Với giải Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10:

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi Tn (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.

a) Tính T1, T2, T3.

b) Dự đoán công thức tính Tn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a)

– T1 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:

T1 = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].

– T2 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:

T2 = T1 + T1 . r + a

= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1].

– T3 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:

T3 = T2 + T2 . r + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)3 + (1 + r)2 + (1 + r) + 1].

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:

Tn = a[(1 + r)n + ... + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]

$=a.\frac{1-{(1+r)}^{n+1}}{1-(1+r)}=a.\frac{1-{(1+r)}^{n+1}}{-r}=a.\frac{{(1+r)}^{n+1}-1}{r}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có:

T1 = a[(1 + r) + 1]$=a.\frac{r^2+2r}{r}=a.\frac{(r^2+2r+1)-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^2-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^{1+1}-1}{r}.$          

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: Tk = $a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Tk + 1 = $a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+1}-1}{r}.$

Thật vậy,

Tk + 1 = Tk + Tk . r + a

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+a$

$=a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+1]$

$=a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{[{(1+r)}^{k+1}-1]r}{r}+\frac{r}{r}]$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+[{(1+r)}^{k+1}-1]r+r}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}-r+r}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}}{r}$

$=a.\frac{(1+r){(1+r)}^{k+1}-1}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+2}-1}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+2}-1}{r}.$

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy Tn = $a.\frac{{(1+r)}^{n+1}-1}{r}$ với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Khởi động trang 27 Chuyên đề Toán 10: Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự từ quân đầu tiên đến quân cuối cùng. Biết rằng xảy ra hai điều sau:

Khám phá 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây, một học sinh phát hiện ra công thức sau:

Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi 

Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2

Thực hành 3 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi n∈N^∗

Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi 

Thực hành 5 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần.

Vận dụng trang 31 Chuyên đề Toán 10: (Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp).

Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi 

Bài 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi , ta có:

Bài 3 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1 + nx với mọi n∈N∗

Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi 

Bài 5 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2:

Bài 6 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng, cho đa giác A1 A2 A3... An có n cạnh (n ≥ 3). Gọi Sn là tổng số đo các góc trong của đa giác.