Với giải Câu hỏi trang 59 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức trong Bài tập cuối chương 7 học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Kết nối tri thức trang 59: Bài tập cuối chương 7

Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2: Cho elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$

a) Tìm các giao điểm $A_1,A_2$  của (E) với trục hoành và các giao điểm $B_1,B_2$ của (E) với trục tung. Tính $A_1{A}_2,B_1{B}_2$.

b) Xét một điểm bất kì $M\left(x_o;y_o\right)$ thuộc (E).

Chứng minh rằng, $b^2\le x_o^2+y_o^2\le a^2$ và $b\le OM\le a$.

Chú ý: $A_1{A}_2,B_1{B}_2$tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ $A_1,A_2$ thỏa mãn phương trình (E) và $y=0$. Tọa độ $B_1,B_2$thỏa mãn phương trình (E) và $x=0$.

b) Sử dụng tính chất  $a>b>0$  và đẳng thức $\frac{x_o^2}{a^2}+\frac{y_o^2}{b^2}=1$.

Lời giải:

a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\pm a\\ y=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{A}_1\left(-a;0\right)\\ A_2\left(a;0\right)\end{array}$

Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=\pm b\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{B}_1\left(0;-b\right)\\ B_2\left(0;b\right)\end{array}$

Ta có $A_1{A}_2=2a,B_1{B}_2=2b$.

b) Do M thuộc (E) nên ta có $\frac{x_o^2}{a^2}+\frac{y_o^2}{b^2}=1$

Do $a>b>0$ nên ta có $\frac{x_o^2}{a^2}\le \frac{x_o^2}{b^2}$. Suy ra $1\le \frac{x_o^2}{b^2}+\frac{y_o^2}{b^2}\Rightarrow b^2\le x_o^2+y_o^2$

Tương tự ta có $\frac{y_o^2}{a^2}\le \frac{y_o^2}{b^2}$ nên $1\ge \frac{y_o^2}{a^2}\le \frac{y_o^2}{b^2}\Rightarrow a^2\ge x_o^2+y_o^2$

Vậy $b^2\le x_o^2+y_o^2\le a^2$

Ta có $OM=\sqrt{x_o^2+y_o^2}$ suy ra $b\le OM\le a$

Bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

 a) Tìm các giao điểm $A_1,A_2$của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$nhỏ hơn của $A_2$).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x\le -a$ , nêu điêm M(x, y) thuộc nhánh nằm bên phải trực tung của hypebol thì $x\ge a$.

c) Tìm các điểm$M_1,M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trực tung của hypebol để $M_1{M}_2$ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ $A_1,A_2$ thỏa mãn phương trình của $\left(H\right)$ và $y=0$.

b) Sử dụng $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$

c) $M_1{M}_2\ge \left|x_2-x_1\right|\ge \left|a-\left(-a\right)\right|=2a$

Lời giải:

a) Các giao điểm của $\left(H\right)$ với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pm a\\ y=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{A}_1\left(-a;0\right)\\ A_2\left(a;0\right)\end{array}$

b) Với $M\left(x;y\right)$ thuộc (H) ta có $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1\Rightarrow x^2\ge a^2\Rightarrow [\begin{array}{l}x\le -a\\ x\ge a\end{array}$

Do đó nếu $M\left(x;y\right)$ thuộc bên trái trục tung khi thì $x<0$, suy ra $x\le -a$.

Nếu $M\left(x;y\right)$ thuộc bên phải trục tung khi thì $x>0$, suy ra $x\ge -a$.

c) Gọi $M_1\left(x_1;y_1\right),M_2\left(x_2;y_2\right)$. Vì $M_1$ thuộc nhánh bên trái trục tung nên ta có  $x_1\le -a$,$M_2$ thuộc nhánh bên phải trục tung nên ta có $x_2\ge a$.

Suy ra $M_1{M}_2=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\ge \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2}=\left|x_2-x_1\right|\ge \left|a-\left(-a\right)\right|=2a$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}{y}_2-y_1=0\\ x_2=a\\ x_1=-a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_2=a\\ x_1=-a\\ y_1=y_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{M}_1\left(-a;0\right)\\ M_2\left(a;0\right)\end{array}$

Bài 7.37 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2: Một cột trụ hình hypebol (H.736), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới  hai chữ số sau dấu phẩy).

Lời giải:

Gắn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ trùng với trung điểm của đoạn thẳng ứng với mặt cắt ngang nhỏ nhất của cột trụ.

Khi đó ta có phương trình của (H) là $\frac{x^2}{0,16}-\frac{y^2}{16}=1$

Độ rộng của trụ ứng với độ cao 5m ứng với điểm trên (H) có tung độ bằng 2

Suy ra $\frac{x^2}{0,16}-\frac{2^2}{16}=1\Rightarrow x\approx 0,45$

Vậy độ rộng của cột trụ tại điểm có chiều cao 5m xấp xỉ bằng $2.0,45=0,9\left(m\right)$.