Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 77 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Giang Ngày: 08-02-2023 Lớp 10

381

Với giải Câu hỏi trang 77 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 77 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Vận dụng 2 trang 77 Toán 10 Tập 1: Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Vận dụng 2 trang 77 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng hệ quả của định lí cosin để tính các góc $\hat{C H L}, \hat{L H R}$ $\cos \hat{C H L} = \frac{C H^{2} + H L^{2} - C L^{2}}{2. C H . H L}; \cos \hat{L H R} = \frac{H L^{2} + H R^{2} - R L^{2}}{2. H L . H R}$

Bước 2: Áp dụng định lí cosin $C R^{2} = H C^{2} + H R^{2} - 2. H C . H R \cos \hat{C H R}$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác HCL, ta có: $\begin{array}{l} \cos \hat{C H L} = \frac{C H^{2} + H L^{2} - C L^{2}}{2. C H . H L} = \frac{78^{2} + 104^{2} - 49^{2}}{2.78.104} = \frac{4833}{5408} \\ \Rightarrow \hat{C H L} \approx 26^{o} 39^{'} 40, 05^{″} \end{array}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác HLR, ta có: $\begin{array}{l} \cos \hat{L H R} = \frac{H L^{2} + H R^{2} - L R^{2}}{2. H L . H R} = \frac{104^{2} + 77^{2} - 56^{2}}{2.104.77} = \frac{13609}{16016} \\ \Rightarrow \hat{L H R} \approx 31^{o} 49^{'} 10, 4^{″} \\ \Rightarrow \hat{C H R} \approx 58^{o} 28^{'} 50, 45^{″} \end{array}$

Bước 2: Áp dụng định lí cosin $C R^{2} = H C^{2} + H R^{2} - 2. H C . H R \cos \hat{C H R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow C R^{2} = 78^{2} + 77^{2} - 2.78.77 \cos 58^{o} 28^{'} 50, 45^{″} \\ \Rightarrow C R \approx 75, 72 \end{array}$

Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá là 75, 72 km.

Bài tập

Bài 1 trang 77 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $A B = 14, A C = 23, \hat{A} = 125^{o} .$

b) $B C = 22, 4; \hat{B} = 64^{o}; \hat{C} = 38^{o} .$

c) $A C = 22, \hat{B} = 120^{o}, \hat{C} = 28^{o} .$

d) $A B = 23, A C = 32, B C = 44$

Lời giải a

a) $A B = 14, A C = 23, \hat{A} = 125^{o} .$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính BC: Áp dụng định lí cosin: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

Bước 2: Tính góc B, C:

Cách 1: Áp dụng định lí sin: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

Cách 2: Áp dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Lời giải

Ta cần tính cạnh BC và hai góc $\hat{B}, \hat{C} .$

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A \\ \Leftrightarrow B C^{2} = 14^{2} + 23^{2} - 2.14.23. \cos 125^{o} \\ \Rightarrow B C \approx 33 \end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow \frac{33}{\sin 125^{o}} = \frac{23}{\sin B} = \frac{14}{\sin C} \\ \Rightarrow \sin B = \frac{23. \sin 125^{o}}{33} \approx 0, 57 \\ \Rightarrow \hat{B} \approx 35^{o} \Rightarrow \hat{C} \approx 20^{o} \end{array}$

Lời giải b

b) $B C = 22, 4; \hat{B} = 64^{o}; \hat{C} = 38^{o} .$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc A

Bước 2: Tính cạnh AB, AC: Áp dụng định lí sin: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

Lời giải

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, AC.

Ta có: $\hat{A} = 180^{o} - \hat{B} - \hat{C} = 180^{o} - 64^{o} - 38^{o} = 78^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow \frac{22}{\sin 78^{o}} = \frac{A C}{\sin 64^{o}} = \frac{A B}{\sin 38^{o}} \\ \Rightarrow {\begin{cases} A C = \sin 64^{o} . \frac{22}{\sin 78^{o}} \approx 20, 22 \\ A B = \sin 38^{o} . \frac{22}{\sin 78^{o}} \approx 13, 85 \end{cases} \end{array}$

Lời giải c

c) $A C = 22, \hat{B} = 120^{o}, \hat{C} = 28^{o} .$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc A

Bước 2: Tính cạnh AB, BC: Áp dụng định lí sin: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

Lời giải

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, BC.

Ta có: $\hat{A} = 180^{o} - \hat{B} - \hat{C} = 180^{o} - 120^{o} - 28^{o} = 32^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow \frac{B C}{\sin 32^{o}} = \frac{22}{\sin 120^{o}} = \frac{A B}{\sin 28^{o}} \\ \Rightarrow {\begin{cases} B C = \sin 32^{o} . \frac{22}{\sin 120^{o}} \approx 13, 5 \\ A B = \sin 28^{o} . \frac{22}{\sin 120^{o}} \approx 12 \end{cases} \end{array}$

Lời giải d

d) $A B = 23, A C = 32, B C = 44$

Phương pháp giải:

Tìm các góc: Áp dụng hệ quả của định lí cosin:

${\begin{cases} \cos A = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C}; \\ \cos B = \frac{B C^{2} + A B^{2} - A C^{2}}{2. B C . B A}; \\ \cos C = \frac{C A^{2} + C B^{2} - A B^{2}}{2. C A . C B} \end{cases}$

Lời giải

Ta cần tính số đo ba góc $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} \cos A = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C}; \cos B = \frac{B C^{2} + A B^{2} - A C^{2}}{2. B C . B A} \\ \Rightarrow \cos A = \frac{32^{2} + 23^{2} - 44^{2}}{2.32.23} = \frac{- 383}{1472}; \cos B = \frac{44^{2} + 23^{2} - 32^{2}}{2.44.23} = \frac{131}{184} \\ \Rightarrow \hat{A} \approx 105^{o}, \hat{B} = 44^{o} 36^{'} \\ \Rightarrow \hat{C} = 30^{o} 24^{'} \end{array}$

Bài 2 trang 77 Toán 10 Tập 1: Để lắp đường dây diện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là . Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Bài 2 trang 77 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Bước 1: Tính cạnh AB: Áp dụng định lí cosin: $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2. B C . A C . \cos C$

Bước 2: Tính chiều dài tăng thêm, bằng $A C + C B - A B$

Lời giải

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2. B C . A C . \cos C \\ \Leftrightarrow A B^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2.8.10. \cos 70^{o} \\ \Rightarrow A B \approx 10, 45 \end{array}$