Cho hypebol có phương trình: (x^2)/(a^2)

Cho hypebol có phương trình: (x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1

Nguyen Thi Minh Thao Ngày: 05-10-2022 Lớp 10

355

Với giải Bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chương VII giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 10 Bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2

Bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

a) Tìm các giao điểm $A_{1}, A_{2}$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_{1}$ nhỏ hơn của $A_{2}$ ).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \leq - a$ , nêu điêm M(x, y) thuộc nhánh nằm bên phải trực tung của hypebol thì $x \geq a$ .

c) Tìm các điểm $M_{1}, M_{2}$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trực tung của hypebol để $M_{1} M_{2}$ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ $A_{1}, A_{2}$ thỏa mãn phương trình của $(H)$ và $y = 0$ .

b) Sử dụng $\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 1$

c) $M_{1} M_{2} \geq | x_{2} - x_{1} | \geq | a - (- a) | = 2 a$

Lời giải:

a) Các giao điểm của $(H)$ với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

${\begin{cases} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \pm a \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} A_{1} (- a; 0) \\ A_{2} (a; 0) \end{cases}$

b) Với $M (x; y)$ thuộc (H) ta có $\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 1 \Rightarrow x^{2} \geq a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x \leq - a \\ x \geq a \end{array}$

Do đó nếu $M (x; y)$ thuộc bên trái trục tung khi thì $x < 0$ , suy ra $x \leq - a$ .

Nếu $M (x; y)$ thuộc bên phải trục tung khi thì $x > 0$ , suy ra $x \geq - a$ .

c) Gọi $M_{1} (x_{1}; y_{1}), M_{2} (x_{2}; y_{2})$ . Vì $M_{1}$ thuộc nhánh bên trái trục tung nên ta có $x_{1} \leq - a$ , $M_{2}$ thuộc nhánh bên phải trục tung nên ta có $x_{2} \geq a$ .

Suy ra $M_{1} M_{2} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \geq \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2}} = | x_{2} - x_{1} | \geq | a - (- a) | = 2 a$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\begin{cases} y_{2} - y_{1} = 0 \\ x_{2} = a \\ x_{1} = - a \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{2} = a \\ x_{1} = - a \\ y_{1} = y_{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} M_{1} (- a; 0) \\ M_{2} (a; 0) \end{cases}$