Với giải Câu hỏi trang 45 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức trong Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Kết nối tri thức trang 45 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn $\left(C\right)$ đi qua ba điểm $M\left(4;-5\right),N\left(2;-1\right),P\left(3;-8\right)$.

Phương pháp giải:

Tâm $J$ là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính $R=JM$.

Lời giải:

Gọi $d,\mathrm{\Delta }$ lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.

Ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{4+2}{2}=3\\ y_I=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{-5-1}{2}=-3\end{array}\Rightarrow I\left(3;3\right);\overrightarrow{MN}=\left(-2;4\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{MN}=\left(1;-2\right)$

Phương trình tổng quát của $d$ là: $1\left(x-3\right)-2\left(y+3\right)=0\iff x-2y-9=0$.

Tương tự, ta có phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là: $x-7y-34=0$.

Gọi $J$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm M, N, P. Khi đó $J=d\cap \mathrm{\Delta }$, do đó tọa điểm $J$ thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-7y-34=0\\ x-2y-9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-5\end{array}\Rightarrow J\left(-1;-5\right)$

Từ đó ta tìm được $R=JM=5$

Vậy phương trình đường tròn $\left(C\right)$ là: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=25$.

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):$x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ $\left(a^2+b^2-c>0\right)$

$M\left(4;-5\right),N\left(2;-1\right),P\left(3;-8\right)$ thuộc (C) nên ta có:

$\{\begin{array}{l}16+25+8a-10b+c=0\\ 4+1+4a-2b+c=0\\ 9+64+6a-16b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}8a-10b+c=-41\\ 4a-2b+c=-5\\ 6a-16b+c=-73\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=5(\mathrm{t}\mathrm{h}ỏ\mathrm{a}\mathrm{m}ã\mathrm{n})\\ c=1\end{array}$

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P là: $x^2+y^2+2x+10y+1=0$ hay ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=25$.

Vận dụng trang 45 SGK Toán 10 Tập 2: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H7.14) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bề sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục đề tồng chu Vị của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy 13, 14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Lời giải:

Gọi bán kính bể hình tròn và bể nủa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32 m khi và chỉ khi 1,57x + 2,57y-8=0.

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S ($m^2$). Khi đó $x^2+y^2=\frac{S}{3,14}$.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): $x^2+y^2=\frac{S}{3,14}$ có tâm O(0, 0), bán kính $R=\sqrt{\frac{S}{3,14}}$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:1,57x+2,57y-8=0$.

Ta có S nhỏ nhất khi R nhỏ nhất; $M\left(x;y\right)$ thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, đồng thời M thuộc đường tròn $\left(C\right)$. Bài toán chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để $\left(C\right)$ và $\mathrm{\Delta }$ có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với $\left(C\right)$, đồng thời M trùng với H là hình chiếu vuông góc của O trên $\mathrm{\Delta }$

Ta có: $\overrightarrow{u_{OH}}=\left(1,57;2,57\right)$ suy ra $\overrightarrow{n_{OH}}=\left(2,57;-1,57\right)$.

Phương trình OH là $2,57x-1,57y=0$

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}1,57x+2,57y-8=0\\ 2,57x-1,57y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\approx 1,38\\ y\approx 2,27\end{array}$

Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là 1,38m và 2,27m.