Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Hoàng Huyền Trang Ngày: 10-02-2023 Lớp 10

660

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3. Tích của một số với một vectơ sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vectơ

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

HĐ Khám phá 1 trang 94 Toán 10 Tập 1: Cho vectơ $\vec{a}$ . Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a} + \vec{a}, (- \vec{a}) + (- \vec{a})$ : (Hình 1)

HĐ Khám phá 1 trang 94 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

Dựa vào hình 1 ta thấy

Vectơ $\vec{a} + \vec{a} = \vec{A C}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\vec{a}$ và cùng hướng với vectơ $\vec{a}$

Vectơ $(- \vec{a}) + (- \vec{a}) = \vec{D F}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $(- \vec{a})$ và cùng hướng với vectơ $(- \vec{a})$

Câu hỏi trang 95 Toán 10

Thực hành 1 trang 95 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và điểm M như hình 3.

a) Hãy vẽ vectơ $\vec{M N} = 3 \vec{a}, \vec{M P} = - 3 \vec{b}$

b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: $| 3 \vec{b} |, | - 3 \vec{b} |, | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} |$ .

Thực hành 1 trang 95 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của vectơ $\vec{a}; \vec{b}$

Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài $\frac{| \vec{x} |}{| \vec{a} |}$

Lời giải

a) $\vec{M N} = 3 \vec{a}$ có độ dài bằng 3 lần vectơ $\vec{a}$ , cùng hướng với vectơ $\vec{a}$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải

$\vec{M P} = - 3 \vec{b}$ có độ dài bằng 3 lần vectơ $- \vec{b}$ , ngược hướng với vectơ $\vec{b}$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái

b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là $\sqrt{2}$ ; $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ . Suy ra:

$| 3 \vec{b} | = 3 | \vec{b} | = 3 \sqrt{2}$ ; $| - 3 \vec{b} | = 3 | \vec{- b} | = 3 \sqrt{2}$ ; $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 (\vec{a} + \vec{b}) | = 2 | \vec{a} + \vec{b} |$

Từ điểm cuối của vectơ $\vec{a}$ vẽ một vectơ bằng vectơ $\vec{b}$ ta có $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ $\vec{c}$ là $| \vec{c} | = \sqrt{{| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})} = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{2}}^{2} - 2.2. \sqrt{2} . \cos (135^{\circ})} = \sqrt{10}$

$\Rightarrow | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2 | \vec{a} + \vec{b} | = 2 | \vec{c} | = 2 \sqrt{10}$

Thực hành 1 trang 95 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Thực hành 2 trang 95 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm $\vec{M A} = \vec{M G} + \vec{G A}$

Lời giải

Thực hành 2 trang 95 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G} \Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow (\vec{M G} + \vec{M G} + \vec{M G}) + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{M G} = 3 \vec{M G}$ (đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ )

Vận dụng trang 95 Toán 10 Tập 1: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của tòa A.

Vận dụng trang 95 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Lời giải

Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài $\frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \vec{b} = - \frac{5}{2} \vec{a}$

Vận dụng trang 95 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

Câu hỏi trang 96 Toán 10

HĐ Khám phá 2 trang 96 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khác $\vec{0}$ và cho $\vec{c} = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b}$ . So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$

Lời giải

vectơ $\vec{c} = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b}$ có độ dài gấp $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |}$ lần vectơ $\vec{b}$ và cùng hướng với vectơ $\vec{b}$

+) Nếu hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng hướng và ngược lại

+) $| \vec{c} | = | \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b} | = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . | \vec{b} | = | \vec{a} |$ . Suy ra hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ có cùng độ

Thực hành 3 trang 96 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm và quy tắc ba điểm

$\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G I}$ với I là trung điểm AB

$\vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0} \Leftrightarrow$ G là trung điểm IJ.

Thực hành 3 trang 96 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

Ta có:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{G I} + \vec{I A}) + (\vec{G I} + \vec{I B}) + (\vec{G J} + \vec{J C}) + (\vec{G J} + \vec{J D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{G I} + (\vec{I A} + \vec{I B}) + 2 \vec{G J} + (\vec{J C} + \vec{J D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{G I} + 2 \vec{G J} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 (\vec{G I} + \vec{G J}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0} \Rightarrow$ G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Vậy I, G, J thẳng hàng

Bài tập

Câu hỏi trang 97 Toán 10

Bài 1 trang 97 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$

b) $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$

Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{M A} = \vec{M O} + \vec{O A}$ và tính chất trung điểm $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$

b) Sử dụng tính chất của bình bình hành $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Lời giải

Bài 1 trang 97 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O B} + \vec{M O} + \vec{O C} + \vec{M O} + \vec{O D} = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O B}) + (\vec{O C} + \vec{O D}) = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M O} + \vec{0} + \vec{0} = 4 \vec{M O} \Leftrightarrow 4 \vec{M O} = 4 \vec{M O}$ (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A C} = \vec{A C} + \vec{A C} = 2 \vec{A C}$ (đpcm)

Bài 2 trang 97 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

Phương pháp giải

Chèn điểm M: $\vec{A B} = \vec{A M} + \vec{M B}$ ,

Tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$

Lời giải

Bài 2 trang 97 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N D} = (\vec{A M} + \vec{B M}) + (\vec{M N} + \vec{M N}) + (\vec{N C} + \vec{N D}) = \vec{0} + 2 \vec{M N} + \vec{0} = 2 \vec{M N}$ (đpcm)

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

$\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N D}$

$(\vec{B M} + \vec{A M}) + (\vec{M N} + \vec{M N}) + (\vec{N C} + \vec{N D}) = 2 \vec{M N}$

Mặt khác ta có: $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$

Suy ra $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

Cách 2:

$\begin{array}{l} \vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D} \\ \Leftrightarrow \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{B C} - \vec{B D} \\ \Leftrightarrow \vec{D C} = \vec{D C} (đ p c m) \end{array}$

Bài 3 trang 97 Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định hướng của hai vectơ

Bước 2: Xác định tỉ số độ dài $\frac{| \vec{M A} |}{| \vec{M B} |}$ $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$

Lời giải

Cách 1:

$\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M A} = - 4 \vec{M B} \Rightarrow \frac{M A}{M B} = \frac{| \vec{M A} |}{| \vec{M B} |} = \frac{| - 4 \vec{M B} |}{| \vec{M B} |} = 4$ và hai vectơ $\vec{M A}, \vec{M B}$ ngược hướng

Suy ra M nằm giữa AB sao cho $\frac{M A}{M B} = 4$

Cách 2:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{M B} + \vec{B A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 5 \vec{M B} = \vec{A B} \end{array}$

Vậy A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho $M B = \frac{1}{5} A B$

Bài 4 trang 97 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}$

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{M A} = \vec{M O} + \vec{O A}$ và tính chất trung điểm

(với O là trung điểm của AB) $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$

Lời giải

Bài 4 trang 97 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

$\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = (\vec{M G} + \vec{G E} + \vec{E A}) + (\vec{M G} + \vec{G E} + \vec{E B}) \\ + (\vec{M G} + \vec{G F} + \vec{F C}) + (\vec{M G} + \vec{G F} + \vec{F D}) \end{array}$

$= (\vec{M G} + \vec{M G} + \vec{M G} \vec{+ M G}) + 2 (\vec{G E} + \vec{G F}) + (\vec{E A} + \vec{E B}) + (\vec{F C} + \vec{F D})$

$= 4 \vec{M G} + 2. \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = 4 \vec{M G}$ (đpcm)

Bài 5 trang 97 Toán 10 Tập 1: Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của máy bay A

Bài 5 trang 97 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

Vecto $\vec{a}, \vec{b}$ là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.

Do đó $| \vec{a} |, | \vec{b} |$ lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.

Ta có: $| \vec{a} | = 600, | \vec{b} | = 800$

$\Rightarrow \frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} = \frac{800}{600} = \frac{4}{3}$

Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó $\vec{b} = - \frac{4}{3} \vec{a}$

Bài 6 trang 97 Toán 10 Tập 1: Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = 4 \vec{M O}$

Phương pháp giải

a) Chèn điểm: $\vec{O A} = \vec{O B} + \vec{B A}$

Từ đó tìm $\vec{O B}$ theo $\vec{A B}$ đã biết

b) Chèn điểm O, làm xuất hiện $\vec{M O}$ ở vế trái.

Lời giải

a) $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{B A} + 3 \vec{O B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + 3 \vec{O B} = - \vec{B A} \\ \Leftrightarrow 4 \vec{O B} = \vec{A B} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} = \frac{1}{4} \vec{A B} \end{array}$

Vậy O thuộc đoạn AB sao cho $O B = \frac{1}{4} A B$

Bài 6 trang 97 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + 3 \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) + 3 (\vec{M O} + \vec{O B}) \\ = (\vec{M O} + 3 \vec{M O}) + (\vec{O A} + 3 \vec{O B}) \\ = 4 \vec{M O} + \vec{0} = 4 \vec{M O} . (đ p c m) \end{array}$

Bài 7 trang 97 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{A N} = 3 \vec{N B}, \vec{C P} = \vec{P A}$

b) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{B C}, \vec{B A}$

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Phương pháp giải

a) Xác định hướng và tỉ số độ dài

$\vec{M B} = k . \vec{B C} \Rightarrow \vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{B C}{M B} = k$

b) Phân tích $\vec{M N}$ theo hai vecto $\vec{M B}, \vec{N B}$

c) $M, N, P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{M N} = k . \vec{M P}$ $(k \in Z^{*})$

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C} \Rightarrow \vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{B C}{M B} = 2$

$\Rightarrow M$ nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho $M B = \frac{1}{2} B C$

+) $\vec{A N} = 3 \vec{N B} \Rightarrow \vec{A B} + \vec{B N} = 3 \vec{N B} \Rightarrow 4 \vec{N B} = \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{N B} = \frac{1}{4} \vec{A B}$

$\Rightarrow N$ thuộc đoạn thẳng AB và $N B = \frac{1}{4} A B$

+) $\vec{C P} = \vec{P A} \Leftrightarrow \vec{P C} + \vec{P A} = \vec{0}$

$\Rightarrow P$ là trung điểm của CA

b) $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$

$\begin{array}{l} \vec{M P} = \vec{M C} + \vec{C P} = \vec{M C} + \frac{1}{2} \vec{C A} \\ = \frac{3}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} (\vec{B A} - \vec{B C}) \\ = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A} \end{array}$

c) Ta có:

$\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A};$ $\vec{M P} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$

$\Rightarrow \vec{M P} = 2 \vec{M N}$

Vậy $M, N, P$ thẳng hàng

Lý thuyết Bài 3. Tích của một số với một vectơ

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực $k$ với một vecto $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vecto, kí kiệu là $k \vec{a} .$

+) Vecto $k \vec{a}$ có độ dài bằng $| k | | \vec{a} |$ và

Cùng hướng với vecto $\vec{a}$ nếu $k > 0$

Ngược hướng với vecto $\vec{a}$ nếu $k < 0$

+) Quy ước: $0 \vec{a} = \vec{0}$ và $k \vec{0} = \vec{0}$

+) Tính chất: Với hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ và hai số thực $k, t$ ta luôn có:

$\begin{array}{l} k (t \vec{a}) = (k t) \vec{a} \\ (k + t) \vec{a} = k \vec{a} + t \vec{a} \\ k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}; k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b} \\ 1 \vec{a} = \vec{a}; (- 1) \vec{a} = - \vec{a} \end{array}$

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

+) Hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại $k$ để $\vec{a} = k \vec{b} .$

+) Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{A B} = k \vec{A C} .$

+) Chú ý:

Cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi vecto $\vec{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực $(m; n)$ sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$