Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương VII sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức: Bài tập cuối chương VII

A. Trắc nghiệm

Câu hỏi trang 58 Toán 10

Bài 7.26 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?

A. $2x-y+1=0$

B. $\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t\end{array}$

C. $x^2+y^2=1$

D. $y=2x+3$

Phương pháp giải:

Phương trình tham số của đường thằng có dạng $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x} = {\mathrm{x}}_0 + \mathrm{at}\\ \mathrm{y} = {\mathrm{y}}_0 + \mathrm{bt}\end{array}\right.(t \in \mathrm{ℝ})$

Lời giải:

Chọn B

Bài 7.27 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. $-x-2y+3=0$

B. $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\end{array}$

C. $y^2=2x$

D. $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $ax + by + c = (a^2 + b^2 \ne 0)$.

Lời giải:

Chọn A

Bài 7.28 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. $x^2-y^2=1$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=-4$

C. $x^2+y^2=2$

D. $y^2=8x$

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng ${(x - a)}^2 + {(y - b)}^2 = c^2 hoặc x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$.

Lời giải:

Phương trình $x^2+y^2=2$ là một phương trình đường tròn với $O\left(0;0\right)$ là tâm và bán kính $R=\sqrt{2}$.

Chọn C

Bài 7.29 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

A. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$

B. $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$

C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$

D. $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.

Lời giải:

Chọn D

Bài 7.30 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hyperbol?

A. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=-1$

B. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$

C. $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{1}=1$

D. $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=-1$

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của hyperbol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Lời giải:

Chọn B.

Bài 7.31 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. $x^2=4y$

B. $x^2=-6y$

C. $y^2=4x$

D. $y^2=-4x$

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của parabol là $y^2=2px(p>0)$.

Lời giải:

Chọn C.

B. Tự luận

Bài 7.32 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(1;-1), B(3; 5), C(-2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức diện tích $S_{ABC}=\frac{1}{2}d(A, BC).BC$

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-1\right)$, suy ra $BC=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{26}$, đồng thời $\overrightarrow{n_{BC}}=\left(1;-5\right)$.

Mặt khác BC đi qua điểm B(3;5) nên phương trình BC là $x-5y+22=0$

Độ dài đường cao AH của tam giác ABC là $AH=d\left(A,BC\right)=\frac{\left|1-5\left(-1\right)+22\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-5\right)}^2}}=\frac{28}{\sqrt{26}}$

Diện tích của tam giác ABC là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.\frac{28}{\sqrt{26}}.\sqrt{26}=14$

Bài 7.33 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(-1; 0) và B(3; 1).

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.

Phương pháp giải:

a) Đường tròn tâm A bán kính AB.

b) $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=\left(4;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-4\right)$ và $AB$ đi qua $A\left(-1;0\right)$.

c) Đường tròn tâm $O\left(0;0\right)$ và bán kính $R=d\left(O,AB\right)$.

Lời giải:

Phương trình đường tròn tâm A bán kính AB là ${\left(x+1\right)}^2+y^2=17$

b) Ta có $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=\left(4;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-4\right)$.

Phương trình AB là $1\left(x+1\right)-4y=0\iff x-4y+1=0$.

c) Bán kính của đường tròn tâm O, tiếp xúc với đường thẳng AB là

$R=d\left(O,AB\right)=\frac{\left|0-4.0+1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$

Phương trình đường tròn tâm O tiếp xúc AB là $x^2+y^2=\frac{1}{17}$

Bài 7.34 trang 58 SGK Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2-4x+6y-12=0$.

a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức xác định tâm và bán kính

b) Thay tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn. Tiếp tuyến d đi qua điểm M và có $\overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{IM}$.

Lời giải:

a) Ta có $I\left(2;-3\right)$ và $R=\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2-\left(-12\right)}=5$

b) Ta có: $5^2+1^2-4.5+6.1-12=0$. Suy ra M thuộc $\left(C\right)$. Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{IM}=\left(3;4\right)$, đồng thời d đi qua điểm $M\left(5;1\right)$.

Vậy phương trình  của d là  $3\left(x-5\right)+4\left(y-1\right)=0\iff 3x+4y-19=0$.

Câu hỏi trang 59 Toán 10

Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2: Cho elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$

a) Tìm các giao điểm $A_1,A_2$  của (E) với trục hoành và các giao điểm $B_1,B_2$ của (E) với trục tung. Tính $A_1{A}_2,B_1{B}_2$.

b) Xét một điểm bất kì $M\left(x_o;y_o\right)$ thuộc (E).

Chứng minh rằng, $b^2\le x_o^2+y_o^2\le a^2$ và $b\le OM\le a$.

Chú ý: $A_1{A}_2,B_1{B}_2$tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ $A_1,A_2$ thỏa mãn phương trình (E) và $y=0$. Tọa độ $B_1,B_2$thỏa mãn phương trình (E) và $x=0$.

b) Sử dụng tính chất  $a>b>0$  và đẳng thức $\frac{x_o^2}{a^2}+\frac{y_o^2}{b^2}=1$.

Lời giải:

a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\pm a\\ y=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{A}_1\left(-a;0\right)\\ A_2\left(a;0\right)\end{array}$

Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=\pm b\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{B}_1\left(0;-b\right)\\ B_2\left(0;b\right)\end{array}$

Ta có $A_1{A}_2=2a,B_1{B}_2=2b$.

b) Do M thuộc (E) nên ta có $\frac{x_o^2}{a^2}+\frac{y_o^2}{b^2}=1$

Do $a>b>0$ nên ta có $\frac{x_o^2}{a^2}\le \frac{x_o^2}{b^2}$. Suy ra $1\le \frac{x_o^2}{b^2}+\frac{y_o^2}{b^2}\Rightarrow b^2\le x_o^2+y_o^2$

Tương tự ta có $\frac{y_o^2}{a^2}\le \frac{y_o^2}{b^2}$ nên $1\ge \frac{y_o^2}{a^2}\le \frac{y_o^2}{b^2}\Rightarrow a^2\ge x_o^2+y_o^2$

Vậy $b^2\le x_o^2+y_o^2\le a^2$

Ta có $OM=\sqrt{x_o^2+y_o^2}$ suy ra $b\le OM\le a$

Bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

 a) Tìm các giao điểm $A_1,A_2$của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$nhỏ hơn của $A_2$).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x\le -a$ , nêu điêm M(x, y) thuộc nhánh nằm bên phải trực tung của hypebol thì $x\ge a$.

c) Tìm các điểm$M_1,M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trực tung của hypebol để $M_1{M}_2$ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ $A_1,A_2$ thỏa mãn phương trình của $\left(H\right)$ và $y=0$.

b) Sử dụng $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$

c) $M_1{M}_2\ge \left|x_2-x_1\right|\ge \left|a-\left(-a\right)\right|=2a$

Lời giải:

a) Các giao điểm của $\left(H\right)$ với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pm a\\ y=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{A}_1\left(-a;0\right)\\ A_2\left(a;0\right)\end{array}$

b) Với $M\left(x;y\right)$ thuộc (H) ta có $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1\Rightarrow x^2\ge a^2\Rightarrow [\begin{array}{l}x\le -a\\ x\ge a\end{array}$

Do đó nếu $M\left(x;y\right)$ thuộc bên trái trục tung khi thì $x<0$, suy ra $x\le -a$.

Nếu $M\left(x;y\right)$ thuộc bên phải trục tung khi thì $x>0$, suy ra $x\ge -a$.

c) Gọi $M_1\left(x_1;y_1\right),M_2\left(x_2;y_2\right)$. Vì $M_1$ thuộc nhánh bên trái trục tung nên ta có  $x_1\le -a$,$M_2$ thuộc nhánh bên phải trục tung nên ta có $x_2\ge a$.

Suy ra $M_1{M}_2=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\ge \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2}=\left|x_2-x_1\right|\ge \left|a-\left(-a\right)\right|=2a$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}{y}_2-y_1=0\\ x_2=a\\ x_1=-a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_2=a\\ x_1=-a\\ y_1=y_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{M}_1\left(-a;0\right)\\ M_2\left(a;0\right)\end{array}$

Bài 7.37 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2: Một cột trụ hình hypebol (H.736), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới  hai chữ số sau dấu phẩy).

Lời giải:

Gắn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ trùng với trung điểm của đoạn thẳng ứng với mặt cắt ngang nhỏ nhất của cột trụ.

Khi đó ta có phương trình của (H) là $\frac{x^2}{0,16}-\frac{y^2}{16}=1$

Độ rộng của trụ ứng với độ cao 5m ứng với điểm trên (H) có tung độ bằng 2

Suy ra $\frac{x^2}{0,16}-\frac{2^2}{16}=1\Rightarrow x\approx 0,45$

Vậy độ rộng của cột trụ tại điểm có chiều cao 5m xấp xỉ bằng $2.0,45=0,9\left(m\right)$.