Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo: Bài tập cuối chuyên đề 2

596

Toptailieu.vn giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) 13+23+33+...+n3=n2(n+1)24

b) 1.4+2.7+3.10++n(3n+1)=n(n+1)2

c) 11.3+13.5+15.7++1(2n-1)(2n+1)=n2n+1

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 = 12(1+1)24. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

13+23+33+...+k3=k2(k+1)24

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

13+23+33+...+k3+(k+1)3=2[(k+1)+1]24

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

13+23+33+...+k3+(k+1)3

=k2(k+1)24 +(k+1)3

=k2(k+1)24+4(k+1)34

=(k+1)2[k2+4(k+1)]4

=(k+1)2(k2+4k+4)4

=(k+1)2(k+2)24=(k+1)2[(k+1)+1]24.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 +  1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

1.4+2.7+3.10++k(3k+1)=k(k+1)2.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

1.4+2.7+3.10++k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1.4+2.7+3.10++k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]

=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]

=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]

=(k+1)(k2+4k+4)

=(k+1)(k+2)2=(k+1)[(k+1)+1]2.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(2.1-1)(2.1+1)=13=12.1+1. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

11.3+13.5+15.7++1(2k-1)(2k+1)=k2k+1.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

11.3+13.5+15.7++1(2k-1)(2k+1)+1[2(k+1)-1][2(k+1)+1]=k+12(k+1)+1.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

11.3+13.5+15.7++1(2k-1)(2k+1)+1[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

=k2k+1+1[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)

=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)

=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)

=(k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ*:

a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4

b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3k – 1 – 2k ⁝ 4.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k

= 3(3k – 1 – 2k) + 4k

Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 4– 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7k – 4k – 3k ⁝ 12.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k

= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).

Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n∈ ℕ*

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có 81 = 8 > 1 = 13. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8k ≥ k3.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

8k + 1 ≥ (k + 1)3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

8k + 1 = 8 . 8k ≥ 8 . k3 = k3 + 3k3 + 3k3 + k3 ≥ k3 + 3k2 + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)3.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+12+13++1nn+12 đúng với mọi n∈ ℕ*

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có 11=1=1+12. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

1+12+13++1kk+12.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

1+12+13++1k+1k+1(k+1)+12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1+12+13++1k+1k+1k+12+1k+1=(k+1)2+22(k+1)=k2+2k+32(k+1)

k2+2k+1+22(k+1)k2+2k+k+22(k+1)=k2+3k+22(k+1)=(k+1)(k+2)2(k+1)=k+22=(k+1)+12.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu an là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ ℕ*).

a) Tính a1, a2, a3. Từ đó dự đoán công thức tính an với n∈ ℕ*

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a) Sau bước 1 thì trong bình có 12 l nước, do đó a1 = 12

Sau bước 2 thì trong bình có: (12+1)2=34l nước, do đó a2 = 34

Sau bước 3 thì trong bình có: (34+1)2=78. l nước, do đó a2 = 78

Ta có thể dự đoán an = 2n-12n.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a1 = 12=21-121. Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: ak = 2k-12k.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

ak + 1 = 2k+1-12k+1.

Thật vậy:

ak là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

ak + 1 = =2k-12k+12=(2k-1)+2k2k2=2  .  2k-12k .  2=2k+1-12k+1.

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x3 trong khai triển:

a) (1 – 3x)8;

b) (1+x2)7.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(1 – 3x)8 = C8018+C8117(-3x)++C8k18-k(-3x)k++C88(-3x)8

=1+C81(-3)x++C8k(-3)kxk++C88(-3)8x8.

Số hạng chứa x3 ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là C83(-3)3=-1512.

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(1+x2)7=C7017+C7116(x2)++C7k17-k(x2)k++C77(x2)7

=1+C7112x++C7k(12)kxk++C77(12)7x7.

Số hạng chứa x3 ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là C73(12)3=358.

Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6

Lời giải:

Có (2x + 3)(x – 2)6

= 2x(x – 2)6 + 3(x – 2)6.

Ta tìm hệ số của x5 trong từng khai triển: 2x(x – 2)6 và 3(x – 2)6.

+) Có: 2x(x – 2)6

= 2x[C60x6+C61x5(-2)+C62x4(-2)2+C63x3(-2)3

+C64x2(-2)4+C65x(-2)5+C66(-2)6]

2C60x7+2(-2)C61x6+2(-2)2C62x5+2(-2)3C63x4

+2(-2)4C64x3+2(-2)5C65x2+2(-2)6C66x.

Hệ số của x5 trong khai triển này là 2(–2)2 C62= 120.

+) Có: 3(x – 2)6

= 3[C60x6+C61x5(-2)+C62x4(-2)2+C63x3(-2)3

+C64x2(-2)4+C65x(-2)5+C66(-2)6]

=3C60x6+3(-2)C61x5+3(-2)2C62x4+3(-2)3C63x3

+3(-2)4C64x2+3(-2)5C65x+3(-2)6C66.

Hệ số của x5 trong khai triển này là 3(-2)C61 = –36.

Vậy hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6 là 120 + (–36) = 84.

Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10:

a)Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)6, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần

b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.

Lời giải:

a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(1 + 2x)6

=16+6.15(2x)+15.14(2x)2+20.13(2x)3+15.12(2x)4+6.1(2x)5+(2x)6

=1+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6.

Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1, 12x và 60x2.

b) Với x nhỏ thì x3, x4, x5, x6 sẽ rất nhỏ. Do đó có thể coi (1 + 2x)6 ≈ 1 + 12x + 60x2.

Khi đó 1,026 = (1 + 2 . 0,01)6 ≈ 1 + 12 . 0,01 + 60 . 0,012 = 1,126.

Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)15 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được

Lời giải:

Có (3x – 4)15

=C150(3x)15+C151(3x)14(-4)++C15k(3x)15-k(-4)k++C151(3x)(-4)14+C1515(-4)15

=a15x15+a14x14++akxk++a1x+a0 (với ai là hệ số của xi).

Thay x = 1, ta được:

(3 . 1 – 4)15=a15115+a14114++ak1k++a11+a0=a15+a14++ak++a1+a0

a15+a14++ak++a1+a0=(-1)15=-1.

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được là –1.

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) 1+2Cn1+4Cn2++2n-1Cnn-1+2nCnn=3n;

b) 2n0+C2n2+C2n4++C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5++C2n2n-1.

Lời giải:

a) 1+2Cn1+4Cn2++2n-1Cnn-1+2nCnn

=Cn01+Cn12+Cn222++Cnn-12n-1+Cnn2n

=Cn01n+Cn11n-12+Cn21n-222++Cnn-11 .2n-1+Cnn2n

= (1 + 2)n = 3n.

b) Ta có:

(x+1)2n=C2n0x2n+2n1x2n-11+C2n2x2n-212++C2n2n-1x12n-1+C2n2n12n

=C2n0x2n+C2n1x2n-1+C2n2x2n-2++C2n2n-1x+C2n2n.

Cho x = –1, ta được:

(-1+1)2n=C2n0(-1)2n+C2n1(-1)2n-1+C2n2(-1)2n-2++C2n2n-1(-1)+C2n2n

=C2n0-C2n1+C2n2--C2n2n-1+C2n2n

C2n0-C2n1+C2n2--C2n2n-1+C2n2n=0

C2n0+C2n2+C2n4++C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5++C2n2n-1.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Nhị thức Newton

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol

Bài 8: Tính chất chung của ba đường conic

Đánh giá

0

0 đánh giá