}}$ vẽ vectơ $\vec{μ_{3}} = \vec{μ_{2}}$

Suy ra $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{3}} \Rightarrow | \vec{μ} | = | \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{3}} |$

Ta có: $(\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}}) = 120^{\circ} \Rightarrow (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{3}}) = 60^{\circ}$

$\Rightarrow {| \vec{μ} |}^{2} = {| \vec{μ_{1}} |}^{2} + {| \vec{μ_{3}} |}^{2} - 2 | \vec{μ_{1}} | | \vec{μ_{3}} | \cos (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{3}})$

$= 1, 6^{2} + 1, 6^{2} - 2.1, 6.1, 6. \cos 60^{\circ} = \frac{64}{25}$

$\Rightarrow | \vec{μ} | = \sqrt{\frac{64}{25}} = 1, 6$

Vậy độ dài của $\vec{μ}$ là 1,6 đơn vị

Bài tập

Bài 1 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

$\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{C B}, \vec{A C} . \vec{B D}$

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Bước 2: Tính $| \vec{a} |, | \vec{b} |$ và góc $(\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải

Bài 1 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: $A C = B D = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

+) $A B ⊥ A D \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . \cos 45^{\circ} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

+) $\vec{A C} . \vec{C B} = | \vec{A C} | . | \vec{C B} | . \cos (\vec{A C}, \vec{C B}) = a \sqrt{2} . a . \cos 135^{\circ} = - a^{2}$

+) $A C ⊥ B D \Rightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B D} \Rightarrow \vec{A C} . \vec{B D} = 0$

Chú ý

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$

Bài 2 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$ .

Phương pháp giải

a) Bước 1: Tính đường chéo AC, BD

Bước 2: Xác định số đo góc $\hat{O A B}$

Bước 3: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

b) Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải

a) $A C = B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} = a \sqrt{5}$

$\cos (\vec{A B}, \vec{A O}) = \cos \hat{O A B} = \cos \hat{C A B} = \frac{A B}{A C} = \frac{2 a}{a \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Bài 2 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

$\begin{array}{l} \vec{A B} . \vec{A O} = | \vec{A B} | . | \vec{A O} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A O}) \\ = A B . \frac{1}{2} A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A O}) \\ = 2 a . \frac{1}{2} . a \sqrt{5} . \frac{2 \sqrt{5}}{5} = 2 a^{2} \end{array}$

b) $A B ⊥ A D \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Bài 3 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA=a, OB=b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định góc giữa hai vectơ: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{\circ}$

Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng thì $(\vec{a}, \vec{b}) = 180^{\circ}$

Bước 2: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải

a) Ta có:

Bài 3 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta thấy hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ cùng hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 0^{\circ}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = a . b . \cos 0^{\circ} = a b$

b) Ta có:

Bài 3 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Ta thấy hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = a . b . \cos 180^{\circ} = - a b$

Bài 4 trang 101 Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$\vec{M A} . \vec{M B} = {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ phân tích ${\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$

Lời giải

Bài 4 trang 101 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0} \Leftrightarrow - \vec{O A} = \vec{O B}$

$\Rightarrow {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2} = (\vec{M O} - \vec{O A}) (\vec{M O} + \vec{O A}) = (\vec{M O} + \vec{O B}) (\vec{M O} + \vec{O A}) = \vec{M B} . \vec{M A}$ (đpcm)