SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto

Phương Thảo Ngày: 13-01-2023 Lớp 10

467

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto

Bài 1 trang 94 SBT Toán 10: Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng:

$\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D} = \vec{M N}$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ (với M là trung điểm của BC)

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, suy ra O là trung điểm của AC, BD, MN

Áp dụng tính chất trung điểm ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{M C} = 2 \vec{M O} = \vec{M N} \\ \vec{M B} + \vec{M D} = 2 \vec{M O} = \vec{M N} \end{array}$

Từ đó ta có $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D} = \vec{M N}$ (đpcm)

Bài 2 trang 94 SBT Toán 10: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:

a) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$

b) $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{C B} - \vec{C D}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{A B} = \vec{A M} + \vec{M B}$ và phép trừ vectơ $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$

Lời giải:

a) Sử dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{C D} + \vec{D A}) \\ = \vec{A C} + \vec{C A} = \vec{A A} = \vec{0} \end{array}$

b) $\begin{array}{l} \vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B}; \vec{C B} - \vec{C D} = \vec{D B} \\ \Rightarrow \vec{A B} - \vec{A D} = \vec{C B} - \vec{C D} \end{array}$

Bài 3 trang 94 SBT Toán 10: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ $\vec{A B} + \vec{B C}$ và $\vec{A B} - \vec{B C}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu dựa vào các quy tắc cộng, trừ vectơ

Bước 2: Xác định độ dài các cạnh dưới dấu vectơ đã tìm được ở bước 1

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C} \Rightarrow | \vec{A B} + \vec{B C} | = | \vec{A C} | = A C = a$

$\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{C B}$

Từ B kẻ $\vec{B D} = \vec{C B}$ , suy ra $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{C B} = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D}$

$\Rightarrow | \vec{A B} - \vec{B C} | = | \vec{A D} | = A D$

Áp dụng định lí côsin ta có $A D = \sqrt{A B^{2} + B D^{2} - 2. A B . B D . \cos \hat{A B D}} = \sqrt{a^{2} + a^{2} - 2. a . a . \cos 120^{\circ}} = a \sqrt{3}$

Vậy độ dài của các vectơ $\vec{A B} + \vec{B C}$ và $\vec{A B} - \vec{B C}$ lần lượt là a và $a \sqrt{3}$

Bài 4 trang 94 SBT Toán 10: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:

a) $\vec{C O} - \vec{O B} = \vec{B A}$

b) $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{D B}$

c) $\vec{D A} - \vec{D B} = \vec{O D} - \vec{O C}$

d) $\vec{D A} - \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{0}$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép cộng, trừ vectơ và quy tắc ba điểm

Lời giải:

a) Hình bình hành ABCD có tâm O nên $\vec{C O} = \vec{O A}, \vec{A B} = \vec{D C}, \vec{B C} = \vec{A D}$

$\vec{C O} - \vec{O B} = \vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$ (đpcm)

b) $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{D C} - \vec{B C} = \vec{D C} + \vec{C B} = \vec{D B}$ (đpcm)

c) Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{D A} - \vec{D B} = \vec{B A} \\ \vec{O D} - \vec{O C} = \vec{C D} \end{array}$

Mặt khác ta có $\vec{B A} = \vec{C D}$ , suy ra $\vec{D A} - \vec{D B} = \vec{O D} - \vec{O C}$ (đpcm)

d) $\vec{D A} - \vec{D B} + \vec{D C} = (\vec{D A} - \vec{D B}) + \vec{D C} = \vec{B A} + \vec{D C}$

Mà ta có ABCD là hình bình hành nên $\vec{B A}$ và $\vec{D C}$ là hai vectơ đối nhau

$\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0} \Rightarrow \vec{D A} - \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{0}$ (đpcm)

Bài 5 trang 94 SBT Toán 10: Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{M A}, \vec{F_{2}} = \vec{M B}$ và $\vec{F_{3}} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết độ lớn của $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ đều là 100N và $\hat{A M B} = 60^{\circ}$ . Tìm độ lớn của lực $\vec{F_{3}}$

Phương pháp giải:

Điểm M dưới tác động của 3 lực nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$

Và áp dụng các tính chất của phép cộng của vectơ, quy tắc hình bình hành

Lời giải:

Điểm M dưới tác động của 3 lực nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0} \Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$

Dựng hình bình hành AMBD ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M D}$

Suy ra $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M D} + \vec{M C} = \vec{0}$ (1)

(1) xảy ra khi và chỉ khi $\vec{M D}$ và $\vec{M C}$ là hai vectơ đối nhau

$\Rightarrow | \vec{F_{3}} | = | \vec{M C} | = | \vec{M D} | = M D$

AMBD là hình bình hành suy ra $\vec{A D} = \vec{M B}, \hat{A M B} = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{M A D} = 120^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l} A D = \sqrt{A M^{2} + A D^{2} - 2 A M . A D . \cos \hat{M A D}} \\ = \sqrt{100^{2} + 100^{2} - 2.100.100. \cos 120^{\circ}} ≃ 173, 21 \end{array}$

Vậy độ lớn của lực $\vec{F_{3}}$ gần bằng 173,21 N

Bài 6 trang 94 SBT Toán 10: Khi máy bay nghiêng cánh một góc $α$ , lực $\vec{F}$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\vec{F_{1}}$ và lực cản $\vec{F_{2}}$ (hình 8). Cho biết $α = 45^{\circ}$ và $| \vec{F} | = a$ . Tính $| \vec{F_{1}} |$ và $| \vec{F_{2}} |$